[MQ] Problema con la determinazione della probabilità Spin
Salve, studiando su vari libri di meccanica mi sono imbattuto in un esercizio del Landau, in cui si chiede :
Landau lo risolve in 3 passaggi, di cui il secondo non mi è chiaro :
1) Il valore medio dello spin $\bar{s_z}$ è diretto lungo l'asse z ed è uguale in modulo a $\frac{1}{2}$. Proiettato sull'asse $z'$ troviamo che il valore medio diventa $\bar{s_z'} = \frac{1}{2} \cos \theta$. Fin qui ok
2) D'altra parte abbiamo $\bar{s_z'} = 1/2 ( w_+ - w_-)$ , dove $w_{\pm}$ sono le probabilità dei valori $s_z' = \pm \frac{1}{2}$. Qui non capisco il senso del meno. Perché la probabilità dovrebbe essere un mezzo volte quella sottrazione? non capisco proprio
3) Tenendo conto che la somma delle probabilità deve fare 1 si trova $w_+ = \cos^2(\frac{\theta}{2})$ e $w_+ =\sin^2(\frac{\theta}{2})$-
Qualche aiuto?
Una particella di spin $\frac{1}{2}$ si trova in uno stato con determinato valore $s_z = \frac{1}{2}$. Determinare la probabilità dei valori possibili della proiezione dello spin sull'asse $z'$ che forma un angolo $\theta$ con l'asse $z$
Landau lo risolve in 3 passaggi, di cui il secondo non mi è chiaro :
1) Il valore medio dello spin $\bar{s_z}$ è diretto lungo l'asse z ed è uguale in modulo a $\frac{1}{2}$. Proiettato sull'asse $z'$ troviamo che il valore medio diventa $\bar{s_z'} = \frac{1}{2} \cos \theta$. Fin qui ok
2) D'altra parte abbiamo $\bar{s_z'} = 1/2 ( w_+ - w_-)$ , dove $w_{\pm}$ sono le probabilità dei valori $s_z' = \pm \frac{1}{2}$. Qui non capisco il senso del meno. Perché la probabilità dovrebbe essere un mezzo volte quella sottrazione? non capisco proprio
3) Tenendo conto che la somma delle probabilità deve fare 1 si trova $w_+ = \cos^2(\frac{\theta}{2})$ e $w_+ =\sin^2(\frac{\theta}{2})$-
Qualche aiuto?
Risposte
mmm... non è che quel meno deriva dal termine $s_z'=-1/2$?
e sarebbe $\bar{s_z'}=(1/2w_+)+(-1/2w_-)$
e sarebbe $\bar{s_z'}=(1/2w_+)+(-1/2w_-)$
Questa è una bellissima proprietà dei sistemi quantistici a due livelli. In altre parole se conosci il valor medio di un operatore e i suoi autovalori puoi calcolare le probabilità "a vista"... Infatti hai sempre due equazioni in due incognite. Chiamiamo [tex]|1> , |2>[/tex] gli stati del sistema. La equazione prima è che la probabilità totale è uno, in formule
[tex]w_1 + w_2 = 1[/tex]
La seconda deriva dal teorema spettrale, se per un'osservabile [tex]A[/tex] conosci il valor medio [tex][/tex] e gli autovalori [tex]a_1, a_2[/tex] allora sai che
[tex] = a_1 w_1 + a_2 w_2[/tex]
e quindi ora puoi risolvere per le probabilità trovando
[tex]$\left\lbrace \begin{matrix} w_1 = \frac{ - a_2}{a_1 - a_2} \\ w_2 = \frac{a_1 - }{a_1 - a_2} \end{matrix} \right.$[/tex]
nel caso dello spin si semplifica particolarmente e ottieni
[tex]$\left\lbrace \begin{matrix} w_1 = + \frac{1}{2} \\ w_2 = \frac{1 }{2} - \end{matrix} \right.$[/tex]
[tex]w_1 + w_2 = 1[/tex]
La seconda deriva dal teorema spettrale, se per un'osservabile [tex]A[/tex] conosci il valor medio [tex][/tex] e gli autovalori [tex]a_1, a_2[/tex] allora sai che
[tex] = a_1 w_1 + a_2 w_2[/tex]
e quindi ora puoi risolvere per le probabilità trovando
[tex]$\left\lbrace \begin{matrix} w_1 = \frac{ - a_2}{a_1 - a_2} \\ w_2 = \frac{a_1 - }{a_1 - a_2} \end{matrix} \right.$[/tex]
nel caso dello spin si semplifica particolarmente e ottieni
[tex]$\left\lbrace \begin{matrix} w_1 = + \frac{1}{2} \\ w_2 = \frac{1 }{2} - \end{matrix} \right.$[/tex]
oltretutto se uno si ricorda le formule di duplicazione il problema si risolve immediatamente $cos\theta=cos^2(\theta/2) - sin^2(\theta/2)$
(ma è più facile accorgersene a posteriori)
(ma è più facile accorgersene a posteriori)
Ah giusto, di fatto non è altro che la definizione di valor medio. In effetti io credevo fosse qualche strano fatto difficile da dimostrare (essendo che sul Landau, i commenti tipo "è chiaro che" richiedono 2-3 orette di dimostrazioni). Ora mi viene un altro dubbio però, e cioè se è lecito proiettare il valor medio sugli assi e dire che la proiezione del valor medio è il valor medio sull'asse su cui si proietta. Si può dimostrare?
Edit:
Sì e credo di averlo fatto, basta considerare l'operatore di proiezione $E_v |A> = |v>$ e applicarlo alla definizione di valor medio! Un passo più vicino a capire qualcosa sulla meccanica dei quanti.
Edit:
Sì e credo di averlo fatto, basta considerare l'operatore di proiezione $E_v |A> = |v>
Non mi è molto chiaro cosa intendi...in ogni caso per me il modo più semplice per vederlo è, data l'osservabile [tex]A[/tex], fissare una base ortonormale di autovettori [tex]|n>[/tex] con autovalori [tex]a_n[/tex] e assumere che il sistema si trovi nello stato
[tex]$|\psi> = \sum_n c_n |n>$[/tex]
e calcolare
[tex]$ = < \psi | A | \psi > = \left( \sum_k \bar{c}_k < k | \right) A \left( \sum_n c_n |n> \right) = \sum_{k,n} \bar{c}_k c_n < k | A |n> = \sum_{k,n} a_n \bar{c}_k c_n < k|n> = \sum_n a_n |c_n|^2$[/tex]
era quello che intedevi?
[tex]$|\psi> = \sum_n c_n |n>$[/tex]
e calcolare
[tex]$ = < \psi | A | \psi > = \left( \sum_k \bar{c}_k < k | \right) A \left( \sum_n c_n |n> \right) = \sum_{k,n} \bar{c}_k c_n < k | A |n> = \sum_{k,n} a_n \bar{c}_k c_n < k|n> = \sum_n a_n |c_n|^2$[/tex]
era quello che intedevi?
No il mio problema era : dato il vettor medio di una osservabile $\bar{x}$, il vettor medio dell'osservabile sull'asse $z'$ che fa un angolo $\theta$ con l'asse $z$, è proprio $\bar{x} \cos \theta$ ? Penso che la risposta sia sì, basta usare i proiettori.
Dipende...se fai il valor medio di un operatore vettoriale no. In questo caso ti sta dicendo che
[tex]<+|\vec{S}|+> = <+|S_x \hat{x} + S_y \hat{y} + S_z \hat{z}|+> = \frac{1}{2} \hat{z}[/tex]
[tex]<+|\vec{S}|+> = <+|S_x \hat{x} + S_y \hat{y} + S_z \hat{z}|+> = \frac{1}{2} \hat{z}[/tex]
Ah no scusa....avevo capito tutta un'altra cosa...la risposta di prima non c'entra nulla...
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