MQ operatore impulso nella base delle coordinate
A pag 53 del testo di MQ di Sakurai c'è un passaggio a me oscuro:
$\int (dx^i |x^i>) =\int dx^i |x^i> (()-\Delta\x^i (del)/(delx^i)$ mi potreste spiegare questo passaggio?
$\int (dx^i |x^i>
Risposte
Sembra uno sviluppo al primo ordine del bra nell'integrale a primo membro. Una cosa tipo
[tex]\langle x^i - \Delta x^i | \approx \langle x^i | - \frac{\partial}{\partial x^i} \langle x^i | \Delta x^i + \dots[/tex]
sostituisci nell'integrale e hai quello che cerchi. Ti faccio solo notare che ricopiando ti sei perso un meno, prima del [tex]\Delta x^i[/tex]...
[tex]\langle x^i - \Delta x^i | \approx \langle x^i | - \frac{\partial}{\partial x^i} \langle x^i | \Delta x^i + \dots[/tex]
sostituisci nell'integrale e hai quello che cerchi. Ti faccio solo notare che ricopiando ti sei perso un meno, prima del [tex]\Delta x^i[/tex]...
diro' una ca**ata, non e' una serie di Taylor?
..... eheh .....siamo su un forum di matematici irriducibili.....non so se te lo lasciano dire che un bra si può sviluppare in serie di Taylor.... .......una volta ho rischiato la vita per aver consigliato di dividere per [tex]dt[/tex]......
sì in effetti però ste dimostrazioni farlocche sul 90% dei libri di meccanica quantistica a volte mi fan girare le palle, sono un'offesa al lettore e una presa in giro, no dico che bisogna sempre fare i matematici pignoli, ma per dimostrare una cosa, specialmente in una teoria matematicamente delicata e complessa come la MQ, con dei passaggi così tanto vale non scrivere niente e dare subito il risultato finale...
Guarda io adoro il Sakurai. Credo che sia in assoluto il libro migliore di tutti per imparare la MQ. Capisco cosa intendi però la cosa importante di questa dimostrazione non è tanto il rigore, quanto piuttosto il fatto che ti ricava la rappresentazione di [tex]$\hat{p}$[/tex] nelle posizioni partendo dai generatori delle traslazioni.....ci sarà pure qualcosa di non rigoroso ma la fighezza dal punto di visto concettuale è tale che glielo posso perdonare.....
Poi adesso che ci penso in realtà sono stato io a fraintendere. Lui non sviluppa il bra ma tutta la funzione d'onda, quindi il problema nemmeno si pone....
Sorry......
Poi adesso che ci penso in realtà sono stato io a fraintendere. Lui non sviluppa il bra ma tutta la funzione d'onda, quindi il problema nemmeno si pone....
Sorry......
Io invece lo odio il Sakurai..de Gustibus preferisco molto di più il Cohen-Tannoudji, molto prolisso ma che ti spiega passo passo ogni cosa a prova di stupido; poi il Landau non è male se sai già le cose (come solito. in quella collanetta di libri..) e per capire in maniera un pochino rigorosa la matematica dietro trovo come lettura interessante anche Moretti, "Metodi matematici nella meccanica quantistica"...insomma tutto ma non il Sakurai, del quale mi ricordo quando avevo iniziato a studiare la MQ non mi piaceva proprio l'impostazione...
preferisco molto di più il Cohen-Tannoudji, molto prolisso ma che ti spiega passo passo ogni cosa a prova di stupido; poi il Landau non è male se sai già le cose (come solito. in quella collanetta di libri..) e per capire in maniera un pochino rigorosa la matematica dietro trovo come lettura interessante anche Moretti, "Metodi matematici nella meccanica quantistica"...insomma tutto ma non il Sakurai, del quale mi ricordo quando avevo iniziato a studiare la MQ non mi piaceva proprio l'impostazione...
Che i Landau siano impossibili come primo studio è un fatto....d'altronde lui è russo....come piaceva dire al mio prof di teoria dei campi "loro non hanno avuto kant..."
Per quanto riguarda il Sakurai non so se sia solo una questione di gusti. Io ho iniziato con il Cohen e lo consiglio caldamente però mi sa di vecchio. Quello che intendo è che l'approccio del Sakurai è diverso, moderno (come si desume dal titolo...), pone l'accento sulle simmetrie, usa i gruppi a ogni passo ed è di un'eleganza spaventosa. E' proprio l'impostazione che è il suo punto forte... Per me lo studio della MQ proposto in termini storici è giusto e doveroso per capirne nascita ed evoluzione ma ha il difetto di fare fatica ad abbandonare la visione classica del mondo e questo confonde, a mio avviso.
Per quanto riguarda il Sakurai non so se sia solo una questione di gusti. Io ho iniziato con il Cohen e lo consiglio caldamente però mi sa di vecchio. Quello che intendo è che l'approccio del Sakurai è diverso, moderno (come si desume dal titolo...
), pone l'accento sulle simmetrie, usa i gruppi a ogni passo ed è di un'eleganza spaventosa. E' proprio l'impostazione che è il suo punto forte... Per me lo studio della MQ proposto in termini storici è giusto e doveroso per capirne nascita ed evoluzione ma ha il difetto di fare fatica ad abbandonare la visione classica del mondo e questo confonde, a mio avviso.
tornando al mio problema, Quindi è uno sviluppo in serie?Non ho ben capito.
Per quanto riguarda il libro di sakurai ,per me che ho appena inziato lo studio di questa materia,risulta davvero ostico.Molto carino ed anche molto più semplice è sicuramente il Griffiths.
Per quanto riguarda il libro di sakurai ,per me che ho appena inziato lo studio di questa materia,risulta davvero ostico.Molto carino ed anche molto più semplice è sicuramente il Griffiths.
Ciao!
Anch'io ci ho sbattuto il muso contro quando l'ho letto.
In effetti si dovrebbe trattare di uno sviluppo in serie:
$ = - Delta x' (del)/(delx) $
Comunque, io non ci vedo nulla di matematicamente "scimmiesco":
Innanzitutto, se $Delta x'$ è piccolo, ha senso parlare di sviluppo in serie:
$ = < x' - Delta x'(delx')/(delx') | alpha>$
Inoltre, il bracket si può considerare un prodotto scalare, anche se non è un prodotto fra elementi dello stesso spazio, ma piuttosto tra un vettore di uno spazio e un vettore dello spazio duale; però si può sempre dimostrare che, fissate le basi nei due spazi in questione, l'azione di un funzionale lineare su un vettore si può rappresentare come prodotto scalare fra i due vettori rappresentati nelle due basi.
Tutto questo per dire che, in quanto prodotto scalare, il bracket gode della proprietà di linearità:
$ = + $
Quindi
$ = - $
$Delta x'$, in quanto scalare, si può portare fuori dal prodotto (sempre per le proprietà del prodotto scalare).
La derivata si porta fuori perchè semplicemente si suppone che si possa fare: infatti, un prodotto si rappresenta, a seconda dei casi, come sommatoria o integrale. Esistono teoremi che garantiscono che il simbolo di derivata si può scambiare con quello di sommatoria/integrale sotto opportune ipotesi (vado a memoria: le funzioni sommate devono essere analitiche nel loro dominio e continue sul bordo...una cosa del genere...correggetemi se sbaglio...).
Certo, bisognerebbe dimostrare che quelle ipotesi sono verificate!
Anch'io ci ho sbattuto il muso contro quando l'ho letto.
In effetti si dovrebbe trattare di uno sviluppo in serie:
$
Comunque, io non ci vedo nulla di matematicamente "scimmiesco":
Innanzitutto, se $Delta x'$ è piccolo, ha senso parlare di sviluppo in serie:
$
Inoltre, il bracket si può considerare un prodotto scalare, anche se non è un prodotto fra elementi dello stesso spazio, ma piuttosto tra un vettore di uno spazio e un vettore dello spazio duale; però si può sempre dimostrare che, fissate le basi nei due spazi in questione, l'azione di un funzionale lineare su un vettore si può rappresentare come prodotto scalare fra i due vettori rappresentati nelle due basi.
Tutto questo per dire che, in quanto prodotto scalare, il bracket gode della proprietà di linearità:
$ =
Quindi
$
$Delta x'$, in quanto scalare, si può portare fuori dal prodotto (sempre per le proprietà del prodotto scalare).
La derivata si porta fuori perchè semplicemente si suppone che si possa fare: infatti, un prodotto si rappresenta, a seconda dei casi, come sommatoria o integrale. Esistono teoremi che garantiscono che il simbolo di derivata si può scambiare con quello di sommatoria/integrale sotto opportune ipotesi (vado a memoria: le funzioni sommate devono essere analitiche nel loro dominio e continue sul bordo...una cosa del genere...correggetemi se sbaglio...).
Certo, bisognerebbe dimostrare che quelle ipotesi sono verificate!
Grande Vinx!
perchè dici che è uno sviluppo in serie ? a me sembra semplicemente che tu abbia moltiplicato dentro il bra per $(delx^i)/(del(x^i))=1$
perchè dici che è uno sviluppo in serie ? a me sembra semplicemente che tu abbia moltiplicato dentro il bra per $(delx^i)/(del(x^i))=1$
@VINX: Il fatto è che è proprio la notazione bra-ket ad essere scimmiesca. Anzi proprio lo sforzo di renderla rigorosa (leggi: l'assiomatizzazione della MQ) ha portato a grossi risultati nel campo della matematica.
Non è proprio così. Il braket è a volte un prodotto scalare nello spazio degli stati, a volte un "prodotto scalare generalizzato" (ne ho accennato qui). Nella notazione originaria (dovuta a Dirac, credo), il braket non è ben definito.
Attenzione con queste analogie. Gli "spazi in questione" hanno quasi sempre dimensione infinita; in questi casi sui libri di fisica si usa parlare di "basi" come se la dimensione fosse finita ma in realtà sono ambiti matematicamente MOLTO diversi.
E infine, per quanto riguarda la derivata e l'integrale: esistono molti risultati sull'argomento. Uno facile: si può derivare sotto il segno di integrale se il dominio di integrazione è compatto (e, naturalmente, la funzione integranda è $C^1$). Ma si può fare anche in tantissimi altri casi, anzi io direi in "quasi tutti" gli altri casi. Le ipotesi che richiedi tu VINX sono sufficienti ma sono decisamente troppo restrittive! Le funzioni d'onda in genere non sono analitiche, che io sappia. Invece nel caso in questione il passaggio non è giustificato adeguatamente.
Intendiamoci: non sono qui a fare polemica o a inorridire per la mancanza di rigore matematico. Al contrario, io trovo che un matematico (che si occupi di queste cose) dovrebbe sapere leggere anche la letteratura per fisici - cosa che io fatico molto a fare.
Inoltre, il bracket si può considerare un prodotto scalare, anche se non è un prodotto fra elementi dello stesso spazio, ma piuttosto tra un vettore di uno spazio e un vettore dello spazio duale;
Non è proprio così. Il braket è a volte un prodotto scalare nello spazio degli stati, a volte un "prodotto scalare generalizzato" (ne ho accennato qui). Nella notazione originaria (dovuta a Dirac, credo), il braket non è ben definito.
però si può sempre dimostrare che, fissate le basi nei due spazi in questione, l'azione di un funzionale lineare su un vettore si può rappresentare come prodotto scalare fra i due vettori rappresentati nelle due basi.
Attenzione con queste analogie. Gli "spazi in questione" hanno quasi sempre dimensione infinita; in questi casi sui libri di fisica si usa parlare di "basi" come se la dimensione fosse finita ma in realtà sono ambiti matematicamente MOLTO diversi.
E infine, per quanto riguarda la derivata e l'integrale: esistono molti risultati sull'argomento. Uno facile: si può derivare sotto il segno di integrale se il dominio di integrazione è compatto (e, naturalmente, la funzione integranda è $C^1$). Ma si può fare anche in tantissimi altri casi, anzi io direi in "quasi tutti" gli altri casi. Le ipotesi che richiedi tu VINX sono sufficienti ma sono decisamente troppo restrittive! Le funzioni d'onda in genere non sono analitiche, che io sappia. Invece nel caso in questione il passaggio non è giustificato adeguatamente.
Intendiamoci: non sono qui a fare polemica o a inorridire per la mancanza di rigore matematico. Al contrario, io trovo che un matematico (che si occupi di queste cose) dovrebbe sapere leggere anche la letteratura per fisici - cosa che io fatico molto a fare.
Dal mio punto di vista la questione si risolve abbastanza semplicemente. Nel senso che i braket in questo caso non vanno presi alla lettera, sono solo una scelta di formalismo. Quello che intendo è che la scrittura
[tex]\langle x | a \rangle[/tex]
è un preciso funzionale lineare dallo spazio di Hilbert allo spazio delle funzioni continue. Quindi in realtà scrivere quello equivale a scrivere una funzione e l'espansione in serie viene fatta sulla funzione. Che poi la cosa venga scritta in termini dei braket è solo una scelta "estetica"...
Poi anche io sono convinto che la questione della continuità della funzione d'onda sia delicata. Anche se non riesco a trovare un esempio di funzione d'onda discontinua...
[tex]\langle x | a \rangle[/tex]
è un preciso funzionale lineare dallo spazio di Hilbert allo spazio delle funzioni continue. Quindi in realtà scrivere quello equivale a scrivere una funzione e l'espansione in serie viene fatta sulla funzione. Che poi la cosa venga scritta in termini dei braket è solo una scelta "estetica"...
Poi anche io sono convinto che la questione della continuità della funzione d'onda sia delicata. Anche se non riesco a trovare un esempio di funzione d'onda discontinua...
@VINX sì certo ma il mio era un discorso un po'in generale, sulla base della frase di ale.fabbri "non so se te lo lasciano dire che un bra si può sviluppare in serie di Taylor"
@Dissonance e ale: infatti il punto è che, al contrario magari della relatività che einstein ha saputo definire grazie alla geometria differenziale in maniera sufficientemente precisa e rigorosa, e questo fa sì che se uno la studia sembra quasi che la teoria "si apra da sola", la meccanica quantistica è nata basata su osservazioni sperimentali e trucchi o assiomi per aggiustarsi con gli esperimenti, e anche in maniera molto frammentaria. Del resto Dirac, Schrodingher, Heisenberg, De Broglie, non credo sapessero nulla sugli spazi di Hilbert e le distribuzioni come si sa oggi e non credo che mentre formulavano la loro teoria fisica sapessero cosa stavano facendo dal punto di vista matematico: secondo me loro provavano a formulare un'ipotesi e si accorgevano che fare così funzionava.
E questo è una magagna della QM che ancora oggi si trascina, io nei corsi universitari angora oggi vedo una trattazione "a cassetti" della QM (e io sono al 4o anno di fisica, quindi non parliamo di 30 anni fa), molto frammentaria, con i vari capitoletti meccanica ondulatoria, spin, teoria del momento angolare, evoluzione temporale,fermioni e bosoni, teoria delle perturbazioni, dello scattering e di born, sistemi a molte particelle, seconda quantizzazione...Anche nei libri viene sempre presentata come una serie di assiomi da cui si parte e il cui significato globale preciso di cosa si sta facendo rimane un po' oscuro, perchè la teoria è così "a pezzetti", cosa che nel formalismo della relatività e dell'elettrodinamica non accade assolutamente.
@Dissonance e ale: infatti il punto è che, al contrario magari della relatività che einstein ha saputo definire grazie alla geometria differenziale in maniera sufficientemente precisa e rigorosa, e questo fa sì che se uno la studia sembra quasi che la teoria "si apra da sola", la meccanica quantistica è nata basata su osservazioni sperimentali e trucchi o assiomi per aggiustarsi con gli esperimenti, e anche in maniera molto frammentaria. Del resto Dirac, Schrodingher, Heisenberg, De Broglie, non credo sapessero nulla sugli spazi di Hilbert e le distribuzioni come si sa oggi e non credo che mentre formulavano la loro teoria fisica sapessero cosa stavano facendo dal punto di vista matematico: secondo me loro provavano a formulare un'ipotesi e si accorgevano che fare così funzionava.
E questo è una magagna della QM che ancora oggi si trascina, io nei corsi universitari angora oggi vedo una trattazione "a cassetti" della QM (e io sono al 4o anno di fisica, quindi non parliamo di 30 anni fa), molto frammentaria, con i vari capitoletti meccanica ondulatoria, spin, teoria del momento angolare, evoluzione temporale,fermioni e bosoni, teoria delle perturbazioni, dello scattering e di born, sistemi a molte particelle, seconda quantizzazione...Anche nei libri viene sempre presentata come una serie di assiomi da cui si parte e il cui significato globale preciso di cosa si sta facendo rimane un po' oscuro, perchè la teoria è così "a pezzetti", cosa che nel formalismo della relatività e dell'elettrodinamica non accade assolutamente.
"dissonance":Credi bene perché è così!
..Nella notazione originaria (dovuta a Dirac, credo)...
"antani":Dirac scrisse espressamente che la sua delta non la capiva matematicamente, la utilizzava solo perché fisicamente funzionava; poi con Von Neumann si ebbe la prima grande sistemazione della matematica della MQ!
...Del resto Dirac, Schrodingher, Heisenberg, De Broglie, non credo sapessero nulla sugli spazi di Hilbert e le distribuzioni come si sa oggi e non credo che mentre formulavano la loro teoria fisica sapessero cosa stavano facendo dal punto di vista matematico: secondo me loro provavano a formulare un'ipotesi e si accorgevano che fare così funzionava...
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