[MQ] Operatore accelerazione
Ciao a tutti 
.
Questo è un esercizio di qualche anno fa di Meccanica Quantistica, me lo son trovato davanti e non so come risolverlo.
Sia [tex]$H= \frac{1}{2} m \left(V_x^2+V_y^2+V_z^2\right)+U(x, y, z)[/tex] l'operatore hamiltoniano per una particella localizzabile di massa [tex]m[/tex] nello spazio di Hilbert [tex]L^2(\mathbb{R}^3)[/tex]. Si determinino i tre operatori accelerazione.
Parto in questo modo:
[tex]$\langle A_\alpha \rangle_{\psi_t}=\partial_t\langle V_\alpha\rangle_{\psi_t}=\partial_t \langle \psi_t| V_\alpha| \psi_t\rangle= \langle \partial_t \psi_t|V_\alpha |\psi_t\rangle+\langle \psi_t| V_\alpha |\partial_t \psi_t\rangle\qquad (1.1)[/tex].
Sfrutto ora l'equazione di Schroedinger [tex]i \partial_t \psi_t = H \psi_t\implies \partial_t \psi_t = (-i)H\psi_t[/tex], sostituisco in [tex](1.1)[/tex]
[tex]$\langle A_\alpha \rangle_{\psi_t} =\langle (-i)H\psi_t|V_\alpha |\psi_t\rangle+\langle \psi_t| V_\alpha |(-i)H\psi_t\rangle = \langle \psi_t|i H V_\alpha |\psi_t\rangle+\langle \psi_t|(-i) V_\alpha H|\psi_t\rangle=[/tex]
[tex]$=\langle \psi_t|i[H, V_\alpha]|\psi_t\rangle[/tex]
pertanto:
[tex]A_\alpha= i [H, V_\alpha][/tex], cioè ho determinato l'operatore accelerazione utilizzando i commutatori, a questo punto mi verrebbe da sostituire l'espressione [tex]H[/tex], ma sinceramente non arrivo da nessuna parte.... Che fo?
.Questo è un esercizio di qualche anno fa di Meccanica Quantistica, me lo son trovato davanti e non so come risolverlo.
Sia [tex]$H= \frac{1}{2} m \left(V_x^2+V_y^2+V_z^2\right)+U(x, y, z)[/tex] l'operatore hamiltoniano per una particella localizzabile di massa [tex]m[/tex] nello spazio di Hilbert [tex]L^2(\mathbb{R}^3)[/tex]. Si determinino i tre operatori accelerazione.
Parto in questo modo:
[tex]$\langle A_\alpha \rangle_{\psi_t}=\partial_t\langle V_\alpha\rangle_{\psi_t}=\partial_t \langle \psi_t| V_\alpha| \psi_t\rangle= \langle \partial_t \psi_t|V_\alpha |\psi_t\rangle+\langle \psi_t| V_\alpha |\partial_t \psi_t\rangle\qquad (1.1)[/tex].
Sfrutto ora l'equazione di Schroedinger [tex]i \partial_t \psi_t = H \psi_t\implies \partial_t \psi_t = (-i)H\psi_t[/tex], sostituisco in [tex](1.1)[/tex]
[tex]$\langle A_\alpha \rangle_{\psi_t} =\langle (-i)H\psi_t|V_\alpha |\psi_t\rangle+\langle \psi_t| V_\alpha |(-i)H\psi_t\rangle = \langle \psi_t|i H V_\alpha |\psi_t\rangle+\langle \psi_t|(-i) V_\alpha H|\psi_t\rangle=[/tex]
[tex]$=\langle \psi_t|i[H, V_\alpha]|\psi_t\rangle[/tex]
pertanto:
[tex]A_\alpha= i [H, V_\alpha][/tex], cioè ho determinato l'operatore accelerazione utilizzando i commutatori, a questo punto mi verrebbe da sostituire l'espressione [tex]H[/tex], ma sinceramente non arrivo da nessuna parte.... Che fo?
Risposte
Scusatemi se faccio un up... E' una cosa che non sopporto, però non riesco a concludere.
Secondo voi sarebbe meglio partire dal calcolo dell'operatore velocità?
Grazie
Secondo voi sarebbe meglio partire dal calcolo dell'operatore velocità?
Grazie
senza fare tutta la dimostrazione bastava che ricordavi le Equazioni di Heisenberg per l'evoluzione temporale degli operatori (che sono l'estensione quantistica di quelel di Hamilton); se l'Hamiltoniano non dipende dal parametro t:
$i h_{tagliat o} {dp}/{dt}=[p,H]$ (uguale alla tua a parte un h tagliato che ti sei perso...)
dove p è la quantità di moto. Da qui ottenevi poi il tuo risultato ricordando che $p=mv$.Ovviamente questo su tutte le 3 componenti
Io avrei detto però molto rapidamente:
l'operatore Forza è $\nabla U(x,y,z)$,, da cui l'operatore accelerazione: $\frac{\nabla U}{m}$... Come vedi mezza riga...potresti provare a dimostrare che questa è proprio la soluzione del tuo commutatore
$i h_{tagliat o} {dp}/{dt}=[p,H]$ (uguale alla tua a parte un h tagliato che ti sei perso...)
dove p è la quantità di moto. Da qui ottenevi poi il tuo risultato ricordando che $p=mv$.Ovviamente questo su tutte le 3 componenti
Io avrei detto però molto rapidamente:
l'operatore Forza è $\nabla U(x,y,z)$,, da cui l'operatore accelerazione: $\frac{\nabla U}{m}$... Come vedi mezza riga...potresti provare a dimostrare che questa è proprio la soluzione del tuo commutatore
Grazie per l'aiuto e mi scuso per il ritardo nella risposta, purtroppo sono senza pc a casa e mi posso collegare saltuariamente a casa di parenti. Per la costante di Planck... Non compare in nessuna delle formule in cui deve comparire, ma questa cosa non mi sorprende visto che l'obiettivo del corso è la teoria matematica che sta dietro alla meccanica quantistica... 
Allora.. eravamo rimasti a
$A_\alpha= i[H, V_\alpha] = i[\frac{1}{2} m (V_x^2+ V_y^2+ V_z^2)+ U(x, y , z), V_\alpha]$. Per determinare la parentesi di commutazione procedo nel calcolo di
$[\frac{1}{2}m V_\alpha^2, V_\beta]= \frac{1}{2}m[V_\alpha^2, V_\beta] =\frac{1}{2} m (V_\alpha^2 V_\beta - V_\alpha V_\beta V_\alpha+ V_\alpha V_\beta V_\alpha+ V_\beta V_\alpha^2)= \frac{1}{2}m (V_\alpha [V_\alpha, V_\beta]+ [V_\alpha , V_\beta ]V_\alpha)= O$ con O operatore nullo. Di tutto l'ambaradan rimane quindi:
$A_\alpha= i[H, V_\alpha] = i[U(x, y , z), V_\alpha]$, come faccio a dimostrare che il risultato è effettivamente quello indicato da antani?
Allora.. eravamo rimasti a
$A_\alpha= i[H, V_\alpha] = i[\frac{1}{2} m (V_x^2+ V_y^2+ V_z^2)+ U(x, y , z), V_\alpha]$. Per determinare la parentesi di commutazione procedo nel calcolo di
$[\frac{1}{2}m V_\alpha^2, V_\beta]= \frac{1}{2}m[V_\alpha^2, V_\beta] =\frac{1}{2} m (V_\alpha^2 V_\beta - V_\alpha V_\beta V_\alpha+ V_\alpha V_\beta V_\alpha+ V_\beta V_\alpha^2)= \frac{1}{2}m (V_\alpha [V_\alpha, V_\beta]+ [V_\alpha , V_\beta ]V_\alpha)= O$ con O operatore nullo. Di tutto l'ambaradan rimane quindi:
$A_\alpha= i[H, V_\alpha] = i[U(x, y , z), V_\alpha]$, come faccio a dimostrare che il risultato è effettivamente quello indicato da antani?
Guarda le proprietà dei commutatori che ti ho linkato nel post precedente. In particolare dei commutatori tra p e una funzione di x.
Ah!! Ok ci sono, grazie mille, in pratica devo sviluppare in serie di Taylor e sfruttare la $\sigma$ additività del commutatore
Grazie Alle.fabri e grazie anche ad antani!
Grazie Alle.fabri e grazie anche ad antani!
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