MQ: impulso in coodinate sferiche
Dunque,
Prendiamo una funzione d'onda la cui rappresentazione in coordinate sferiche sia [tex]\psi(r,\theta,\varphi)=\psi(r)=N e^{-\alpha r}[/tex]
Ho 2 questioni:
1)
Partiamo considerando il valor medio dell'impulso di tale funzione d'onda
[tex]<\psi|P|\psi>=\int_{\mathbb{R}^3} <\psi|x> \;dx[/tex]
trasformando le coordinate l'operatore impulso dovrebbe diventare
[tex]= -i \hbar \left( \frac{\partial \psi}{\partial r} e_r +\frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} e_\theta+\frac{1}{r \, sen\theta } \frac{\partial \psi}{\partial \varphi} e_\varphi \right)[/tex]
dove gli [tex]e[/tex] sono i versori delle linee coordinate mi pare si chiamino così, insomma sono i versori che puntano nella direzione di variazione della variabile al pedice quando le altre 2 sono tenute costanti... Dovrebbe funzionare così, no?
2)
La probabilità di ottenere il valore [tex]p[/tex] per l'impulso è
[tex]||^2[/tex]
[tex]=\int_{\mathbb{R}^3} \;dx=\frac{N}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{\mathbb{R}^3} e^{-\frac{i}{\hbar} p\cdot x } \; e^{-\alpha r} \;dx=[/tex]
[tex]=\int_0^{+\infty} r^2 \, dr \int_0^{\pi} sen\theta \, d\theta \int_0^{2 \pi} d\varphi\; e^{-\frac{i \, r}{\hbar} (p\cdot e_r) } \; e^{-\alpha r}[/tex]
dove ho messo i differenziali vicino all'integrale corrispondente per far capire a chi appartengono gli estremi di integrazione...
ed ho usato il fatto che [tex]x=r\, e_r = r\, \begin{pmatrix}sen\theta \, cos\varphi \\ sen\theta \, sen\varphi \\ cos\theta \end{pmatrix}[/tex]
La domanda è: come lo risolvo un integrale del genere? Ci sono strade migliori?
Grazie!
Prendiamo una funzione d'onda la cui rappresentazione in coordinate sferiche sia [tex]\psi(r,\theta,\varphi)=\psi(r)=N e^{-\alpha r}[/tex]
Ho 2 questioni:
1)
Partiamo considerando il valor medio dell'impulso di tale funzione d'onda
[tex]<\psi|P|\psi>=\int_{\mathbb{R}^3} <\psi|x>
trasformando le coordinate l'operatore impulso dovrebbe diventare
[tex]
dove gli [tex]e[/tex] sono i versori delle linee coordinate mi pare si chiamino così, insomma sono i versori che puntano nella direzione di variazione della variabile al pedice quando le altre 2 sono tenute costanti... Dovrebbe funzionare così, no?
2)
La probabilità di ottenere il valore [tex]p[/tex] per l'impulso è
[tex]|
[tex]
[tex]=\int_0^{+\infty} r^2 \, dr \int_0^{\pi} sen\theta \, d\theta \int_0^{2 \pi} d\varphi\; e^{-\frac{i \, r}{\hbar} (p\cdot e_r) } \; e^{-\alpha r}[/tex]
dove ho messo i differenziali vicino all'integrale corrispondente per far capire a chi appartengono gli estremi di integrazione...
ed ho usato il fatto che [tex]x=r\, e_r = r\, \begin{pmatrix}sen\theta \, cos\varphi \\ sen\theta \, sen\varphi \\ cos\theta \end{pmatrix}[/tex]
La domanda è: come lo risolvo un integrale del genere? Ci sono strade migliori?
Grazie!
Risposte
Aiuto! 
suggerimento: prova a scrivere il prodotto scalare $p*e_r$ come $pcostheta$ all'esponente
"antani":
suggerimento: prova a scrivere il prodotto scalare $p*e_r$ come $pcostheta$ all'esponente
Yes! Da quel che mi ricordo con integrali del genere si faceva proprio come suggerisce antani (se proprio non riesci cerca in giro per il web... è un integrale molto simile all'integrale per il calcolo della sezione d'urto in prima approssimazione di Born con il potenziale di Yukawa).
finalmente ho un pò di tempo per tornare sulla questione...
ma se io dico [tex]p\cdot x= p r cos\beta[/tex]
[tex]\beta[/tex] è l'angolo compreso tra i due vettori [tex]p[/tex] e [tex]x[/tex],
non è uguale al [tex]\theta[/tex] dell'integrazione a meno di supporre che [tex]p[/tex] sia diretto lungo l'asse z...
Sto sbagliando qualcosa?
ma se io dico [tex]p\cdot x= p r cos\beta[/tex]
[tex]\beta[/tex] è l'angolo compreso tra i due vettori [tex]p[/tex] e [tex]x[/tex],
non è uguale al [tex]\theta[/tex] dell'integrazione a meno di supporre che [tex]p[/tex] sia diretto lungo l'asse z...
Sto sbagliando qualcosa?
certyo ma visto che tanto integri su tutti gli angoli perchè devi invadere tutto lo spazio nulla ti vieta di scegliere proprio l'asse z in modo che $thea$ sia uguale all'angolo del prodotto scalare! 
ok, mi sa che ho capito,
[tex]\forall p\in \mathbb{R}^3[/tex] io scelgo per l'integrazione l'asse z coincidente con la direzione di [tex]p[/tex]
[tex]\langle p|\psi \rangle =\frac{N}{\sqrt{2\pi\hbar}} 2\pi \int_0^\infty \int_0^\pi r^2 sen\theta e^{-\frac{i}{\hbar} r |p| cos\theta} e^{-\alpha r} dr d\theta=[/tex]
cambiando variabile [tex]y=cos\theta[/tex] e integrando, ottengo
[tex]=\frac{N}{\sqrt{2\pi\hbar}} 4\pi \int_0^\infty r^2 e^{-\alpha r} sinc(\frac{r |p|}{\hbar}) dr[/tex]
e a questo punto dato che il risultato prescinde dalla direzione che ho scelto, ma dipende solo dal modulo di [tex]p[/tex] posso stare tranquillo di non aver pregiudicato nulla
in sostanza la distribuzione di probabilità degli impulsi è isotropa e quindi va tutto bene, altrimenti non avrei potuto variare in continuazione l'asse [tex]z[/tex] a seconda della direzione di [tex]p[/tex]
Quindi, concettualmente ci sono, (Grazie!)
ma l'integrale che mi è rimasto sopra come lo porto in fondo?
[tex]\forall p\in \mathbb{R}^3[/tex] io scelgo per l'integrazione l'asse z coincidente con la direzione di [tex]p[/tex]
[tex]\langle p|\psi \rangle =\frac{N}{\sqrt{2\pi\hbar}} 2\pi \int_0^\infty \int_0^\pi r^2 sen\theta e^{-\frac{i}{\hbar} r |p| cos\theta} e^{-\alpha r} dr d\theta=[/tex]
cambiando variabile [tex]y=cos\theta[/tex] e integrando, ottengo
[tex]=\frac{N}{\sqrt{2\pi\hbar}} 4\pi \int_0^\infty r^2 e^{-\alpha r} sinc(\frac{r |p|}{\hbar}) dr[/tex]
e a questo punto dato che il risultato prescinde dalla direzione che ho scelto, ma dipende solo dal modulo di [tex]p[/tex] posso stare tranquillo di non aver pregiudicato nulla
in sostanza la distribuzione di probabilità degli impulsi è isotropa e quindi va tutto bene, altrimenti non avrei potuto variare in continuazione l'asse [tex]z[/tex] a seconda della direzione di [tex]p[/tex]
Quindi, concettualmente ci sono, (Grazie!)
ma l'integrale che mi è rimasto sopra come lo porto in fondo?
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