[MQ] Esercizio di dinamica

[VINX89]

Ciao a tutti.
Devo dimostrare che $Sigma_(a') ||^2 (E_(a') - E_(a'')) = (bar(h)^2)/(2m)$ calcolando $[[H,x],x]$, dove $H = (p^2)/(2m) + V(x)$.

$E_(a')$ e $E_(a'')$ sono due autovalori dell'energia $H$ associati a $|a'>$ e $|a''>$.

So che in generale $[x,F(p)] = ibar(h) (delF)/(delp)$, dove $F(p)$ è una funzione che si può sviluppare in serie rispetto a $p$.

Grazie a questa proprietà, ricavo facilmente che $[H,x] = -(i bar(h) p)/m$ e $[[H,x],x] = - (bar(h)^2)/m$. Questi due risultati sono corretti al 100% (coincidono con i risultati del libro...).

Ora riscrivo il primo membro della relazione da dimostrare così:

$Sigma_(a') (E_(a')-E_(a'')) = Sigma_(a') [() - ()]$

Per definizione $H|a'> = E_(a')|a'>$ e $H|a''> = E_(a'')|a''>$; poichè inoltre $H$ è hermitiano ottengo:

$Sigma_(a')[()-()] = Sigma_(a') $ (infatti $[H,x] = Hx - xH$).

Poichè $Sigma_(a') |a'> = - $

In base alle relazioni di commutazione trovate prima, scrivo: $-(ibar(h))/m + (bar(h)^2)/m $

L'impulso nella base delle coordinate è $p = -i bar(h) (del)/(delx)$; applicando $p$ a $x$ ottengo $-ibar(h)$, ovvero in definitiva:

$-(bar(h)^2)/m + (bar(h)^2)/m = 0$. Il risultato corretto è $(bar(h)^2)/(2m)$. Dove ho sbagliato? Grazie.

[rbtqwt]

Il problema è quando dici

L'impulso nella base delle coordinate è $p= -i\hbar \partial/{\partial x}$; applicando $p$ a $x$ ottengo $-i\hbar$, ovvero in definitiva:

da cui ricavi [tex]\langle a''|px |a''\rangle = -i\hbar \langle a''|a''\rangle[/tex], che è falso (avresti in aggiunta un termine contenente $xp$).
Per risolvere il problema puoi notare che la quantità che ti interessa calcolare (che risulta essere [tex]\langle a''|x[x,H]|a''\rangle = -i\hbar/m \langle a''|xp |a''\rangle[/tex]) è reale.
Da ciò puoi ricavare che [tex]\langle a''|px+xp |a''\rangle = 0[/tex], e usando questa informazione ottieni in breve il risultato del problema

[VINX89]

Ciao!
Intanto grazie per la risposta.
Quello che ho scritto io è sbagliato perchè evidentemente, come dici tu, è in disaccordo con la regola di commutazione canonica; tuttavia, a parte questo, non capisco come mai venga un risultato sbagliato, visto che ho semplicemente applicato l'espressione di $p$ nella base delle coordinate. Cosa c'è di non lecito nell'applicare l'operatore derivata a $x$?
Inoltre, non capisco perchè quel termine è reale. Sicuramente, a posteriori, deve esserlo, perchè risulterà uguale a $(bar(h)^2)/(2m)$. Ma come si fa a vederlo?

[rbtqwt]

Quando scrivi $-i\hbar \partial/{\partial x} x|a''\rangle$ non puoi semplicemente derivare "$x$", in quanto $x$ non sta ad indicare la funzione "$x$", ma l'operatore di moltiplicazione per $x$. La derivata quindi va ad agire su tutto il termine $x|a''\rangle$.
Forse senza la notazione di Dirac la cosa risulta più chiara: presa una funzione d'onda $\psi$, ciò che stavi calcolando è $PQ\psi$, con $P$ e $Q$ tali che [tex](P\psi)(x) = -i\hbar \psi'(x)[/tex] e $(Q\psi)(x) = x\psi(x)$. Quindi $(PQ\psi)(x) = -i\hbar \partial/{\partial x}(Q\psi)(x) = -i\hbar \partial/{\partial x}(x\psi(x)) = -i\hbar \psi(x) -i\hbar x\psi'(x)$, dunque hai pure il termine aggiuntivo $(QP\psi)(x)$.
Il fatto che il termine che ottieni è reale lo vedi direttamente da:
[tex]\sum_{a'} |\langle a''|x|a'\rangle|^2(E_{a'}-E_{a''})[/tex]
e tutti i termini lì presenti sono reali. Spero sia più chiaro

[VINX89]

Si, è tutto chiaro!
Devo stare più attento su queste "finezze" in futuro...
Grazie mille!