MQ equazione di schrodinger
Credo di avere un dubbio riguardo l'equazione alle derivate parziali di schrodinger.
Quando si risolve l'equaizone stazionaria per la buca di potenziale, ad esempio, si trovano le famose funzioni "seno", pare quindi che queste equazioni siano la soluzione del problema di cauchy dell'equazione con condizioni al contorno (vincoli della buca).
Purtroppo si affronta MQ senza una base di metodi di risoluzione per queste equazioni differenziali e nutro grandi dubbi, le edo di solito di ordine n hanno n parametri liberi (arbitrari) da cui dipendono, le varie costanti di integrazione.
Mentre mi pare di capire che nelle equazioni alle derivate parizali siano arbitrarie n funzioni se di ordine n.
Fin qui mi pare ok, ma ecco il dubbio, quando risolvo l'equazione di schrodinger per la buca di potenziale mi riduco a una TISE che è una edo di 2 ordine e quindi ho in effetti i tipici 2 parametri liberi che trovo con condizioni al contorno e normalizzaizone.
Pero quando vado a ricostruire la soluzione più generica possibile scrivo:
$Psi(x,t)=\sumc_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$ questa diventa la soluzione dell'equazione differenziale alle derivate parziali che essendo di secondo ordine dovrebbe avere due funzioni arbitrarie (ma dove sono uste due fantomatiche funzioni?)
Inoltre ho un altro dubio, dato il problema di cauchy legato a una buca di potenziale di larghezza 0,a come estremi (caso 1D), mi verrebbe da dire che tale problema ha solo soluzioni seni e coseni come detto, invece l'eserciziario fa svolgere il calcolo di trovare i coeffcienti $c_n$ anche per una funzione $Psi(x,0)=Ax(a-x)$ che è una parabola, e qui mi chiedo, ma se con quei vincoli di a e 0 (larghezza della buca) figliavano come soluzioni seni e coseni, come è possibile che con le stesse condizioni al contorno 0 e a anche $Psi(x,0)=Ax(a-x)$ sia soluzione dell'equazione di schrodinger?
In questo modo pur essendo di secondo ordine sembra avere infinite funzioni soluzione.
Insomma, gran confusione
Purtroppo anche nei testi di MQ non trovo una trattazione valida ma solo naif della cosa e non mi permette proprio di capire.
Quando si risolve l'equaizone stazionaria per la buca di potenziale, ad esempio, si trovano le famose funzioni "seno", pare quindi che queste equazioni siano la soluzione del problema di cauchy dell'equazione con condizioni al contorno (vincoli della buca).
Purtroppo si affronta MQ senza una base di metodi di risoluzione per queste equazioni differenziali e nutro grandi dubbi, le edo di solito di ordine n hanno n parametri liberi (arbitrari) da cui dipendono, le varie costanti di integrazione.
Mentre mi pare di capire che nelle equazioni alle derivate parizali siano arbitrarie n funzioni se di ordine n.
Fin qui mi pare ok, ma ecco il dubbio, quando risolvo l'equazione di schrodinger per la buca di potenziale mi riduco a una TISE che è una edo di 2 ordine e quindi ho in effetti i tipici 2 parametri liberi che trovo con condizioni al contorno e normalizzaizone.
Pero quando vado a ricostruire la soluzione più generica possibile scrivo:
$Psi(x,t)=\sumc_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$ questa diventa la soluzione dell'equazione differenziale alle derivate parziali che essendo di secondo ordine dovrebbe avere due funzioni arbitrarie (ma dove sono uste due fantomatiche funzioni?)
Inoltre ho un altro dubio, dato il problema di cauchy legato a una buca di potenziale di larghezza 0,a come estremi (caso 1D), mi verrebbe da dire che tale problema ha solo soluzioni seni e coseni come detto, invece l'eserciziario fa svolgere il calcolo di trovare i coeffcienti $c_n$ anche per una funzione $Psi(x,0)=Ax(a-x)$ che è una parabola, e qui mi chiedo, ma se con quei vincoli di a e 0 (larghezza della buca) figliavano come soluzioni seni e coseni, come è possibile che con le stesse condizioni al contorno 0 e a anche $Psi(x,0)=Ax(a-x)$ sia soluzione dell'equazione di schrodinger?
In questo modo pur essendo di secondo ordine sembra avere infinite funzioni soluzione.
Insomma, gran confusione
Purtroppo anche nei testi di MQ non trovo una trattazione valida ma solo naif della cosa e non mi permette proprio di capire.
Risposte
Non vorrei dire stupidaggini ma mi sembra che la parabola la puoi ottenere con degli appropriati coefficienti $c_n$, che sarebbero i coefficienti della serie di Fourier della parabola.
Le $psi_n(x)$ sono delle sinusoidi (o esponenziali complessi) che sono multipli della larghezza della buca, quindi puoi tranquillamente ricostruire una parabola o qualsiasi altra forma d'onda.
Le $psi_n(x)$ sono delle sinusoidi (o esponenziali complessi) che sono multipli della larghezza della buca, quindi puoi tranquillamente ricostruire una parabola o qualsiasi altra forma d'onda.
Ciao Quinzio e grazie per la risposta. Non mi ero accorto fino a oggi ma sono ancora molto interessato a capire la faccenda.
Quello che dici è sicuramente corretto: con fourier mi scompongo facilmente la parabola proiettando sulla base seni e coseni / exp. Va benissimo.
Però il mio problema è più sull'idea di soluzione dell'equazione alle derivate parziali in sé, come dicevo essendo di ordine 2 mi aspetto che avrò due funzioni generiche (al pari dei due parametri costanti nelle edo di II ordine) che posso fissare con il problema di cauchy in studio.
Orbene, quando faccio la buca di potenziale cosa accade? Beh, che avrò le condizioni al contorno del mio problema e le soluzioni come sono? Sono del tipo seno e coseno appunto. Non mi aspetterei perciò alre soluzioni dato che per quel problema di cauchy le soluzioni sono due fissate funzioni (come dicevamo essendo di secondo ordine), invece così pare che per la medesima equazione differenziale pardiale di secondo ordine ho anche soluzione una parabola! E allora qualcosa non va perché non dovevano essere due sole le fuzioni che posso fissare coem soluzione? Sono un po confuso su questo personalmente.
Inoltre domanda simile si riflette nella soluzione generica (cioè senza problema di cauchy/buca di potenziale) la soluzione generica si dice essere:
$Psi(x,t)=\sumc_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$ ma messa così sono infinite le funzioni che creano la soluzione: tutte le $psi_n(x)$ della c.l ma io non dovrei avere solo due funzioni "libere"? E' (ripeto) di secondo ordine.
Quello che dici è sicuramente corretto: con fourier mi scompongo facilmente la parabola proiettando sulla base seni e coseni / exp. Va benissimo.
Però il mio problema è più sull'idea di soluzione dell'equazione alle derivate parziali in sé, come dicevo essendo di ordine 2 mi aspetto che avrò due funzioni generiche (al pari dei due parametri costanti nelle edo di II ordine) che posso fissare con il problema di cauchy in studio.
Orbene, quando faccio la buca di potenziale cosa accade? Beh, che avrò le condizioni al contorno del mio problema e le soluzioni come sono? Sono del tipo seno e coseno appunto. Non mi aspetterei perciò alre soluzioni dato che per quel problema di cauchy le soluzioni sono due fissate funzioni (come dicevamo essendo di secondo ordine), invece così pare che per la medesima equazione differenziale pardiale di secondo ordine ho anche soluzione una parabola! E allora qualcosa non va perché non dovevano essere due sole le fuzioni che posso fissare coem soluzione? Sono un po confuso su questo personalmente.
Inoltre domanda simile si riflette nella soluzione generica (cioè senza problema di cauchy/buca di potenziale) la soluzione generica si dice essere:
$Psi(x,t)=\sumc_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$ ma messa così sono infinite le funzioni che creano la soluzione: tutte le $psi_n(x)$ della c.l ma io non dovrei avere solo due funzioni "libere"? E' (ripeto) di secondo ordine.
Stai facendo una confusione pazzesca. Solo per fare un esempio:
Trattandosi di un'equazione parabolica, pur essendo del secondo ordine, la soluzione dipende da una sola funzione arbitraria, f(x) per intenderci. Prova ne è che, essendo parabolica anche l'equazione di Schroedinger, per determinare l'evoluzione temporale di un pacchetto è sufficiente assegnare la sola funzione d'onda all'istante iniziale.
Essendo completamente fuori strada, prima di aggiungere carne al fuoco, lascio a te mettere un po' di ordine.
Trattandosi di un'equazione parabolica, pur essendo del secondo ordine, la soluzione dipende da una sola funzione arbitraria, f(x) per intenderci. Prova ne è che, essendo parabolica anche l'equazione di Schroedinger, per determinare l'evoluzione temporale di un pacchetto è sufficiente assegnare la sola funzione d'onda all'istante iniziale.
"gastaldo":
E allora qualcosa non va perché non dovevano essere due sole le funzioni che posso fissare come soluzione?
Essendo completamente fuori strada, prima di aggiungere carne al fuoco, lascio a te mettere un po' di ordine.
Ciao, grazie per la risposta.
Il problema è che, in triennale di fisica, si affronta MQ senza aver MAI visto le equazioni differenziali alle derivate parziali. Io ho cercato di rappezzare cercando in rete ma senza avere una guida a quanto pare ho capito poco nulla. Trovo sia veramente stupido formare un fisico senza la parte matematica di tali equazioni ma spulciando i programmi di tutte le triennali di italia (o almeno le più importanti io ho visto che nessun corso le affronta), e andando a tentoni che senso ha fare MQ Boh, vabbé. Ad ogni modo il punto è che non sto "facendo una confusione pazzesca": io proprio "non so". E' ancora peggio!
In ogni caso, da quel che ho capito della tua risposta la soluzione è una sola funzione arbitraria?
Se così fosse resta comunque la domanda la buca infinita ha quel problema di cauchy per cui le soluzioni sono seni (la funzione arbitraria) e quindi come mai c'è una seconda funzoine soluzione? ossia la $Psi(x,t)=\sumc_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$? insomma non ho davvero capito come rispoindermi con le conoscenze che ho.
Il problema è che, in triennale di fisica, si affronta MQ senza aver MAI visto le equazioni differenziali alle derivate parziali. Io ho cercato di rappezzare cercando in rete ma senza avere una guida a quanto pare ho capito poco nulla. Trovo sia veramente stupido formare un fisico senza la parte matematica di tali equazioni ma spulciando i programmi di tutte le triennali di italia (o almeno le più importanti io ho visto che nessun corso le affronta), e andando a tentoni che senso ha fare MQ Boh, vabbé. Ad ogni modo il punto è che non sto "facendo una confusione pazzesca": io proprio "non so". E' ancora peggio!
In ogni caso, da quel che ho capito della tua risposta la soluzione è una sola funzione arbitraria?
Se così fosse resta comunque la domanda la buca infinita ha quel problema di cauchy per cui le soluzioni sono seni (la funzione arbitraria) e quindi come mai c'è una seconda funzoine soluzione? ossia la $Psi(x,t)=\sumc_npsi_n(x)e^(-iE_nt/h)$? insomma non ho davvero capito come rispoindermi con le conoscenze che ho.
"gastaldo":
... la buca infinita ha quel problema di Cauchy per cui le soluzioni sono seni (la funzione arbitraria) ...
Se vuoi applicare l'affermazione sottostante:
Così come la soluzione generale di un'equazione differenziale ordinaria dipende da n costanti arbitrarie, la soluzione generale di un'equazione differenziale alle derivate parziali dipende da n funzioni arbitrarie.
al tuo caso della buca inifinita, la funzione arbitraria è proprio:
$Ax(a-x)$
Insomma, dopo separazione delle variabili, le infinite funzioni goniometriche dipendenti da x che soddisfano le condizioni al bordo:
$\psi_k(0)=\psi_k(a)=0$
nulla hanno a che fare con l'affermazione di cui sopra.
Non ho capito però una cosa:
tale affermazione mi pareva mi avessi spiegato fosse falsa con il tuo controesempio, forse ho frainteso.
Devo averti capito male
perché ora mi pare che invece è corretto?
Non ho ben capito però perché, mi spiego: se sono soluzioni di quel problema con le condizioni al contorno: ψk(0)=ψk(a)=0 non sono proprio (funzioni) soluzione esse stesse?
Grazie, e perdona la mia ignoranza, vorrei solo cercare di raccapezzarmi meglio
Così come la soluzione generale di un'equazione differenziale ordinaria dipende da n costanti arbitrarie, la soluzione generale di un'equazione differenziale alle derivate parziali dipende da n funzioni arbitrarie.
tale affermazione mi pareva mi avessi spiegato fosse falsa con il tuo controesempio, forse ho frainteso.
Devo averti capito male
perché ora mi pare che invece è corretto?nulla hanno a che fare con l'affermazione di cui sopra.
Non ho ben capito però perché, mi spiego: se sono soluzioni di quel problema con le condizioni al contorno: ψk(0)=ψk(a)=0 non sono proprio (funzioni) soluzione esse stesse?
Grazie, e perdona la mia ignoranza, vorrei solo cercare di raccapezzarmi meglio
"gastaldo":
Devo averti capito male ...
Con n non intendevo necessariamente l'ordine dell'equazione differenziale alle derivate parziali.
"gastaldo":
... se sono soluzioni di quel problema con le condizioni al contorno ...
Sono soluzioni di una delle due equazioni differenziali ordinarie che si ottengono separando le variabili. Poichè manca il fattore dipendente dal tempo, non ha alcun senso chiedersi se sono soluzioni dell'equazione differenziale alle derivate parziali originaria. Ad ogni modo, mi sembra strano che tu non abbia mai visto lo svolgimento completo.
Il problema è che, in triennale di fisica, si affronta MQ senza aver MAI visto le equazioni differenziali alle derivate parziali.
su questo mi sento di darti ragione, ne hai da vendere. E rincaro la dose: anche nei corsi di laurea magistrale si trattano in una maniera che definirei "alla spizzichi e bocconi", nel senso applicate a questa e quella eq differenziale alle derivate parziali che si incontra a lezione "così de botto" (cit)
Dall'idea che mi sono formato durante la mia preparazione (che immagino superfluo dichiarare
) è che, benché stra-usate praticamente, la teoria dietro è altamente specialistica e non banale. Ho potuto frequentare in università un corso - a scelta - dal titolo "Metodi matematici della fisica - equazioni differenziali alle derivate parziali" e la trattazione ha seguito un processo che "learning by doing" è la definizione più consona: questo non è per denigrare la qualità dell'insegnamento - che anzi è stato molto buono - ma perché la teoria dietro è nata affrontando equazioni alle derivate parziali notevoli - Laplace, Poisson, Calore e Onda - con minime variazioni. Già la teoria in questi casi notevoli è abbastanza complessa, non oso immaginare quanto possa essere difficile una teoria per un caso generale - ammesso che essa esista. In soldoni, questa è una bella bestia, che fa rimpiangere la teoria delle ODE.Non saprei consigliarti letture specifiche, se non quella suggerita dal mio professore ai tempi "A first course in partial differential equations" di Weinberger, ma magari altre persone possono fornire referenze migliori.
@lampo1089: ti rintrazio molto per aver fatto rientrare la mia crisi esistenziale sul corso del mio ateneo, temevo fosse una lacuna della mia. Come dicevo ho spulciato un po' i maggiori atenei italiani e vedevo queste cose solo in corsi specialistici magistrali e molto settoriali come dici tu. Il fatto è che per come sono, ho bisogno di terra ferma sotto i piedi per procedere nella fisica, fatico sempre a muovermi ad intuito (forse perché mi manca, dote che servirebbe a un buon fisico invero 
)
@Noodles
Sìsì certo, ho visto la separazione applicata a schrodinger. Tuttavia alla soluzione coi seni mi riferivo a: $psi(x,t)=Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$ non solo a $psi(x)=Asin(kx)$, per intenderci.
In sostanza di quella equazione possiamo affermare che:
1) è lineare e quindi somma di soluzioni è soluzione (vedendo lo sviluppo in trasformata di fourier è facile rendersi conto che se le soluzioni in integranda sono soluzione lo sono anche della generale. (insomma quante fnzioni arbitrarie n abbia l'eq. di schrodinger come soluzione generale non mi è affatto chiaro, parrebbero infinite (primo dubbio).
2) il mio problema nasceva però nei problemi di cauchy specifici (es. buca de potenziale) dove in effetti a me sembra che $psi(x,t)=Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$ sia una soluzione. però la soluzione generica si dice essere:
$Psi(x,t)=sum_n c_n Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$ e questa $Psi$ è una funzione qualunque.
Quindi sembra che la soluzione sia infinite funzioni? Qualunque, tanto basta scomporle in base seni e coseni! Qui mi perdo. (secondo dubbio)
)@Noodles
Sono soluzioni di una delle due equazioni differenziali ordinarie che si ottengono separando le variabili. Poichè manca il fattore dipendente dal tempo, non ha alcun senso chiedersi se sono soluzioni dell'equazione differenziale alle derivate parziali originaria. Ad ogni modo, mi sembra strano che tu non abbia mai visto lo svolgimento completo.
Sìsì certo, ho visto la separazione applicata a schrodinger. Tuttavia alla soluzione coi seni mi riferivo a: $psi(x,t)=Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$ non solo a $psi(x)=Asin(kx)$, per intenderci.
In sostanza di quella equazione possiamo affermare che:
1) è lineare e quindi somma di soluzioni è soluzione (vedendo lo sviluppo in trasformata di fourier è facile rendersi conto che se le soluzioni in integranda sono soluzione lo sono anche della generale. (insomma quante fnzioni arbitrarie n abbia l'eq. di schrodinger come soluzione generale non mi è affatto chiaro, parrebbero infinite (primo dubbio).
2) il mio problema nasceva però nei problemi di cauchy specifici (es. buca de potenziale) dove in effetti a me sembra che $psi(x,t)=Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$ sia una soluzione. però la soluzione generica si dice essere:
$Psi(x,t)=sum_n c_n Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$ e questa $Psi$ è una funzione qualunque.
Quindi sembra che la soluzione sia infinite funzioni? Qualunque, tanto basta scomporle in base seni e coseni! Qui mi perdo. (secondo dubbio)
Nessuna delle infinite soluzioni che si ottengono separando le variabili:
soddisfa la condizione iniziale dell'esercizio che hai proposto:
visto che:
Solo se la condizone iniziale fosse proprio una di quelle relative all'immagine 3, per concludere sarebbe sufficiente selezionarne una. Motivo per il quale è necessario considerarne una combinazione lineare infinita:
i cui coefficienti si ricavano dalla teoria relativa alle serie di Fourier:
Spero di aver risposto ai tuoi ultimi due dubbi.
Immagine 1
soddisfa la condizione iniziale dell'esercizio che hai proposto:
Immagine 2
visto che:
Immagine 3
Solo se la condizone iniziale fosse proprio una di quelle relative all'immagine 3, per concludere sarebbe sufficiente selezionarne una. Motivo per il quale è necessario considerarne una combinazione lineare infinita:
Immagine 4
i cui coefficienti si ricavano dalla teoria relativa alle serie di Fourier:
Immagine 5
Spero di aver risposto ai tuoi ultimi due dubbi.
In questi giorni di intense lezioni ho cercato di trovare il tempo per stare dietro al programma ma cercare di appianare questo dubbione.
Allora, devo dire che non sono ancora certo di aver del tutto capito quindi oggi che ho modo vorrei rispondere in modo sensato al dubbio che ho, li spiego:
io ho un problema di cauchy e la solita eq. di schrodinger, le mie condizioni al contorno quali sono? beh direi che sono il fatto che $phi(0,x)=0=phi(a,0)$. Io pensavo che queste condizioni assieme all'equazione determinassero la FUNZIONE soluzione che pensavo fossero seni e coseni+ evoluzione temporale: $psi(x,t)=Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$.
Appare poi la $Psi(x,0)=Ax(a-x)$, questa di base non mi sembrerebbe soluzione del problema di cauchy indagato perché se ho già trovato la funzione soluzione come può esisterne un'altra per quel problema?
Invece scrivi "Nessuna delle infinite soluzioni che si ottengono separando le variabili, soddisfa la condizione iniziale dell'esercizio che hai proposto"
E questa cosa non la capisco, perché in realtà dalle tue parole sembra il contrario (ma onestamente non capisco il motivo fondante): da quello che dici la soluzione al problema di cauchy è unicamente la funzione $Psi(x,t)$ e mai uno dei seni e coseni trovati per quel problema di cauchy.
Ma quella funzione come esce, mi viene calata dall'alto $Psi(x,0)=Ax(a-x)$, mentre di solito la soluzione si dovrebbe ottenere semplicemente inserendo le condizioni al contorno della soluzione generale. E mai uscirebbe quella parabola a me par escano solo seni e coseni.
Sembra quai che $Psi(x,0)=Ax(a-x)$ sia anch'essa una condizione iniziale al contorno... insomma sono confuso come puoi vedere, ma spero almeno di aver fatto capire l'oggetto della mia confusione così potrai aiutarmi con la tua conoscenza (che vedo molto profonda) della faccenda.
Allora, devo dire che non sono ancora certo di aver del tutto capito quindi oggi che ho modo vorrei rispondere in modo sensato al dubbio che ho, li spiego:
io ho un problema di cauchy e la solita eq. di schrodinger, le mie condizioni al contorno quali sono? beh direi che sono il fatto che $phi(0,x)=0=phi(a,0)$. Io pensavo che queste condizioni assieme all'equazione determinassero la FUNZIONE soluzione che pensavo fossero seni e coseni+ evoluzione temporale: $psi(x,t)=Asin(kx)e^(-iE_n/ħ*t)$.
Appare poi la $Psi(x,0)=Ax(a-x)$, questa di base non mi sembrerebbe soluzione del problema di cauchy indagato perché se ho già trovato la funzione soluzione come può esisterne un'altra per quel problema?
Invece scrivi "Nessuna delle infinite soluzioni che si ottengono separando le variabili, soddisfa la condizione iniziale dell'esercizio che hai proposto"
E questa cosa non la capisco, perché in realtà dalle tue parole sembra il contrario (ma onestamente non capisco il motivo fondante): da quello che dici la soluzione al problema di cauchy è unicamente la funzione $Psi(x,t)$ e mai uno dei seni e coseni trovati per quel problema di cauchy.
Ma quella funzione come esce, mi viene calata dall'alto $Psi(x,0)=Ax(a-x)$, mentre di solito la soluzione si dovrebbe ottenere semplicemente inserendo le condizioni al contorno della soluzione generale. E mai uscirebbe quella parabola a me par escano solo seni e coseni.
Sembra quai che $Psi(x,0)=Ax(a-x)$ sia anch'essa una condizione iniziale al contorno... insomma sono confuso come puoi vedere, ma spero almeno di aver fatto capire l'oggetto della mia confusione così potrai aiutarmi con la tua conoscenza (che vedo molto profonda) della faccenda
.
Se non si fosse ancora capito, la soluzione deve soddisfare le condizioni sottostanti:
Al netto del fatto che non hai scritto una delle condizioni, nella migliore delle ipotesi hai commesso anche una svista. Dovresti prestare la massima attenzione quando esponi i tuoi dubbi.
Condizioni al bordo
$t gt= 0$
$[\phi(0,t)=0] ^^ [\phi(a,t)=0]$
Condizione iniziale
$0 lt=x lt= a$
$\phi(x,0)=Ax(a-x)$
"gastaldo":
... direi che sono il fatto che $phi(0,x)=0=phi(a,0)$ ....
Al netto del fatto che non hai scritto una delle condizioni, nella migliore delle ipotesi hai commesso anche una svista. Dovresti prestare la massima attenzione quando esponi i tuoi dubbi.
Hai ragione ho commesso una svista in quello che citi 
perdonami. Spero sia comunque comprensibile l'inversione tra x e t come typo.
Sì, quello che dici l'ho compreso, ho compreso che quella funzione è una condizione che definisci iniziale, ma non ho compreso il perché sia così. Volevo cioè dire che, quando risolvo una equazione differenziale, di solito trovo la soluzione generale... poi a posteriori se all'interno di quella sostituisco le condizioni al bordo (che fissano le costanti) trovo la soluzione per quel dato problema di cauchy. Benissimo.
Immagino, per quanto mai chiarito, le equazioni differenziali alle derivate parziali siano simili: se risolvo in modo generico l'equazione trovo le famose funzioni arbitrarie (non più costanti "di integrazione" come nelle edo, bensì funzioni) che poi dovrei fissare con le condizioni al bordo.
Ebbene, nella buca di potenziale io mi dicevo: trovo le funzioni soluzione generale che sono seni e coseni e poi con le condizioni al bordo fisso che deve essere un seno. la condizione è "larghezza della buca" (condizioni al bordo).
In questo processo di similitudine con le edo non capisco la condizione iniziale 0≤x≤a, ϕ(x,0)=Ax(a−x) che c'azzecchi. Cioè come esca. Nella mia idea la funzione soluzione la dovrei trovare solo con le condizioni al bordo, e la condizione iniziale me la aspetterei su una funzione che è al massimo un seno (cioè già una soluzione trovata in modo generale), invece mi ritrovo una parabola e mi dico: perché può essere una parabola? Non capisco da dove esca.
perdonami. Spero sia comunque comprensibile l'inversione tra x e t come typo.Sì, quello che dici l'ho compreso, ho compreso che quella funzione è una condizione che definisci iniziale, ma non ho compreso il perché sia così. Volevo cioè dire che, quando risolvo una equazione differenziale, di solito trovo la soluzione generale... poi a posteriori se all'interno di quella sostituisco le condizioni al bordo (che fissano le costanti) trovo la soluzione per quel dato problema di cauchy. Benissimo.
Immagino, per quanto mai chiarito, le equazioni differenziali alle derivate parziali siano simili: se risolvo in modo generico l'equazione trovo le famose funzioni arbitrarie (non più costanti "di integrazione" come nelle edo, bensì funzioni) che poi dovrei fissare con le condizioni al bordo.
Ebbene, nella buca di potenziale io mi dicevo: trovo le funzioni soluzione generale che sono seni e coseni e poi con le condizioni al bordo fisso che deve essere un seno. la condizione è "larghezza della buca" (condizioni al bordo).
In questo processo di similitudine con le edo non capisco la condizione iniziale 0≤x≤a, ϕ(x,0)=Ax(a−x) che c'azzecchi. Cioè come esca. Nella mia idea la funzione soluzione la dovrei trovare solo con le condizioni al bordo, e la condizione iniziale me la aspetterei su una funzione che è al massimo un seno (cioè già una soluzione trovata in modo generale), invece mi ritrovo una parabola e mi dico: perché può essere una parabola? Non capisco da dove esca.
Solo per fare un esempio, considera le oscillazioni trasversali di una corda di lunghezza l fissata agli estremi. L'equazione differenziale alle derivate parziali che governa il fenomeno è:
Poichè la corda è fissata agli estremi, la soluzione deve necessariamente soddisfare le condizioni:
Ora, anche solo intuitivamente, è naturale che l'evoluzione temporale della corda debba dipendere anche dalle condizioni iniziali. Proprio per questo motivo è necessario assegnare:
prima funzione arbitraria (dipende dalla configurazione iniziale che hai deciso di far assumere alla corda, può essere anche una parabola che si annulla agli estremi);
seconda funzione arbitraria (dipende dalla spinta iniziale che hai deciso di impartire alla corda). Insomma, le due funzioni arbitrarie di cui sopra consentono di assegnare posizione e velocità trasversale degli "infiniti elementi infinitesimi" (etichettati con x) in cui si può pensare suddivisa la corda (in analogia con le equazioni differenziali ordinarie). Vero è che, quando si considera l'equazione di Schroedinger relativa ad una buca di potenziale infinita di larghezza a, trattandosi di un'equazione parabolica, la teoria prevede che sia sufficiente solo la prima funzione arbitraria:
Spero di essermi spiegato.
$u_(t t)-v^2u_(x x)=0$
Poichè la corda è fissata agli estremi, la soluzione deve necessariamente soddisfare le condizioni:
$t gt= 0$
$[u(0,t)=0] ^^ [u(l,t)=0]$
Ora, anche solo intuitivamente, è naturale che l'evoluzione temporale della corda debba dipendere anche dalle condizioni iniziali. Proprio per questo motivo è necessario assegnare:
$0 lt= x lt= l$
$u(x,0)$
prima funzione arbitraria (dipende dalla configurazione iniziale che hai deciso di far assumere alla corda, può essere anche una parabola che si annulla agli estremi);
$0 lt= x lt= l$
$u_t(x,0)$
seconda funzione arbitraria (dipende dalla spinta iniziale che hai deciso di impartire alla corda). Insomma, le due funzioni arbitrarie di cui sopra consentono di assegnare posizione e velocità trasversale degli "infiniti elementi infinitesimi" (etichettati con x) in cui si può pensare suddivisa la corda (in analogia con le equazioni differenziali ordinarie). Vero è che, quando si considera l'equazione di Schroedinger relativa ad una buca di potenziale infinita di larghezza a, trattandosi di un'equazione parabolica, la teoria prevede che sia sufficiente solo la prima funzione arbitraria:
$0 lt= x lt= a$
$u(x,0)$
Spero di essermi spiegato.
"Noodles":
Mi ha fato ridere
.Sì credo di aver afferrato, non so perché ma ero convinto della seguente cosa: mettiamo che sia appunto la $Psi$ parabola la funzione al punto iniziale,mi aspettavo dovesse "uscire" dalla sola equazione di schrodinger + condizioni dei "nodi" diciamo così. In poche parole, io immaginavo che data l'equazione di Schrodinger la forma della soluzione $Psi$ dipendesse solo dalle condizioni di bordo.
Se noi fissiamo una buca di larghezza “a” ho gli estremi fissati e da questi pensavo scaturisse la forma funzionale risolutiva.
Invece mi pare di capire che, date quelle condizioni di larghezza della buca, le funzioni soluzione sono infinite! Funzioni di "forma"[nota]passami il termine senza castigarmi
[/nota] qualunque.Mi lascia solo in qualche modo questo perplesso: io ho l'equazione + il parametro larghezza della buca, cosa decide quindi la forma funzionale (cioè la funzione soluzione) del mio sistema fisico tra le infinite funzioni soluzioni possibili? Semplicemente come all'inizio scelgo la funzione, direi.
Rigirando la frittata:
Il mio errore era quindi non interpretare $Psi(x,0)$ come una condizione al contorno del probelma di cauchy in essere, io interpretavo $Psi(x,0)$ come qualcosa che doveva figliare unicamente dalle condizioni di larghezza della buca, per intenderci.
Direi che hai colto il punto. Per rinforzare il concetto, poichè l'equazione alle derivate parziali in esame contempla una funzione di due variabili indipendenti, x e t per intenderci, il dominio in cui deve essere risolta è il rettangolo illimitato superiormente sottostante:
Ebbene, almeno per quanto riguarda l'equazione di Schroedinger, il teorema di esistenza e unicità richiede solamente che la funzione sia nota sul bordo del dominio.
P.S.
Per la precisione, anche se si tratta solo di un modo di esprimersi, nel mio messaggio precedente ho doverosamente corretto sostituendo "infiniti elementi infinitesimali" con "infiniti elementi infinitesimi".
Ebbene, almeno per quanto riguarda l'equazione di Schroedinger, il teorema di esistenza e unicità richiede solamente che la funzione sia nota sul bordo del dominio.
P.S.
Per la precisione, anche se si tratta solo di un modo di esprimersi, nel mio messaggio precedente ho doverosamente corretto sostituendo "infiniti elementi infinitesimali" con "infiniti elementi infinitesimi".
Ti ringrazio molto.
Comunqe credo il mio errore sorgesse dal fatto che come dicevo sono super ignorante su questo tipo di equazioni [nota]e voglio autonomamente colmare questa lacuna di preparazione, in modo rigoroso nel breve futuro[/nota] e quindi facessi un paragone con le edo classiche dove la forma della funzione si trova già nella soluzione stessa dell'equazione, cioè generalmente so già che faccia ha la funzione risolutiva e le condizioni al contorno mi fissano solo i parametri ma non ne scalfiscono la forma di essa. Insomma, data equazione edo, ho poi una valutazione di y(k)=c e y'(d)=m (con k,c,d,m numeri fissati) ma non ho una forma della funzione predeterminata, ho solo il valore in un punto dal problema di cauchy e di un punto della sua derivata. Invece in quelle parziali ho già una funzione proprio perchè siffo (ad esempio t) ma rimane una funzione in x avendo più variabili (nel nostro esempio la parabola).
Scusa se mi sono espresso poco formalmente ma credo il punto del mio dubbio fosse proprio questo.
Edito un typo, spero di non aver detto stupidaggini (nel caso dimmelo XD)! Ma che torni tutto.
Comunqe credo il mio errore sorgesse dal fatto che come dicevo sono super ignorante su questo tipo di equazioni [nota]e voglio autonomamente colmare questa lacuna di preparazione, in modo rigoroso nel breve futuro[/nota] e quindi facessi un paragone con le edo classiche dove la forma della funzione si trova già nella soluzione stessa dell'equazione, cioè generalmente so già che faccia ha la funzione risolutiva e le condizioni al contorno mi fissano solo i parametri ma non ne scalfiscono la forma di essa. Insomma, data equazione edo, ho poi una valutazione di y(k)=c e y'(d)=m (con k,c,d,m numeri fissati) ma non ho una forma della funzione predeterminata, ho solo il valore in un punto dal problema di cauchy e di un punto della sua derivata. Invece in quelle parziali ho già una funzione proprio perchè siffo (ad esempio t) ma rimane una funzione in x avendo più variabili (nel nostro esempio la parabola).
Scusa se mi sono espresso poco formalmente ma credo il punto del mio dubbio fosse proprio questo.
Edito un typo, spero di non aver detto stupidaggini (nel caso dimmelo XD)! Ma che torni tutto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo