MQ continuità della funzione d'onda
In ogni esercizio riguardante l'equazione di scrodinger indipentente dal tempo si suppone sempre che dato un potenziale discontinuo(barriere di potenziale ,
buca di potenziale, potenziale a delta Ecc)la funzione d'onda sia sempre continua per il valore di $x$ in cui il potenziale è discontinuo , la derivata prima
è continua se il salto di potenziale è finito mentre è discontinua se il salto è infinito, la derivata seconda è sempre discontinua.Mi potreste dimostrare perchè deve essere così?grazie
buca di potenziale, potenziale a delta Ecc)la funzione d'onda sia sempre continua per il valore di $x$ in cui il potenziale è discontinuo , la derivata prima
è continua se il salto di potenziale è finito mentre è discontinua se il salto è infinito, la derivata seconda è sempre discontinua.Mi potreste dimostrare perchè deve essere così?grazie
Risposte
Io dividerei il ragionamento in due parti. La prima parte riguarda la continuità della funzione d'onda. Visto che da questa, quadrando, si ottiene la distribuzione di probabilità sembrerebbe fisicamente poco plausibile che quest'ultima avesse delle discontinuità. Mi rendo conto che è un po' deboluccio scritto così però era per darti l'idea.
Per quanto riguarda le derivate il ragionamento che c'è sotto è uguale a quello per ricavare la condizione di raccordo per un potenziale a delta. Parti dall'equazione agli autovalori per l'energia
[tex]$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$[/tex]
la riscrivi come
[tex]$ \psi''(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) $[/tex]
e ti accorgi subito che la derivata seconda ha lo stesso comportamento del potenziale in termini di discontinuità. Per la derivata prima, supponendo che il punto incriminato sia in [tex]x=0[/tex], puoi integrare l'equazione su [tex][-\epsilon, \epsilon][/tex] ottenendo
[tex]$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \psi''(x) dx = \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) dx $[/tex]
cioè
[tex]$\psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) dx $[/tex]
Adesso dipende tutto dall'integrale a secondo membro. O meglio dal suo comportamento nel limite [tex]\epsilon \rightarrow 0[/tex]. Se fai il limite il primo membro diventa
[tex]$\psi'(0^+) - \psi'(0^-)$[/tex]
per il secondo membro abbiamo
[tex]$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} V(x) \psi(x) dx$[/tex]
e infine
[tex]$\psi'(0^+) - \psi'(0^-) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} V(x) \psi(x) dx$[/tex]
da quest'ultima si legge tutto. Ti dice che la discontinuità della derivata prima è legata all'integrale del potenziale. Se il potenziale è solo discontinuo, tipo una barriera, il limite dell'integrale va a zero e dunque la derivata prima è continua. Se invece c'è una delta, cioè [tex]V(x) = g \delta(x)[/tex] viene fuori che l'integrale vale
[tex]$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} g \delta(x) \psi(x) dx = g \psi(0)$[/tex]
che rimane uguale nel limite, questo solo per le magiche proprietà della delta. Quindi in conclusione
[tex]$\psi'(0^+) - \psi'(0^-) = \frac{2m g }{\hbar^2} \psi(0) $[/tex]
cioè la derivata è discontinua e l'ampiezza della discontinuità dipende dal valore della funzione d'onda nel punto. Quindi la nostra assunzione iniziale di continuità delle funzione d'onda non è poi così campata in aria visto che nella peggiore delle ipotesi abbiamo una derivata discontinua (tipo salto).
Per quanto riguarda le derivate il ragionamento che c'è sotto è uguale a quello per ricavare la condizione di raccordo per un potenziale a delta. Parti dall'equazione agli autovalori per l'energia
[tex]$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi''(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$[/tex]
la riscrivi come
[tex]$ \psi''(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) $[/tex]
e ti accorgi subito che la derivata seconda ha lo stesso comportamento del potenziale in termini di discontinuità. Per la derivata prima, supponendo che il punto incriminato sia in [tex]x=0[/tex], puoi integrare l'equazione su [tex][-\epsilon, \epsilon][/tex] ottenendo
[tex]$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \psi''(x) dx = \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) dx $[/tex]
cioè
[tex]$\psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) dx $[/tex]
Adesso dipende tutto dall'integrale a secondo membro. O meglio dal suo comportamento nel limite [tex]\epsilon \rightarrow 0[/tex]. Se fai il limite il primo membro diventa
[tex]$\psi'(0^+) - \psi'(0^-)$[/tex]
per il secondo membro abbiamo
[tex]$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \left[ V(x) - E \right] \psi(x) dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} V(x) \psi(x) dx$[/tex]
e infine
[tex]$\psi'(0^+) - \psi'(0^-) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{2m}{\hbar^2} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} V(x) \psi(x) dx$[/tex]
da quest'ultima si legge tutto. Ti dice che la discontinuità della derivata prima è legata all'integrale del potenziale. Se il potenziale è solo discontinuo, tipo una barriera, il limite dell'integrale va a zero e dunque la derivata prima è continua. Se invece c'è una delta, cioè [tex]V(x) = g \delta(x)[/tex] viene fuori che l'integrale vale
[tex]$\int_{-\epsilon}^{\epsilon} g \delta(x) \psi(x) dx = g \psi(0)$[/tex]
che rimane uguale nel limite, questo solo per le magiche proprietà della delta. Quindi in conclusione
[tex]$\psi'(0^+) - \psi'(0^-) = \frac{2m g }{\hbar^2} \psi(0) $[/tex]
cioè la derivata è discontinua e l'ampiezza della discontinuità dipende dal valore della funzione d'onda nel punto. Quindi la nostra assunzione iniziale di continuità delle funzione d'onda non è poi così campata in aria visto che nella peggiore delle ipotesi abbiamo una derivata discontinua (tipo salto).
intanto grazie mille ,ma è possibile che la mia prof e i libri che possiedo abbiano dato tutto per scontato?
Mi sono rimasti dei dubbi,
non ho capito quando dici:"se il potenziale è solo discontinuo,tipo una barriera ,il limite dell'integrale va a zero" perchè ?(ho avuto un pessimo prof di analisi) spero che mi perdonerai la domanda !
In base al ragionamento che hai fatto la funzione d'onda deve essere continua quando la sua derivata prima è continua, ma quando la derivata prima è discontinua ,perchè la funzione d'onda deve essere continua? Oppure si assume semplicemente come quasi fosse un postulato che la funzione d'onda sia sempre continua?
Mi sono rimasti dei dubbi,
non ho capito quando dici:"se il potenziale è solo discontinuo,tipo una barriera ,il limite dell'integrale va a zero" perchè ?(ho avuto un pessimo prof di analisi) spero che mi perdonerai la domanda !
In base al ragionamento che hai fatto la funzione d'onda deve essere continua quando la sua derivata prima è continua, ma quando la derivata prima è discontinua ,perchè la funzione d'onda deve essere continua? Oppure si assume semplicemente come quasi fosse un postulato che la funzione d'onda sia sempre continua?
inoltre se $\psi(0)=0$ allora la derivata prima è continua anche per un potenziale a delta?
certo! Difatti ad esempio nella buca con barriera gli autostati dispari che in 0 valgono 0 non sono perturbati dalla barriera! 
"baldo89":
non ho capito quando dici:"se il potenziale è solo discontinuo,tipo una barriera ,il limite dell'integrale va a zero" perchè ?
Perchè il dominio di integrazione si riduce ad un unico punto.
"baldo89":
In base al ragionamento che hai fatto la funzione d'onda deve essere continua quando la sua derivata prima è continua, ma quando la derivata prima è discontinua ,perchè la funzione d'onda deve essere continua? Oppure si assume semplicemente come quasi fosse un postulato che la funzione d'onda sia sempre continua?
Non ho ben capito cosa mi stai chiedendo....aiuta se ti dico che la primitiva di una funzione discontinua (tipo salto) è una funzione continua? Pensa ad un punto angoloso...
si aiuta molto direi, grazie mille! mi dovrebbero togliere il 30 e lode dagli esami di analisi visto che non sapevo che la primitiva di una funzione discontinua
è una funzione continua!
è una funzione continua!
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