[MQ] autovalore e valore di aspettazione

[sgrisolo]

Sto seguendo il primo corso di mq, e devo dire che non ho ancora la visione completa della faccenda.
Tuttavia ho un dubbio che mi assilla in queste prime cosette viste, in particolare il concetto di autovalore di un certo operatore e il valore di aspettazione che posso calcolare in questo modo:

$ =int_(-oo)^(+oo)psi(x)Qpsi(x)dx$

ora se Q ha per autovalore q avrei:

$=qint_(-oo)^(+oo)psi(x)psi(x)dx=q$ (essendo supposta normalizzata psi)

Insomma l'autovalore che risulta dall'equazione $Qpsi=qpsi$ è evidentmente il valore medio.

Ma non capisco se ciò valga sempre, infatti in realtà il discorso sopra era stato fatto per l'hamiltoniana H, su autofunzioni della TISE. Però Q in generale potrebbe avere autostati differenti dall'autofunzione psi, quindi l'integrale scritto non avrebbe senso. O sbaglio?

Non so, credo di avere un po' di confusione sulla questione e non capisco come raccapezzarmi.

[Lampo1089]

Nella rappresentazione delle coordinate, per un operatore vale sempre:

\[
\langle Q\rangle_{\psi} = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x)^*Q\psi(x) dx
\]

Perché ritieni che l'espressione non abbia senso nel caso in cui $\psi$ non sia autostato dell'operatore?

[LoreT314]

"sgrisolo":Ma non capisco se ciò valga sempre

Che cosa pensi che debba valere sempre? Che il valor medio di $Q$ sullo stato $\psi$ sia l'autovalore di $\psi$ relativo a $Q$? Beh questo è chiaramente falso, come dici tu $\psi$ può tranquillamente non essere autostato di Q e quindi non avercelo proprio un autovalore relativo a Q. Quello che è vero è che SE $\psi$ è autostato di $Q$ allora il valore medio è proprio l'autovalore relativo. Anzi in realtà si può dire di più. Infatti gli autostati di Q $\phi_n$ formano una base poichè Q è autoaggiunto. Quindi qualsiasi sia $\psi$ puoi scriverla come $\psi=\sum_i c_i \phi_i$ per oppurtuni $c_i$. Sia ora $\lambda_i$ l'autovalore relativo all'autostato $\phi_i$. E' immediato dimostrare (prova a farlo) che $\langle Q \rangle=\sum_i \lambda_i |c_i|^2$. Quindi nel caso in cui tu non faccia alcuna ipotesi su $\psi$ il valore medio è una combinazione lineare degli autovalori con pesi $|c_i|^2$. Nel caso precedente (ovvero se $psi$ è già autostato di $Q$, diciamo sia uguale a $\phi_k$) chiaramente $c_i=\delta_{ki}$ e ritrovi il risultato precedente $\langle A \rangle=\lambda_k$. Questa faccenda ha una profondo significato fisico che non so se hai già affrontato (hai già visto gli assiomi sulle misure?)