[MQ] Armoniche sferiche autofunzioni di Lz e L^2z
Buongiorno,
mi trovo con un secondo dubbio mentre proseguo con lo studio di struttura della materia, in particolare per quanto riguarda le autofunzioni di $L_z$ e $L_z^2$.
Di solito si parla di autofunzioni di $L_z^2$ come combinazione lineare delle armoniche sferiche che escono per $L_z$ con il vantaggio di averle reali (e non complesse) e quindi graficabili con i soliti s,px,py,pz,d....
Ma, di fatto, le autofunzioni di $L_z^2$ non dovrebbero essere proprio le medesime armoniche sferiche di $L_z$? (non una loro combinazione lineare)
Infatti mi dico: $L_z^2 |m,l> = L_z$($L_z $|$ m,l>$)$= (hm) L_z |m,l> = h^2m^2 |m,l>$ che dimostra essere le stesse.
Quindi perché i testi scrivono che le $L_z^2$ sono reali e C.L. delle armoniche sferiche di Lz?
mi trovo con un secondo dubbio mentre proseguo con lo studio di struttura della materia, in particolare per quanto riguarda le autofunzioni di $L_z$ e $L_z^2$.
Di solito si parla di autofunzioni di $L_z^2$ come combinazione lineare delle armoniche sferiche che escono per $L_z$ con il vantaggio di averle reali (e non complesse) e quindi graficabili con i soliti s,px,py,pz,d....
Ma, di fatto, le autofunzioni di $L_z^2$ non dovrebbero essere proprio le medesime armoniche sferiche di $L_z$? (non una loro combinazione lineare)
Infatti mi dico: $L_z^2 |m,l> = L_z$($L_z $|$ m,l>$)$= (hm) L_z |m,l> = h^2m^2 |m,l>$ che dimostra essere le stesse.
Quindi perché i testi scrivono che le $L_z^2$ sono reali e C.L. delle armoniche sferiche di Lz?
Risposte
Onestamente non so perché tu stia guardando $L_z^2$ e non $L^2$ in quanto il numero quantico $l$ si riferisce a $L^2$...comunque, il punto è che la base delle armoniche sferiche (comune ad $H$, $L_z$ ed $L^2$) ha delle funzioni d'onda complesse (tipo $Y_1^1$) e a noi non piace perché le vogliamo disegnare. L'idea è quindi prendere combinazioni lineari di autofunzioni con la stessa energia per renderle reali (tipo $Y_1^1+Y_1^{-1}$). Così facendo non saranno più autofunzioni di $L_z$ ma continueranno ad essere autofunzioni di $H$ ed $L^2$ con gli stessi numeri quantici, che alla fine è ciò che è importante. Sostanzialmente è come se stessi scegliendo una base diversa nell'autospazio dell'autovalore $l$ ed $n$ fissati. Alla fine quello che è importante è che possiedano la stessa energia e lo stesso momento angolare, della proiezione del momento angolare su un asse arbitrario ce ne possiamo anche fregare.
Eh perché sono un asino e non mi sono accorto che stavo scrivendo l'autovalore sbagliato.
Il senso della domanda va traslato quindi nel senso corretto... però mi rimane tale.
Ho capito quello che dici e mi tornerebbe anche, tuttavia a me sembra che
$L_z^2 |m,l> = L_z$($L_z $|$ m,l>$)$= (hm) L_z |m,l> = h^2m^2 |m,l>$
dimostrerebbe che |m,l> rimane autofunzione anche di $L_z^2$, ed è qui il dubbio, perché il professore diceva che le combinazioni di $Y_1^1$ e $Y_1^{-1}$ sono LE autofunzioni di $L_z^2$, mentre la catena di uguaglianza sopra mi sembrerebbe dire che le autofunzioni non dovrebbero cambiare da quelle di $L_z$
Il senso della domanda va traslato quindi nel senso corretto... però mi rimane tale.
Ho capito quello che dici e mi tornerebbe anche, tuttavia a me sembra che
$L_z^2 |m,l> = L_z$($L_z $|$ m,l>$)$= (hm) L_z |m,l> = h^2m^2 |m,l>$
dimostrerebbe che |m,l> rimane autofunzione anche di $L_z^2$, ed è qui il dubbio, perché il professore diceva che le combinazioni di $Y_1^1$ e $Y_1^{-1}$ sono LE autofunzioni di $L_z^2$, mentre la catena di uguaglianza sopra mi sembrerebbe dire che le autofunzioni non dovrebbero cambiare da quelle di $L_z$
Le autofunzioni non sono uniche, se esistono autovalori degeneri (come $m=1$ per $L_z^2$) puoi cambiare base e usarne un'altra che ti torna comoda.
Tu fissa tipo $n=2$ ed $l=1$ , le tue autofunzioni ora (che hanno momento angolare ed energia fissata) vivono in un sottospazio di dimensione 3. La base standard che viene presa è quella costruita in modo che queste autofunzioni (oltre ad essere autofunzioni di $H$ ed $L^2$) lo siano anche di $L_z$. Così facendo trovi la solita base data da $Y_1^0,Y_1^1,Y_1^{-1}$. Questi tre elementi della base hanno tutti e tre un diverso autovalore $m$, quindi questa è l'unica scelta di base possibile per avere che siano autostati sia di $H$ che di $L^2$ che di $L_z$ (d'altronde questa base è scelta proprio perché fornisce un set completo di numeri quantici...). Però, se tu consideri $L_z^2$ allora $Y_1^1$ e $Y_1^{-1}$ hanno lo stesso autovalore. Di conseguenza ora nell'autospazio di dimensione 2 relativo a tale autovalore tu puoi cambiare base, costruendone una nuova che è comunque fatta da autovalori di $L_2^z$ (ma NON di $L_z$). Questa nuova base è scelta prendendo $Y_1^1+Y_1^{-1}$ e $Y_1^1-Y_1^{-1}$.
Tu fissa tipo $n=2$ ed $l=1$ , le tue autofunzioni ora (che hanno momento angolare ed energia fissata) vivono in un sottospazio di dimensione 3. La base standard che viene presa è quella costruita in modo che queste autofunzioni (oltre ad essere autofunzioni di $H$ ed $L^2$) lo siano anche di $L_z$. Così facendo trovi la solita base data da $Y_1^0,Y_1^1,Y_1^{-1}$. Questi tre elementi della base hanno tutti e tre un diverso autovalore $m$, quindi questa è l'unica scelta di base possibile per avere che siano autostati sia di $H$ che di $L^2$ che di $L_z$ (d'altronde questa base è scelta proprio perché fornisce un set completo di numeri quantici...). Però, se tu consideri $L_z^2$ allora $Y_1^1$ e $Y_1^{-1}$ hanno lo stesso autovalore. Di conseguenza ora nell'autospazio di dimensione 2 relativo a tale autovalore tu puoi cambiare base, costruendone una nuova che è comunque fatta da autovalori di $L_2^z$ (ma NON di $L_z$). Questa nuova base è scelta prendendo $Y_1^1+Y_1^{-1}$ e $Y_1^1-Y_1^{-1}$.
Mi sembra chiaro ora, non avevo pensato che si gioca sulla degenerazione.
Ti ringrazio di nuovo!
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