Moto uniformemente accelerato
Perché nella dimostrazione che c'è sul libro di fisica della formula spazio tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato usa la formula $s = v_m * t$ se e del moto rettilineo uniforme? e poi a cosa gli serve usare la velocità media? Grazie
Risposte
Tutto si può spiegare con un famoso teorema di analisi sulle funzioni continue: il teorema di Lagrange.
Questo teorema afferma che, data una funzione continua $y=f(x)$ in un intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, esiste almeno un punto $c$ nell'intervallo tale per cui vale la relazione:
$f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)$
Il primo membro è la derivata prima della funzione in c, ovvero la pendenza della retta tangente alla curva in $f(c)$; il secondo membro è invece la pendenza della secante alla curva nei punti $f(a)$ e $f(b)$.
Quindi, esiste sempre almeno un punto in cui la velocità di variazione istantanea della funzione (derivata prima) coincide con la velocità media di variazione (pendenza della secante).
Questo si riporta pari pari alla legge oraria del moto, che è una funzione continua per la quale vale questo teorema.
Supponiamo, per semplicità, che la posizione iniziale del punto sia lo zero e che sia nulla anche la velocità iniziale; la legge oraria diventa $S = 1/2 a t^2$.
Per calcolare lo spostamento in un certo istante $T$ basta calcolare $S(T) = 1/2 a T^2$.
Applichiamo ora il teorema di Lagrange: la velocità media fra il punto finale e quello iniziale è
$v_m = (S(T) - S(0))/(T - 0) = (S(T))/T$
Da qui, ovviamente, si ricava che $S(T) = v_m T$
Per concludere: secondo il teorema di Lagrange (applicato alla fisica), per andare da un punto all'altro si può seguire la reale legge del moto, oppure (nello stesso tempo!) ci si può muovere di moto rettilineo ed uniforme con velocità (costante) pari alla velocità media sopra definita.
Questo teorema afferma che, data una funzione continua $y=f(x)$ in un intervallo $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, esiste almeno un punto $c$ nell'intervallo tale per cui vale la relazione:
$f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)$
Il primo membro è la derivata prima della funzione in c, ovvero la pendenza della retta tangente alla curva in $f(c)$; il secondo membro è invece la pendenza della secante alla curva nei punti $f(a)$ e $f(b)$.
Quindi, esiste sempre almeno un punto in cui la velocità di variazione istantanea della funzione (derivata prima) coincide con la velocità media di variazione (pendenza della secante).
Questo si riporta pari pari alla legge oraria del moto, che è una funzione continua per la quale vale questo teorema.
Supponiamo, per semplicità, che la posizione iniziale del punto sia lo zero e che sia nulla anche la velocità iniziale; la legge oraria diventa $S = 1/2 a t^2$.
Per calcolare lo spostamento in un certo istante $T$ basta calcolare $S(T) = 1/2 a T^2$.
Applichiamo ora il teorema di Lagrange: la velocità media fra il punto finale e quello iniziale è
$v_m = (S(T) - S(0))/(T - 0) = (S(T))/T$
Da qui, ovviamente, si ricava che $S(T) = v_m T$
Per concludere: secondo il teorema di Lagrange (applicato alla fisica), per andare da un punto all'altro si può seguire la reale legge del moto, oppure (nello stesso tempo!) ci si può muovere di moto rettilineo ed uniforme con velocità (costante) pari alla velocità media sopra definita.
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