Moto rotazionale + attrito
Salve , vi posto un problema nel quale non saprei neanche da dove cominciare .. chi è temerario può provare a farlo
"Un cerchio di raggio $ R= 45cm $ e massa $ M=300g $ viene lanciato orizzontalmente in modo che strisci sul pavimento mentre ruota con una certa velocitá angolare , che ha verso opposto a quello che si avrebbe in caso di puro rotolamento, in modo che ad un certo punto torni indietro ( come quando le ginnaste lanciano il cerchio nelle loro coreografie ). Si calcoli dopo quanto tempo il cerchio raggiunge la condizione di puro rotolamento se viene eseguito un lancio con velocitá iniziale del centro di massa $ Vcm= 1,6m/s $ e velocitá angolare iniziale $ omega = 5,5 $ rad/s su un tappeto con coefficiente di attrito dinamico $ mu = 0,1 $ "

"Un cerchio di raggio $ R= 45cm $ e massa $ M=300g $ viene lanciato orizzontalmente in modo che strisci sul pavimento mentre ruota con una certa velocitá angolare , che ha verso opposto a quello che si avrebbe in caso di puro rotolamento, in modo che ad un certo punto torni indietro ( come quando le ginnaste lanciano il cerchio nelle loro coreografie ). Si calcoli dopo quanto tempo il cerchio raggiunge la condizione di puro rotolamento se viene eseguito un lancio con velocitá iniziale del centro di massa $ Vcm= 1,6m/s $ e velocitá angolare iniziale $ omega = 5,5 $ rad/s su un tappeto con coefficiente di attrito dinamico $ mu = 0,1 $ "
Risposte
Qualche tuo tentativo??
Eh sinceramente non so neanche da dove cominciare , volevo provare con il delta Energia meccanica che è uguale al lavoro della forza di attrito ma non arrivo da nessuna parte .. se avete qualche consiglio ne sarei grato ( il momento angolare non si conserva vero?)
No non si conserva. Come ogni studio del moto, bisogna applicare le leggi della dinamica ed ad un certo punto la ruota soddisferà la condizione di puro rotolamento.
Veramente, il momento angolare rispetto al punto di contatto si conserva. Inoltre, molto più sintetico conservare proprio il momento angolare e, visto che la forza di attrito è costante, utilizzare il teorema dell'impulso. Provare in entrambi i modi per credere.
1. Conservazione del momento angolare:
$[-Mv_0R+1/2MR^2\omega_0=3/2MR^2\omega] rarr [\omega=1/3\omega_0-2/3v_0/R] rarr [v=1/3\omega_0R-2/3v_0]$
2. Teorema dell'impulso:
$[\muMg t=Mv+Mv_0] rarr [t=(v+v_0)/(\mug)] rarr [t=(v_0+\omega_0R)/(3\mug)]$
Con i valori numerici che hai scritto è impossibile che torni indietro.
1. Conservazione del momento angolare:
$[-Mv_0R+1/2MR^2\omega_0=3/2MR^2\omega] rarr [\omega=1/3\omega_0-2/3v_0/R] rarr [v=1/3\omega_0R-2/3v_0]$
2. Teorema dell'impulso:
$[\muMg t=Mv+Mv_0] rarr [t=(v+v_0)/(\mug)] rarr [t=(v_0+\omega_0R)/(3\mug)]$
"g.fontani2":
... in modo che ad un certo punto torni indietro ...
Con i valori numerici che hai scritto è impossibile che torni indietro.
Ma come si fa a conservare il momento angolare visto che la somma dei momenti torcenti è diverso da 0? Il punto di contatto non è neanche asse instantaneo di rotazione in quanto il cerchio ruota nel senso opposto al moto traslatorio quindi non può essere preso come asse istantaneo ( comunque la soluzione esiste ed è 2.08 secondi )
"g.fontani2":
Ma come si fa a conservare il momento angolare visto che la somma dei momenti torcenti è diverso da 0?
Rispetto al punto di contatto la somma dei momenti (non sono torcenti) è nulla.
"g.fontani2":
Il punto di contatto non è neanche asse istantaneo di rotazione ...
Non è dirimente.
"g.fontani2":
... comunque la soluzione esiste ...
Certamente, ma il disco non torna indietro. In questo caso, anche se la soluzione assume il medesimo aspetto, è necessario riscrivere le due equazioni.
1. Conservazione del momento angolare:
$[Mv_0R-1/2MR^2\omega_0=3/2MR^2\omega] rarr [\omega=2/3v_0/R-1/3\omega_0] rarr [v=2/3v_0-1/3\omega_0R]$
2. Teorema dell'impulso:
$[-\muMg t=Mv-Mv_0] rarr [t=(v_0-v)/(\mug)] rarr [t=(v_0+\omega_0R)/(3\mug)]$
Come scritto in precedenza, si può fare un confronto utilizzando le due equazioni cardinali della dinamica.
1. Prima fase:
$[a=-\mug] ^^ [\alpha=-2(\mug)/R] rarr [v=at+v_0] ^^ [\omega=\alphat+\omega_0]$
$[\omega=0] rarr [t=(\omega_0R)/(2\mug)] ^^ [v=v_0-1/2\omega_0R]$
2. Seconda fase:
$[a=-\mug] ^^ [\alpha=2(\mug)/R] rarr [v=at+v_0-1/2\omega_0R] ^^ [\omega=\alphat]$
$[v=\omegaR] rarr [at+v_0-1/2\omega_0R=\alphaRt] rarr [t=(2v_0-\omega_0R)/(6\mug)]$
Infine, sommando i due intervalli temporali determinati nelle fasi precedenti:
$[t=(\omega_0R)/(2\mug)+(2v_0-\omega_0R)/(6\mug)] rarr [t=(v_0+\omega_0R)/(3\mug)]$
"g.fontani2":
... ed è 2.08 secondi.
Non mi risulta. Tuttavia, quella soluzione corrisponde alla formula $[t=(v_0+\omega_0R)/(2\mug)]$. Poiché mi sentirei di escludere di aver commesso un qualche errore, probabilmente una svista.
Grazie mille davvero .. sei un mostro !!!

Scusa se ti scoccio , ma ora che ci penso come sei riuscito a trovare l'equazione della conservazione del momento angolare ?
Quando il moto è piano, l'atto istantaneo può essere di due tipi:
Traslazione pura
Il momento angolare rispetto a un punto $O$ è uguale al momento angolare del centro di massa, pensato come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)]$
Rotazione pura (rispetto al centro istantaneo)
Se $O$ coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=I_Ovec\omega] vv [vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega]$
Se $O$ non coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega]$
ossia, il momento angolare rispetto al punto $O$ è uguale al momento angolare del centro di massa, pensato come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa, più il momento angolare rispetto al centro di massa (terzo teorema del centro di massa).
Nella seguente equazione:
$[Mv_0R-1/2MR^2\omega_0=3/2MR^2\omega]$
mentre il primo membro deve essere calcolato mediante il terzo teorema del centro di massa, $O$ non coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega] rarr [L_O=Mv_0R-1/2MR^2\omega_0]$
il secondo membro può essere calcolato sapendo che $O$ coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=I_Ovec\omega] rarr [L_O=3/2MR^2\omega]$
ma anche utilizzando il terzo teorema del centro di massa, senza considerare che $O$ coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega] rarr [L_O=Mv_GR+1/2MR^2\omega] ^^ [v_G=\omegaR] rarr [L_O=3/2MR^2\omega]$
Infine, è necessario prestare la dovuta attenzione ai segni.
Traslazione pura
Il momento angolare rispetto a un punto $O$ è uguale al momento angolare del centro di massa, pensato come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)]$
Rotazione pura (rispetto al centro istantaneo)
Se $O$ coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=I_Ovec\omega] vv [vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega]$
Se $O$ non coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega]$
ossia, il momento angolare rispetto al punto $O$ è uguale al momento angolare del centro di massa, pensato come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa, più il momento angolare rispetto al centro di massa (terzo teorema del centro di massa).
Nella seguente equazione:
$[Mv_0R-1/2MR^2\omega_0=3/2MR^2\omega]$
mentre il primo membro deve essere calcolato mediante il terzo teorema del centro di massa, $O$ non coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega] rarr [L_O=Mv_0R-1/2MR^2\omega_0]$
il secondo membro può essere calcolato sapendo che $O$ coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=I_Ovec\omega] rarr [L_O=3/2MR^2\omega]$
ma anche utilizzando il terzo teorema del centro di massa, senza considerare che $O$ coincide con il centro istantaneo:
$[vecL_O=mvecv_Gxx(O-G)+I_Gvec\omega] rarr [L_O=Mv_GR+1/2MR^2\omega] ^^ [v_G=\omegaR] rarr [L_O=3/2MR^2\omega]$
Infine, è necessario prestare la dovuta attenzione ai segni.
Chiarissimo , Grazie infinite
