Moto rotatorio uniforme di un SDR
Ciao. Mi piacerebbe chiedere un chiarimento riguardo al sistema di riferimento che sia in moto rotatorio (non è ancora il caso più generale rototraslatorio, solo rotatorio).
Ho un dubbio in particolare quando vado a derivare per trovare l'accelerazione (con apici sono il sistema che ruota, senza quello fisso):
tra le varie derivazioni arrivo a dover svolgere
$(dv')/(dt)=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di)/(dt)+y'(dj)/(dt))=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Scrivo solo x,y per non incasinare troppo
Ora a noi il dubbio: perché quando scrivo $(dr')/(dt)$ derivo anche il versore, mentre quando svolto $(dv')/(dt)$ ritengo il versore fisso? Infatti non compare qualcosa del tipo
$" "=(d^2x')/(dt^2)i'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(d^2y')/(dt^2)j'+(dy')/(dt)(dj)/(dt)+(dx')/(dt)(di)/(dt)+x'(d^2i)/(dt^2)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)+.....$
eppure in teoria il versore cambia poiché l'accelerazione è presa in due istanti diversi infinitamente vicini (pari a quanto facevo per la velocità) e ha direzione diversa, quindi dovrei avere la derivata rotazionale del versore anche qui, perché si è spostato, no? Eppure derivo come se fosse fisso.
Megadubbio
Ho un dubbio in particolare quando vado a derivare per trovare l'accelerazione (con apici sono il sistema che ruota, senza quello fisso):
tra le varie derivazioni arrivo a dover svolgere
$(dv')/(dt)=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di)/(dt)+y'(dj)/(dt))=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Scrivo solo x,y per non incasinare troppo
Ora a noi il dubbio: perché quando scrivo $(dr')/(dt)$ derivo anche il versore, mentre quando svolto $(dv')/(dt)$ ritengo il versore fisso? Infatti non compare qualcosa del tipo
$" "=(d^2x')/(dt^2)i'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(d^2y')/(dt^2)j'+(dy')/(dt)(dj)/(dt)+(dx')/(dt)(di)/(dt)+x'(d^2i)/(dt^2)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)+.....$
eppure in teoria il versore cambia poiché l'accelerazione è presa in due istanti diversi infinitamente vicini (pari a quanto facevo per la velocità) e ha direzione diversa, quindi dovrei avere la derivata rotazionale del versore anche qui, perché si è spostato, no? Eppure derivo come se fosse fisso.
Megadubbio
Risposte
Il caso generale io l'avevo fatto qui (nella seconda parte di quel messaggio), in realtà si applica sempre la stessa regola per i vettori solidali. Vedi se ti torna.
Ho letto il tuo link e ti ringrazio. Tuttavia non mi ritrovo ancora. Più che altro perché mi pare che hai tralasciato i passaggi incriminati (cioè intendo, quelli che non ho capito).
La traslazione non mi preoccupa, però non ci sono molto perché io dovrei derivare:
$d/(dt)(\vecv'+\vecomegaxx\vecr')$
e qui c'è il $(d\vecv')/(dt)$ che mi stona. Tu pervieni già al risultato, però per giungervi dovrei passare per qui passaggi di cui sopra.
E il dubbio mi rimane sul perché non dobba svolgere una derivazione come quella da me fatta
Insomma, il dubbio fondamentale
mi sembra permanere, infatti quando calcolo lavelocità io svolgo la derivata del versore i', ma calcolando l'accelerazione ritengo i' fisso, ma perché? Mi sembra sbagliato perché io prendo due istanti successivi sia per calcolare v che per calcolare a e i' ruotain entrambe i procedimenti, quindi è da svolgere la derivata versoriale.
La traslazione non mi preoccupa, però non ci sono molto perché io dovrei derivare:
$d/(dt)(\vecv'+\vecomegaxx\vecr')$
e qui c'è il $(d\vecv')/(dt)$ che mi stona. Tu pervieni già al risultato, però per giungervi dovrei passare per qui passaggi di cui sopra.
$(dv')/(dt)=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di)/(dt)+y'(dj)/(dt))=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
E il dubbio mi rimane sul perché non dobba svolgere una derivazione come quella da me fatta
$" "=(d^2x')/(dt^2)i'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(d^2y')/(dt^2)j'+(dy')/(dt)(dj)/(dt)+(dx')/(dt)(di)/(dt)+x'(d^2i)/(dt^2)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)+.....$
Insomma, il dubbio fondamentale
eppure in teoria il versore cambia poiché l'accelerazione è presa in due istanti diversi infinitamente vicini (pari a quanto facevo per la velocità) e ha direzione diversa, quindi dovrei avere la derivata rotazionale del versore anche qui, perché si è spostato, no? Eppure derivo come se fosse fisso.
mi sembra permanere, infatti quando calcolo lavelocità io svolgo la derivata del versore i', ma calcolando l'accelerazione ritengo i' fisso, ma perché? Mi sembra sbagliato perché io prendo due istanti successivi sia per calcolare v che per calcolare a e i' ruotain entrambe i procedimenti, quindi è da svolgere la derivata versoriale.
[tolgo link, non amo pubblicizzare siti]
"massimino's":
Ho letto il tuo link e ti ringrazio. Tuttavia non mi ritrovo ancora. Più che altro perché mi pare che hai tralasciato i passaggi incriminati (cioè intendo, quelli che non ho capito).
La traslazione non mi preoccupa, però non ci sono molto perché io dovrei derivare:
$d/(dt)(\vecv'+\vecomegaxx\vecr')$
e qui c'è il $(d\vecv')/(dt)$ che mi stona. Tu pervieni già al risultato, rocedimenti, quindi è da svolgere la derivata versoriale.
Non importa se stai derivando $vec r$ o $vec v_r$ rispetto al tempo, comunque applichi la derivata di Poisson per derivare un vettore che si trova nella terna rotante nel tempo. E' tutto lì.
A meno che tu voglia capire perché si applica quella regola di Poisson per derivare, ma allora lo trovi dimostrato anche qui su Wikipedia.
Uhm no in realtà mi è chiaro poisson. Mi sa che non riesco a trasmettere il mio dubbio 
Il professore mi sembra fare un ragionamento coerente, dice per quanto riguarda la velocità che:
$v=(dr')/(dt)=(dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di')/(dt)+y'(dj')/(dt)$
e poiché appunto ruotano i' e j' eseguo la derivazione temporale del versore rotante e per farlo usola relazione di poisson nello specificosugli ultimi due termini. Non sto a fare la sostituzione con la derivazione alla poisson perché il dubbio è amonte di questo. ossia:
Quando io invece svolgo: $(dv')/(dt)=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di)/(dt)+y'(dj)/(dt))=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Nell'ultimo passaggio non faccio la derivata temporale di i' e j' su cui applicherei poi poisson. Perché?
Il professore mi sembra fare un ragionamento coerente, dice per quanto riguarda la velocità che:
$v=(dr')/(dt)=(dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di')/(dt)+y'(dj')/(dt)$
e poiché appunto ruotano i' e j' eseguo la derivazione temporale del versore rotante e per farlo usola relazione di poisson nello specificosugli ultimi due termini. Non sto a fare la sostituzione con la derivazione alla poisson perché il dubbio è amonte di questo. ossia:
Quando io invece svolgo: $(dv')/(dt)=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di)/(dt)+y'(dj)/(dt))=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Nell'ultimo passaggio non faccio la derivata temporale di i' e j' su cui applicherei poi poisson. Perché?
C'è un poco di confusione ma credo di aver capito (forse) il tuo problema.
Tu adesso ti stai concentrando sul fare la derivata rispetto al tempo della velocità relativa $vec v'$, quella chi io chiamo $vec v_r$. Giusto?
Bene se è così devi tener conto che $vec v'$ è uguale soltanto a
$vec v'=((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j' +(dz')/(dt)k')$
Proprio per come si definisce la velocità relativa. Il pezzo che manca per calcolare la derivata di tutta la velocità, quella che ha anche la parte a cui hai applicato prima Poisson, lo aggiungi dopo (derivandolo poi rispetto al tempo).
Spero sia chiaro cosa intendo.
Nella trattazione che faccio io nel link di sopra, dove si ragiona più semplicemente applicando Poisson non ai soli versori ma direttamente ai vettori nella terna rotante, è più immediato. Se capisci bene quello poi non ti sbagli.
Tu adesso ti stai concentrando sul fare la derivata rispetto al tempo della velocità relativa $vec v'$, quella chi io chiamo $vec v_r$. Giusto?
Bene se è così devi tener conto che $vec v'$ è uguale soltanto a
$vec v'=((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j' +(dz')/(dt)k')$
Proprio per come si definisce la velocità relativa. Il pezzo che manca per calcolare la derivata di tutta la velocità, quella che ha anche la parte a cui hai applicato prima Poisson, lo aggiungi dopo (derivandolo poi rispetto al tempo).
Spero sia chiaro cosa intendo.
Nella trattazione che faccio io nel link di sopra, dove si ragiona più semplicemente applicando Poisson non ai soli versori ma direttamente ai vettori nella terna rotante, è più immediato. Se capisci bene quello poi non ti sbagli.
Sì effettivamente il tuo ora mi è chiaro, però per completezza e curiosità mi stavo ostinando a cercare di capire il professore.
In effetti dovrebbe essere così, hai ragione, forse è lì l'errore.Però il professore scrive (o forse ho copiato male io, ma devo aggustare)
1) $(dv')/(dt)=d/(dt)((dr')/(dt))=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di)/(dt)+y'(dj)/(dt))=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Invece tu dici essere:
2) $(dv')/(dt)=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j')=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Il che sarebbe buono perché vorrebbe dire che derivo i' e j' temporalmente.
In definitiva sarebbe la seconda quella corretta?
Bene se è così devi tener conto che $vec v'$ è uguale soltanto a
$vec v'=((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j' +(dz')/(dt)k')$
In effetti dovrebbe essere così, hai ragione, forse è lì l'errore.Però il professore scrive (o forse ho copiato male io, ma devo aggustare)
1) $(dv')/(dt)=d/(dt)((dr')/(dt))=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j'+x'(di)/(dt)+y'(dj)/(dt))=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Invece tu dici essere:
2) $(dv')/(dt)=d/(dt)((dx')/(dt)i'+(dy')/(dt)j')=(d^2x')/(dt^2)i'+(d^2y')/(dt^2)j'+(dx')/(dt)(di)/(dt)+(dy')/(dt)(dj)/(dt)$
Il che sarebbe buono perché vorrebbe dire che derivo i' e j' temporalmente.
In definitiva sarebbe la seconda quella corretta?
"massimino's":
In definitiva sarebbe la seconda quella corretta?
Se per $v'$ si intende la velocità relativa (cioè la derivata della posizione relativa alla terna mobile) sì, è la seconda quella corretta.
Grazie faussone.
Sì, gli apici sono rispetto al sistema in rotazione. Devo allora aver copiato male
Sì, gli apici sono rispetto al sistema in rotazione. Devo allora aver copiato male
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