Moto rotatorio - Problema 53 pag 254 edizione 2010 Giancoli
Ciao a tutti,
sto affrontando dei problemi sul moto rotatorio, su alcuni ho dei problemi...
Tipo questo:
Supponiamo che, alla fine del mondo, il nostro Sole collassi in una nana bianca, perdendo nel processo circa la metà della sua massa e riducendosi a un raggio pari all'1.0% del suo raggio attuale. Assumendo che la massa perduta non abbia sottratto al Sole momento angolare, quale sarà la sua nuova velocità di rotazione? (Considerate il periodo del Sole di circa 30 giorni). Quale sarà la sua energia cinetica attuale?
MassaSole=$1,9891xx10$^$30$ kg
RaggioSole= $6,96xx10$^$8$ m
Periodo=30g=2592000s
f=1/Periodo=$3,86xx10$^$-7$ rps
Calcolo la velocità angolare iniziale
f=2$\pi$/w > w=2$\pi$f -> w=$2,42xx10$^$-6$ rad/s
Calcolo il momento di inerzia utilizzando l'equazione del momento di Inerzia della Sfera
I=$2/5$ MassaSole RaggioSole^$2$=$3,85xx10$^$47$ kg
Calcolo ora il momento angolare
L=Iw=$9,32xx10$^$41$ Kg*m^2/s
Ora calcolo la massa ed il raggio dopo il collasso del sole
MassaSole2=$(0.5)xx$$1,9891xx10$^$30$ = $9,94xx10$^$29$ kg
RaggioSole2= $(0.99)xx$$6,96xx10$^$8$ = $6,89xx10$^$8$ m
Calcolo il nuovo momento d'inerzia con i nuovi dati utilizzando l'equazione del momento di Inerzia della Sfera
I2=$2/5$ MassaSole2 $RaggioSole2$^$2$=$1,89xx10$^$47$ Kg/m^2
Il momento angolare non varia quindi posso ricavare la velocità angolare dall'equazione
L=I2w2 -> w2=L/I2 -> w2 = $4,93xx10$^$-6$ rad/s
Il risultato del libro è però differente e direi di parecchio...
Risulta $5xx10$^$-2$ rad/s
sto affrontando dei problemi sul moto rotatorio, su alcuni ho dei problemi...
Tipo questo:
Supponiamo che, alla fine del mondo, il nostro Sole collassi in una nana bianca, perdendo nel processo circa la metà della sua massa e riducendosi a un raggio pari all'1.0% del suo raggio attuale. Assumendo che la massa perduta non abbia sottratto al Sole momento angolare, quale sarà la sua nuova velocità di rotazione? (Considerate il periodo del Sole di circa 30 giorni). Quale sarà la sua energia cinetica attuale?
MassaSole=$1,9891xx10$^$30$ kg
RaggioSole= $6,96xx10$^$8$ m
Periodo=30g=2592000s
f=1/Periodo=$3,86xx10$^$-7$ rps
Calcolo la velocità angolare iniziale
f=2$\pi$/w > w=2$\pi$f -> w=$2,42xx10$^$-6$ rad/s
Calcolo il momento di inerzia utilizzando l'equazione del momento di Inerzia della Sfera
I=$2/5$ MassaSole RaggioSole^$2$=$3,85xx10$^$47$ kg
Calcolo ora il momento angolare
L=Iw=$9,32xx10$^$41$ Kg*m^2/s
Ora calcolo la massa ed il raggio dopo il collasso del sole
MassaSole2=$(0.5)xx$$1,9891xx10$^$30$ = $9,94xx10$^$29$ kg
RaggioSole2= $(0.99)xx$$6,96xx10$^$8$ = $6,89xx10$^$8$ m
Calcolo il nuovo momento d'inerzia con i nuovi dati utilizzando l'equazione del momento di Inerzia della Sfera
I2=$2/5$ MassaSole2 $RaggioSole2$^$2$=$1,89xx10$^$47$ Kg/m^2
Il momento angolare non varia quindi posso ricavare la velocità angolare dall'equazione
L=I2w2 -> w2=L/I2 -> w2 = $4,93xx10$^$-6$ rad/s
Il risultato del libro è però differente e direi di parecchio...
Risulta $5xx10$^$-2$ rad/s
Risposte
Mi sembra che, se il momento angolare si è conservato, allora $L_i = L_f$ e $I_i * omega_i = I_f * omega_f$.
Quindi
$omega_f = (I_i/I_f) * omega_i = (2/5 *M_i*r_i^2)/(2/5 *M_f*r_f^2) * omega_i = (M_i*r_i^2)/(M_f*r_f^2) * omega_i = (M_i*r_i^2)/(1/2 * M_i * (1/100 * r_i)^2) * omega_i = 20000 * omega_i = 2*10^4 * (2 pi)/(30*24*3600) ~= 0.048 \text ( rad/s)$.
Quindi
$omega_f = (I_i/I_f) * omega_i = (2/5 *M_i*r_i^2)/(2/5 *M_f*r_f^2) * omega_i = (M_i*r_i^2)/(M_f*r_f^2) * omega_i = (M_i*r_i^2)/(1/2 * M_i * (1/100 * r_i)^2) * omega_i = 20000 * omega_i = 2*10^4 * (2 pi)/(30*24*3600) ~= 0.048 \text ( rad/s)$.
La seconda domanda nel testo originale era "What would be its final KE in terms of its initial KE of today?".
Il rapporto tra l'energia cinetica finale e quella iniziale è
$E_(cf)/E_(ci) = (1/2 I_f*omega_f^2)/(1/2 I_i*omega_i^2)=(I_f*omega_f^2)/(I_i*omega_i^2) = (I_f/I_i)*(omega_f/omega_i)^2=(2/5 *M_f*r_f^2)/(2/5 *M_i*r_i^2)*(20000)^2=(1/2*M_i*(1/100 r_i)^2)/(M_i*r_i^2)*(20000)^2=1/20000*20000^2=20000$.
Il rapporto tra l'energia cinetica finale e quella iniziale è
$E_(cf)/E_(ci) = (1/2 I_f*omega_f^2)/(1/2 I_i*omega_i^2)=(I_f*omega_f^2)/(I_i*omega_i^2) = (I_f/I_i)*(omega_f/omega_i)^2=(2/5 *M_f*r_f^2)/(2/5 *M_i*r_i^2)*(20000)^2=(1/2*M_i*(1/100 r_i)^2)/(M_i*r_i^2)*(20000)^2=1/20000*20000^2=20000$.
Grazie 1000,
In questo avevo capito male pure il testo, impostavo il raggio finale a 99% e non al 1%.
Nella parte del rapporto tra energia cinetica finale e quella iniziale mi sono perso nel passaggio 4-5 dove (wf/wi)$^2$ diventa 20000$^2$. Me lo potresti per favore spiegare?
Ciao
Luca
In questo avevo capito male pure il testo, impostavo il raggio finale a 99% e non al 1%.
Nella parte del rapporto tra energia cinetica finale e quella iniziale mi sono perso nel passaggio 4-5 dove (wf/wi)$^2$ diventa 20000$^2$. Me lo potresti per favore spiegare?
Ciao
Luca
Nell'espressione calcolata prima era $omega_f =(I_i/I_f)*omega_i = ......= 20000*omega_i$ e quindi $omega_f/omega_i=20000$ e $(omega_f/omega_i)^2=(20000)^2$.
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