Moto Rettilineo + Parabolico

[Flamber]

Ho provato a fare uno schemino con paint in modo da rendere il tutto più chiaro:



"Un punto percorre il tratto AB orizzontale: in A ha velocità $v_1$ e in B ha velocità $v_2$ minore di $v_1$ in quanto tra A e B l'accelerazione vale $a=-kv$, con $k=2,3s^-1$. Dopo B il corpo prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha:

$AB=b=2,14m$
$BC=h=1,5m$
$CD=d=1,35m$

Calclolare $v_1$"

PRaticamente bisogna ragiorare a ritroso, partire dalla fine, ed arrivare all'inizio.
Ricavare $v_2$ è abbastanza semplice, non vi annoio con tutti i passaggi, scrivo solo il risultato:

$v_2=dsqrt(g/(2h))=2,44 m/s$

ora siamo al tratto orizzontale.

Sappiamo che $a=-kv$
Possiamo scrivere $(dv)/v=-kdt$

$int_(v_1)^(v_2) 1/v dv=-kint_0^(t_2)dt$ dove t_2 è il momento in cui il punto si trova in B

$log(v_2/v_1)=-k(t_2)$
$v_2/v_1=e^(-k(t_2))$
$v_1=v_2/(e^(-k(t_2)))$

ma non conosco $t_2$, comfa faccio a ricavarlo?

[Cuspide83]

Possiamo pensare alla velocità funzione della posizione (a sua volta funzione del tempo) ovvero anche l'accelerazione dipenderà dalla posizione e riscrivendo l'uguaglianza ottieni

\[adx=-kvdx=vdv\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}-k(x-x_{0})=v-v_{0}\]
quindi

\[v_{A}=v_{B}+k\overline{AB}\]
A questo punto ricavo la velocità \(v_{B}\) dal moto semiparabolico. I moti proiettati sugli assi (uno orizzontale e uno verticale) sono rispettivamente rettilineo uniforme e rettilineo uniformemente accelerato (prendiamo solo le posizioni)

\[D=C+v_{B}t\hspace{2 cm}C=B-gt^{2}\]
dalla prima ricavo \(t\) e la sostituisco nella seconda ottenendo

\[v_{B}=\overline{CD}\sqrt{\frac{g}{\overline{BC}}}\]

[Flamber]

Grazie! o due equazioni differenziali, oppure devo lavorare un pò impropriamente (matematicamente) con i $dx, dt, dv$.

Ero arrivato ieri sera alla stessa conclusione di Cuspide, solo che ho sempre un pò di timore di sbagliare nell'usare i differenziali... spero che facendo un pò di esercizi questo timore passi