Moto relativo traslatorio

[feddy]

Posto la risoluzione del seguente esercizio sui moti relativi, di cui non conosco la soluzione

Una piattaforma in movimento effettua un moto rettilineo uniforme con velocità $v_T=10 ms^{-1}$ lungo la direzione verticale dalla sommità di una torre panoramica verso il suolo. Quando si trova ad un'altezza di $H=80 m$ da suolo, un corpo assimilabile a un punto materiale viene lanciato dalla piattaforma con velocità relativa di modulo $v_0=25 ms^{-1}$ e angolo di gittata di $\theta_0=60°$.

Nel S.d.R Oxy solidale al suolo calcolare:
1. Le componenti cartesiane del vettore velocità del corpo al momento del lancio
2.Le coordinate del punto di massima altezza raggiunta dal corpo dopo il lancio
3. Il tempo di volo tra il lancio e l'impatto
4. L'equazione della traiettoria descritta dal corpo.

La situazione è la seguente




Svolgimento:

Si tratta di moto relativo traslatorio uniforme dal momento che la piattaforma si muove con velocità costante $v_T$, che è proprio la velocità di trascianemnto.

In questa confgurazione, vale il teorema delle velocità, o comunque la relazione $\vec{v}=\vec{v_T} + \vec{v_0}$.

1. $\vec{v}=v_0cos(theta) \mathbf{i} + (v_0 sin(theta) - v_0) \mathbf{j}$.


Nel piano Oxy il corpo si muove di moto parabolico con velocità $v$ ricavata sopra.

Le equazioni del moto sono:

$ { ( x(t)=v_0cos(theta)t ),( y(t)=H+(v_0sin(theta)-10)t -\frac{1}{2}g t^2 ):} $

4. L'equazione della traiettoria $y(x)$ la si ricava sostituendo $t=\frac{x}{v_0cos(theta)}$ nella seconda equazione, e dopo alcuni conti si trova:

$y(x)=H+ x \tan(theta) -\frac{10}{v_0cos(theta)} x - \frac{gx^2}{2v_{0}^{2}cos(theta)^2}$

3. E' a questo punto immediato trovare le coordinate del punto di altezza massima: è sufficiente porre $\frac{dy}{dx}=0$, da cui

$\tan(theta)-\frac{10}{v_0 cos(theta)}- \frac{gx}{v_{0}^{2}cos(theta)^2}=0$

e dopo un po' di "algebretta"

$x=x_M=\frac{v_0 cos(theta)}{g} \cdot (v_0 sin(theta) -10)$

$y_M$ si ricava sostituendo il punto appena trovato nell'equazione della traiettoria.


4. Il tempo di volo si trova invece imponendo al solito $y(t)=0$.

Si deve risolvere l'equzione di secondo grado in $t$

$g t^2-2 \cdot (v_0sin(theta)-10) + 2H=0$

Da cui si trova

$t_{1,2}=\frac{v_0sin(theta)-10 \pm \sqrt{(v_0sin(theta) - 10)^2 + 2Hg} }{g}$

Una delle due risulta negativa, e dunque va scartata. Pertanto si ha $t \approx 6.7 s$

Che dite?

[Studente Anonimo]

Il procedimento è senz'altro corretto. Ad ogni modo:

1. Le componenti cartesiane del vettore velocità del corpo al momento del lancio

$[vecv_A=vecv_R+vecv_T] rarr [vecv_A=v_0cos\theta_0veci+(v_0sin\theta_0-v_T)vecj]$

Equazioni parametriche

$\{(v_x=v_0cos\theta_0),(v_y=-g t+v_0sin\theta_0-v_T):} ^^ \{(x=v_0cos\theta_0t),(y=-1/2g t^2+(v_0sin\theta_0-v_T)t+H):}$

2. Le coordinate del punto di massima altezza raggiunta dal corpo dopo il lancio

$[v_y=0] rarr [-g t+v_0sin\theta_0-v_T=0] rarr [t=(v_0sin\theta_0-v_T)/g] rarr \{(x=...),(y=...):}$

3. Il tempo di volo tra il lancio e l'impatto

$[y=0] rarr [-1/2g t^2+(v_0sin\theta_0-v_T)t+H=0] rarr [g t^2-2(v_0sin\theta_0-v_T)t-2H=0] rarr [t=...]$

4. L'equazione della traiettoria descritta dal corpo

$\{(x=v_0cos\theta_0t),(y=-1/2g t^2+(v_0sin\theta_0-v_T)t+H):} rarr \{(t=x/(v_0cos\theta_0)),(y=...):}$

[feddy]

Tutto chiaro ! Ho commesso qualche errore di battitura, ad ogni modo mi ritrovo perfettamente ! Grazie