Moto relativo su piano inclinato
Buongiorno a tutti, sto avendo difficoltà a risolvere il seguente problema:
"Una pallina si trova ferma alla base di un piano inclinato di $45°$ rispetto all'orizzonte e di altezza $h = 1.1m$ montato sopra un carrello. Il carrello viene messo in movimento con accelerazione costante $A$ per un intervallo di tempo $τ$. dopodiché il carrello prosegue con moto uniforme. Si determini il valore di $A$ per i quali la pallina, scivolando senza attrito lungo il paino inclinato, ne raggiunge la sommità.
Sol: $A$ deve soddisfare: $A ^ 2 * cos^2 theta - Ag * sin(theta) * cos(theta) - 2gh / (tau ^ 2) = 0$".
Premetto che nella prova in itinere che dovrò svolgere non sarà presente la parte sui sistemi di riferimento non inerziali.
Io ho provato a risolvere il problema assumendo un sistema di riferimento inerziale centrato sulla sommità del piano inclinato e inclinato concordemente a esso con asse $x$ parallelo al moto e orientato in senso inverso rispetto alla pallina che sale e asse $y$ orientato verso l'altro perpendicolarmente al piano; la mia idea era di scrivere le leggi del moto del carrello (considerando uno specifico punto di esso posto nello specifico alla base del piano da dove la pallina parte) e poi di imporre che ad uno specifico istante $t1$ valessero le seguenti condizioni:
${(y_p=y_c),(x_p=x_c-h/sin(theta)):}$
In pratica volevo imporre che la pallina si trovasse in una specifica posizione relativamente al punto del carrello che io avevo scelto.
Il problema però è che non riesco a trovare la componente parallela al moto della pallina che le fa vincere la componente parallela della forza peso facendola muovere lungo il piano.
Mi potreste aiutare?
Grazie mille e buona giornata!
P.S. Può avere senso il mio procedimento? C'è un modo più rapido di svolgere questo esercizio?
Grazie ancora!
"Una pallina si trova ferma alla base di un piano inclinato di $45°$ rispetto all'orizzonte e di altezza $h = 1.1m$ montato sopra un carrello. Il carrello viene messo in movimento con accelerazione costante $A$ per un intervallo di tempo $τ$. dopodiché il carrello prosegue con moto uniforme. Si determini il valore di $A$ per i quali la pallina, scivolando senza attrito lungo il paino inclinato, ne raggiunge la sommità.
Sol: $A$ deve soddisfare: $A ^ 2 * cos^2 theta - Ag * sin(theta) * cos(theta) - 2gh / (tau ^ 2) = 0$".
Premetto che nella prova in itinere che dovrò svolgere non sarà presente la parte sui sistemi di riferimento non inerziali.
Io ho provato a risolvere il problema assumendo un sistema di riferimento inerziale centrato sulla sommità del piano inclinato e inclinato concordemente a esso con asse $x$ parallelo al moto e orientato in senso inverso rispetto alla pallina che sale e asse $y$ orientato verso l'altro perpendicolarmente al piano; la mia idea era di scrivere le leggi del moto del carrello (considerando uno specifico punto di esso posto nello specifico alla base del piano da dove la pallina parte) e poi di imporre che ad uno specifico istante $t1$ valessero le seguenti condizioni:
${(y_p=y_c),(x_p=x_c-h/sin(theta)):}$
In pratica volevo imporre che la pallina si trovasse in una specifica posizione relativamente al punto del carrello che io avevo scelto.
Il problema però è che non riesco a trovare la componente parallela al moto della pallina che le fa vincere la componente parallela della forza peso facendola muovere lungo il piano.
Mi potreste aiutare?
Grazie mille e buona giornata!
P.S. Può avere senso il mio procedimento? C'è un modo più rapido di svolgere questo esercizio?
Grazie ancora!
Risposte
"And70":
C'è un modo più rapido di svolgere questo esercizio?
Nel sistema di riferimento del carrello, e' come se ci fosse una accelerazione $A$ verso sinistra che spinge la pallina, oltre alla gravita' $g$ verso il basso.
Il carrello si muove verso destra, rispetto al piano di appoggio.
Disegni il piano inclinato, la pallina, le accelerazioni $g$ e $A$ che partono dalla pallina, poi fai la proiezione delle accelerazioni lungo il piano inclinato. Vedi che la risultante sul piano inclinato e' $1/sqrt2 (A - g )$
Allora siccome la distanza che deve percorrere la pallina e' $sqrt2 h$, imposti cosi' l'equazione per il moto uniformemente accelerato $s = 1/2 at^2$
$sqrt2 h = 1/2 1/sqrt2 (A - g) \tau ^2$
Ciao Quinzio, grazie per la risposta!
Ho dato un'occhiata al capitolo sui sistemi di riferimento non inerziali, l'accelerazione $A$ rivolta verso sinistra è data da una forza apparente, giusto?
Sicuramente il metodo che suggerisci tu è in assoluto il più veloce però, come avevo scritto nel primo post, non abbiamo ancora trattato quella parte per cui non posso ancora utilizzare il metodo da te suggerito.
Quando ho chiesto se c'era un modo più veloce intendevo usando sempre un sistema di riferimento inerziale.
Si può adattare la tua risposta a quel sistema di riferimento?
Grazie!
Ho dato un'occhiata al capitolo sui sistemi di riferimento non inerziali, l'accelerazione $A$ rivolta verso sinistra è data da una forza apparente, giusto?
Sicuramente il metodo che suggerisci tu è in assoluto il più veloce però, come avevo scritto nel primo post, non abbiamo ancora trattato quella parte per cui non posso ancora utilizzare il metodo da te suggerito.
Quando ho chiesto se c'era un modo più veloce intendevo usando sempre un sistema di riferimento inerziale.
Si può adattare la tua risposta a quel sistema di riferimento?
Grazie!
Va bene, ma l'esercizio e' talmente semplice che e' praticamente la stessa cosa.
Il piano puo' solo esercitare una forza e quindi solo un'accelerazione perpendicolare ad esso.
Quindi la pallina e' soggetta alla accelerazione $g$ e alla accelerazione $A'$, diretta a $45$ gradi.
La componente verticale di $A' $ e' $(A')/sqrt2$.
Si trova $h = 1/2 ((A')/sqrt2-g) \tau^2$
Il piano puo' solo esercitare una forza e quindi solo un'accelerazione perpendicolare ad esso.
Quindi la pallina e' soggetta alla accelerazione $g$ e alla accelerazione $A'$, diretta a $45$ gradi.
La componente verticale di $A' $ e' $(A')/sqrt2$.
Si trova $h = 1/2 ((A')/sqrt2-g) \tau^2$
Grazie ancora per la tua disponibilità Quinzio.
C'è però un dettaglio che non capisco in questo ragionamento: in verità che il piano esercitasse una forza che imprimesse un'accelerazione $A$ perpendicolare ad esso è stata la prima cosa che avevo pensato quando ho affrontato il problema.
Nel primo post infatti avevo scritto che non riuscivo a capire quale fosse la componente che permettesse alla pallina di vincere la forza peso e muoversi verso l'alto.
Se io considero un sistema di riferimento tangenziale-normale al piano con centro sul suo vertice (dove deve arrivare la pallina) la scomposizione delle forze è (correggimi se sbaglio):
$vec F_p=mgsin(theta)vec u_t - mgcos(theta)vec u_n$ e
$vec F_A=mAvec u_n$.
Dunque la componente tangente alla traiettoria è solo quella della forza peso che la spinge verso la base del piano e quindi non capisco come faccia la pallina a muoversi verso l'alto, a livello intuitivo me ne rendo conto ma non capisco come impostarlo matematicamente.
Grazie ancora per la disponibilità!
C'è però un dettaglio che non capisco in questo ragionamento: in verità che il piano esercitasse una forza che imprimesse un'accelerazione $A$ perpendicolare ad esso è stata la prima cosa che avevo pensato quando ho affrontato il problema.
Nel primo post infatti avevo scritto che non riuscivo a capire quale fosse la componente che permettesse alla pallina di vincere la forza peso e muoversi verso l'alto.
Se io considero un sistema di riferimento tangenziale-normale al piano con centro sul suo vertice (dove deve arrivare la pallina) la scomposizione delle forze è (correggimi se sbaglio):
$vec F_p=mgsin(theta)vec u_t - mgcos(theta)vec u_n$ e
$vec F_A=mAvec u_n$.
Dunque la componente tangente alla traiettoria è solo quella della forza peso che la spinge verso la base del piano e quindi non capisco come faccia la pallina a muoversi verso l'alto, a livello intuitivo me ne rendo conto ma non capisco come impostarlo matematicamente.
Grazie ancora per la disponibilità!
"And70":
Se io considero un sistema di riferimento tangenziale-normale al piano con centro sul suo vertice (dove deve arrivare la pallina) la scomposizione delle forze è (correggimi se sbaglio):
$vec F_p=mgsin(theta)vec u_t - mgcos(theta)vec u_n$ e
$vec F_A=mAvec u_n$.
Dunque la componente tangente alla traiettoria è solo quella della forza peso che la spinge verso la base del piano e quindi non capisco come faccia la pallina a muoversi verso l'alto, a livello intuitivo me ne rendo conto ma non capisco come impostarlo matematicamente.
Facciamo una cosa.
Dimenticati del piano inclinato, e lo sostituisci con la sua accelerazione/forza $A'$.
Prendi un foglio e ci disegni una pallina senza piano inclinato, sospesa nel vuoto.
Poi disegni il vettore forza/accelerazione peso, verso il basso.
E disegni la forza/accelerazione $A'$ a 45 gradi, diretta in alto/destra.
Poi, vettorialmente, calcoli la sola risultante verticale dell'accelerazione, e imposti l'equazione dello spazio come ho fatto io $s = 1/2 at^2$.
$s$ e' solo lo spostamento verticale, ossia $h$.
Devi arrivare alla stessa formula $ h = 1/2 ((A')/sqrt2-g) \tau^2 $.
Da qui trovi $A'$.
Dopo, che e' piu' difficile, devi mettere in relazione $g, A' $ con $a$, l'accelerazione orizzontale del carrello.
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