Moto relativo piattaforma con accelerazione angolare
Non riesco a svolgere il seguente esercizio sui moti relativi.
Io ho considerato un riferimento solidale alla piattaforma $(\vec{i'},\vec{j'})$ con origine nel punto centrale e asse x lungo la scanalatura. Ho scritto l'equazione del moto con l'accelerazione relativa
$m \a_{R} = m x \omega^2= m x (\alpha t)^2$
E qui sono bloccato, dal momento che non so come ricavare la legge oraria di x
Inoltre, se questo è il metodo corretto, a questo punto dovrei passare al sistema di riferimento fermo $(\vec{i},\vec{i'})$, per cui
$\vec{r}=\vec{r'}= x(t) \vec{i'} = x(t) cos (\theta (t) ) \vec{i} + x(t) sin (\theta (t) ) \vec{i}$
$\vec{v}= \vec{v'}+ \vec{\omega}\wedge \vec{r'}= \dot{x} (t) \vec{i'} + \omega x(t) \vec{j'}$ (e poi si trasformerebbe con i seni e coseni)
$\vec{a}= \vec{a_{R}} + \vec{\omega}\wedge ( \vec{\omega}\wedge \vec{r'}) + \vec{\alpha}\wedge \vec{r'}+ 2 \vec{\omega}\wedge \vec{v'}$
Sarebbe corretto procedere così? Ma soprattutto come determino $x(t)$ ?
Ringrazio in anticipo per l'aiuto
Una pallina P si muove con $v=20 {cm}/s$ costante dentro una scanalatura di una piattaforma orizzontale di raggio $r=0.5 m$ . Nell'istante in cui P passa per il centro della piattaforma questa si mette in rotazione con accelerazione angolare costante $\alpha=0.4 \frac{rad}{s^2}$. Un attimo prima che P raggiunga il bordo della piattaforma quanto valgono la velocità e l'accelerazione assoluta, e l'accelerazione di Coriolis?
Io ho considerato un riferimento solidale alla piattaforma $(\vec{i'},\vec{j'})$ con origine nel punto centrale e asse x lungo la scanalatura. Ho scritto l'equazione del moto con l'accelerazione relativa
$m \a_{R} = m x \omega^2= m x (\alpha t)^2$
E qui sono bloccato, dal momento che non so come ricavare la legge oraria di x
Inoltre, se questo è il metodo corretto, a questo punto dovrei passare al sistema di riferimento fermo $(\vec{i},\vec{i'})$, per cui
$\vec{r}=\vec{r'}= x(t) \vec{i'} = x(t) cos (\theta (t) ) \vec{i} + x(t) sin (\theta (t) ) \vec{i}$
$\vec{v}= \vec{v'}+ \vec{\omega}\wedge \vec{r'}= \dot{x} (t) \vec{i'} + \omega x(t) \vec{j'}$ (e poi si trasformerebbe con i seni e coseni)
$\vec{a}= \vec{a_{R}} + \vec{\omega}\wedge ( \vec{\omega}\wedge \vec{r'}) + \vec{\alpha}\wedge \vec{r'}+ 2 \vec{\omega}\wedge \vec{v'}$
Sarebbe corretto procedere così? Ma soprattutto come determino $x(t)$ ?
Ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
sbaglierò.... ma ho il sospetto che qua si intenda che la pallina viaggi sempre e comunque a velocità relativa costante ($20(cm)/s$) rispetto alla piattaforma a dispetto del fatto che la piattaforma gira con velocità crescente.
Come possa una pallina mantenere la velocità costante in presenza di una forza centrifuga crescente è un mistero.
Allora i casi sono due: o io sono rimbecillito (cosa possibile, anche se spero solo temporanea), oppure si può solo pensare tutto il male del mondo riguardo a chi ha scritto il testo di questo esercizio.
No, dai ... io lo interpreto come "velocità costante" finché la piattaforma non si mette in rotazione, difatti chiede di determinare anche la velocità ...
"axpgn":
No, dai ... io lo interpreto come "velocità costante" finché la piattaforma non si mette in rotazione, difatti chiede di determinare anche la velocità ...
Ah sì? Allora prova a integrare e poi mi dici. Ma la probabilità che io sia rincitrullito rimane alta.
Mica ho detto che sono in grado di risolverlo ... 
Ho semplicemente detto come l'ho interpretato io ... non mi pare complicato (il testo, dico ...
) anche perché mi pare di averne visti di simili ...
In pratica hai una piattaforma rotonda con una scanalatura rettilinea che passa per il centro; nel canale c'è una pallina che viaggia a velocità costante e quando passa per il centro, la piattaforma inizia a muoversi: a che velocità la pallina è "sparata" fuori dal "cannone"?
IMHO, ovviamente ...
Cordialmente, Alex
Ho semplicemente detto come l'ho interpretato io ... non mi pare complicato (il testo, dico ...
) anche perché mi pare di averne visti di simili ...In pratica hai una piattaforma rotonda con una scanalatura rettilinea che passa per il centro; nel canale c'è una pallina che viaggia a velocità costante e quando passa per il centro, la piattaforma inizia a muoversi: a che velocità la pallina è "sparata" fuori dal "cannone"?
IMHO, ovviamente ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Mica ho detto che sono in grado di risolverlo ...
Eh no, assumiti la responsabilità della tua interpretazione e risolvilo. Se non fosse risolvibile allora vuol dire che l'interpretazione giusta è la mia.
Vuoi dirmi che tutti quelli che hanno capito cosa voleva dire Goldbach sanno la soluzione?
Comunque se l'autore del thread postasse la soluzione magari potremmo capire cosa intendeva chi ha creato l'esercizio ...
Cordialmente, Alex
Comunque se l'autore del thread postasse la soluzione magari potremmo capire cosa intendeva chi ha creato l'esercizio ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Vuoi dirmi che tutti quelli che hanno capito cosa voleva dire Goldbach sanno la soluzione?
No, ma voglio dire che se l'interpretazione tua fosse giusta, allora anche la soluzione dovrebbe essere alla portata di uno studente medio. Se invece non lo è, vuol dire che chi ha scritto l'esercizio intendeva altro, da qui nasce la mia interpretazione e la mia critica.
Per essere ancora più chiaro, se prendo per buona la lettura di axpgn (che di primo acchito sarebbe anche la mia, se non riscontrassi poi difficoltà analitiche nel risolvere il problema) dovrei ragionare come segue.
Prendo come riferimento il sistema relativo costituito dalla piattaforma.
Dal momento in cui la pallina passa per il centro, ovvero in t=0; x=0, la forza che sospinge la pallina lungo la scanalatura radiale è la forza centrifuga, poiché quella apparente di trascinamento angolare, dovuta alla accelerazione angolare, e quella di Coriolis sono compensate dalla reazione normale della scanalatura.
Dunque la pallina è soggetta a una accelerazione radiale pari a $\ddot x = \omega ^2x = \alpha ^2t^2x$, con condizione iniziale $\dot x(0) = v_0$.
Se voglio trovare la velocità e l'accelerazione assoluta quando la pallina arriva al bordo della piattaforma devo necessariamente risolvere quella equazione differenziale.
Pertanto se qualcuno è in grado di farlo si accomodi pure.
Viceversa con la mia lettura (velocità costante della pallina, anche se misteriosamente mantenuta) il problema diventa in effetti un normale problema di cinematica dei moti relativi, come il titolo annuncia. Però in tal caso ribadisco che si tratterebbe di un pessimo testo.
Prendo come riferimento il sistema relativo costituito dalla piattaforma.
Dal momento in cui la pallina passa per il centro, ovvero in t=0; x=0, la forza che sospinge la pallina lungo la scanalatura radiale è la forza centrifuga, poiché quella apparente di trascinamento angolare, dovuta alla accelerazione angolare, e quella di Coriolis sono compensate dalla reazione normale della scanalatura.
Dunque la pallina è soggetta a una accelerazione radiale pari a $\ddot x = \omega ^2x = \alpha ^2t^2x$, con condizione iniziale $\dot x(0) = v_0$.
Se voglio trovare la velocità e l'accelerazione assoluta quando la pallina arriva al bordo della piattaforma devo necessariamente risolvere quella equazione differenziale.
Pertanto se qualcuno è in grado di farlo si accomodi pure.
Viceversa con la mia lettura (velocità costante della pallina, anche se misteriosamente mantenuta) il problema diventa in effetti un normale problema di cinematica dei moti relativi, come il titolo annuncia. Però in tal caso ribadisco che si tratterebbe di un pessimo testo.
Chiedo scusa se ho tardato a rispondere, ringrazio entrambi moltissimo per i suggerimenti!!
Riporto le soluzioni:
$v_{A}=\sqrt{v^2+(\frac{\alpha r^2}{v})^2}=0.54 \frac{m}{s}$
$a_{COR}=2 \alpha r=0.4 \frac{m}{s^2}$
$a_{A}=\sqrt{(\frac{\alpha^2 r^3}{v^2})^2}+9\alpha^2 r^2=0.6 \frac{m}{s^2}$
Riporto le soluzioni:
$v_{A}=\sqrt{v^2+(\frac{\alpha r^2}{v})^2}=0.54 \frac{m}{s}$
$a_{COR}=2 \alpha r=0.4 \frac{m}{s^2}$
$a_{A}=\sqrt{(\frac{\alpha^2 r^3}{v^2})^2}+9\alpha^2 r^2=0.6 \frac{m}{s^2}$
"midu107":
Chiedo scusa se ho tardato a rispondere, ringrazio entrambi moltissimo per i suggerimenti!!
Riporto le soluzioni:
$v_{A}=\sqrt{v^2+(\frac{\alpha r^2}{v})^2}=0.54 \frac{m}{s}$
$a_{COR}=2 \alpha r=0.4 \frac{m}{s^2}$
$a_{A}=\sqrt((\frac{\alpha^2 r^3}{v^2})^2+9\alpha^2 r^2)=0.6 \frac{m}{s^2}$
La soluzione conferma quello che avevo supposto e a cui axpgn non voleva credere, cioè che la pallina si muove a velocità relativa costante, a dispetto di ogni legge della dinamica.
Tant'è vero che siccome la velocità relativa $v$ e quella di trascinamento $\omegar=\alphatr=\alphar^2/v$ sono ortogonali, e la v relativa è sempre costante, uguale a quella data inizialmente, la velocità nel sistema assoluto si trova col teorema di Pitagora.
Siccome la pallina si muove a velocità costante, l'accelerazione relativa è nulla, di conseguenza l'accelerazione assoluta si trova tramite Pitagora prendendo l'accelerazione centripeta radiale $\omega^2r=\alpha^2t^2r=\alpha^2r^3/v^2$ e la somma algebrica della accelerazione di trascinamento $\alphar$ + la accelerazione di Coriolis $2v\omega=2v\alphat=2\alphar$ che sono entrambe ortogonali al moto della pallina.
Strano modo di muoversi per una pallina in quel contesto, neanche fosse dotata di freni!
Come nella roulette ...
Grazie mille per l'aiuto!!
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