Moto relativo di un proiettile

[feddy]

Un sassolino viene lanciato da un carrello, assimilabile a un punto materiale, con velocità relativa iniziale v 0 = 12 ms 1 ad un angolo $theta= 60°$ . Il carrello si sposta sul piano orizzontale di moto rettilineo uniforme con velocità $V_t = 9 ms^{-1}$
Calcolare:
1. il modulo e la direzione del vettore velocità con cui il sassolino impatta sul piano orizzontale.
2. la distanza OG del punto di caduta G sul piano orizzontale, rispetto al punto di lancio O
3. l’equazione cartesiana della traiettoria descritta dal sassolino durante il volo nel sistema di riferimento solidale al piano orizzontale
4. la distanza L del punto di caduta sul piano, rispetto al carrello orizzontale;

La situazione è schematizzata in figura

Svolgimento:

1. Le equazioni del moto del corpo materiale, viste da un osservatore posto in quiete nell'origine:

$ { ( x(t)=(v_0cos(theta)+v_t)t ),( y(t)=v_0 sin(theta)t - 1/2 g t^2 ):} $

Azzerando $y(t)$ si ha che l'impatto avviene a

$t_v=\frac{2v_0 sin(theta)}{g} = 2.1 s $

Perciò, date le componenti della velocità (assoluta)

$ { ( v_(x)(t)=v_0cos(theta)+v_t ),( v_y(t)=v_0 sin(theta) - g t ):} $

si ha che $\phi= \arctan(\frac{v_y}{v_x}) =\arctan(\frac{v_0 sin(theta) - g t_v}{v_0 cos(theta)})=-60°$

Dubbio: come interpretare al meglio questo angolo negativo?

Il modulo è dato da $|v|=\sqrt(v_x^2 + v_y^2)=11.8 m s^{-1}$

2. L'equazione cartesiana della traiettoria si ricava al solito modo è risulta

$y(x)=x \frac{v_0sin(theta)}{v_0 cos(theta)+v_t} - \frac{1}{2}g (\frac{x}{v_0cos(theta)+v_t})^2$

3.
La gittata si ottiene imponendo $y(x)=0$, da cui

$x_{\text{gittata}}= \frac{2v_0sin(theta) (v_0cos(theta) + v_t)}{g} \approx 31.8 \quad m$

4. La distanza percorsa dal carrello durante il lancio è data da

$x_{\text{carr}}=v_t \cdot t_v=\frac{2v_0 sin(theta) v_t}{g} \approx 19 \quad m$

Perciò la distanza $L$ è data da

$L=x_{\text{gittata}} - x_{\text{carr}} = 31.8 - 19.0 = 12.8 \quad m$

Is it okay?

[professorkappa]

Va bene, sembra.
L'angolo e' negativo perche la componente verticale della velocita e' negativa. In altre parole, ti dimostra che l'impatto avviene nel ramo discendente della parabola

[feddy]

Grazie per il check! Quello che mi premeva era sapere se l'impostazione fosse giusta o meno. Soprattutto il primo punto dove si scrive l'equazione del moto!