Moto relativo di roto-traslazione
Supponiamo di avere due osservatori $O , O'$ Solidali a due sistemi di riferimento cartesiani $R_1, R_2$ .
Entrambi vedono muovere un punto $P$ lungo una certa traiettoria.
Sia $r , r'$ rispettivamente i raggi vettori spiccati da $R_1 , R_2$. Supponiamo che $o'$ si muovi di moto roto-traslatorio rispetto ad $O$.
Allora O registra una velocità del tipo
$v = v_(o')+v'+ \omega X r$ (le citate sono grandezze vettoriali.) Tale relazione si ottiene osservando che $r = r_(o')+r'$ ove $r_(o')$ è il vettore posizione spiccato da $O$ in $O'$.
Ora $v_(o')$ è la velocità con cui $O$ vede muovere $O'$. mentre $v'$ è la velocità che registra $O'$ mentre $\omega X r'$ è la velocità angolare con cui gli assi di $R_2$ ruotano giusto?
sia $V_(o') , \omega X r'$ sono grandezze che registra $O$ guardando $O'$ , giusto?
Se sia $v_(o') = \omega =0$ i sistemi sarebbero inerziali giusto?
Per l'accelerazione ho che $a = a' + a_(o') +2\omega X r' + \alpha X r' + \omega X(\omega X r')$
cioè
posto
$a_(tr) = a_(o') + \alpha X r' + \omega X(\omega X r')$ <-- accelerazione di trascinamento
e $a_(co) = 2\omega x v'$ <-- accelerazione di Coriolis
ottengo che $a= a' + a_(tr) +a_(co)$
Domanda : $a_(co) = 2\omega x v'$ cosa rappresenta? . Grazie mille per un vostro eventuale chiarimento.
Entrambi vedono muovere un punto $P$ lungo una certa traiettoria.
Sia $r , r'$ rispettivamente i raggi vettori spiccati da $R_1 , R_2$. Supponiamo che $o'$ si muovi di moto roto-traslatorio rispetto ad $O$.
Allora O registra una velocità del tipo
$v = v_(o')+v'+ \omega X r$ (le citate sono grandezze vettoriali.) Tale relazione si ottiene osservando che $r = r_(o')+r'$ ove $r_(o')$ è il vettore posizione spiccato da $O$ in $O'$.
Ora $v_(o')$ è la velocità con cui $O$ vede muovere $O'$. mentre $v'$ è la velocità che registra $O'$ mentre $\omega X r'$ è la velocità angolare con cui gli assi di $R_2$ ruotano giusto?
sia $V_(o') , \omega X r'$ sono grandezze che registra $O$ guardando $O'$ , giusto?
Se sia $v_(o') = \omega =0$ i sistemi sarebbero inerziali giusto?
Per l'accelerazione ho che $a = a' + a_(o') +2\omega X r' + \alpha X r' + \omega X(\omega X r')$
cioè
posto
$a_(tr) = a_(o') + \alpha X r' + \omega X(\omega X r')$ <-- accelerazione di trascinamento
e $a_(co) = 2\omega x v'$ <-- accelerazione di Coriolis
ottengo che $a= a' + a_(tr) +a_(co)$
Domanda : $a_(co) = 2\omega x v'$ cosa rappresenta? . Grazie mille per un vostro eventuale chiarimento.
Risposte
Dati due sistemi di riferimento, consideriamo per ipotesi " fisso" il riferimento dell'osservatore $O$ e "mobile" quello di $O'$ rispetto al riferimento di $O$.
Considera un punto $P$ mobile rispetto al riferimento di $O'$ : spostamenti, velocità ed accelerazioni sono variabili nel tempo, rispetto al riferimento mobile.
A sua volta, il riferimento mobile é dotato di moto rispetto al rif fisso di $O$, e lo spazio solidale al rif mobile $O'x'y'z'$ si muove, rispetto a quello fisso $Oxyz$, come un "corpo rigido".
Quindi in generale si muove di moto roto-traslatorio.
Se in un dato istante il punto $P$ ha velocità relativa al rif mobile $vecv_(r)$ e la velocità angolare del rif mobile rispetto al fisso è $\vec\omega$ si dimostra analiticamente che nasce, oltre all'accelerazione relativa e all' accelerazione di trascinamento, una ulteriore accelerazione, detta "complementare" o di Coriolis ( dal nome del suo scopritore) data da: $\veca_(c) = 2\vec\omega\times\vecv_(r)$.
Ma tu forse chiedi: "Perché nasce questa ulteriore accelerazione? Come si giustifica fisicamente? I passaggi matematici mi sono chiari, non mi è chiara l'origine fisica di questa accelerazione". E' così?
Allora cerco di spiegartelo con un esempio.
Supponi che i due riferimenti abbiano gli assi $z$ e $z'$ coincidenti, e che il rif mobile ruoti attorno all'asse $z$ con vel angolare $\omega\veck$ costante. Il piano $O'x'y'$ è sovrapposto al piano $Oxy$, gli assi mobili ruotano nel piano con la vel angolare detta rispetto agli assi fissi.
Ora considera una semiretta uscente da $O=O'$ solidale al piano mobile: essa ruota con la vel angolare detta. Prendi un punto $P$ sulla semiretta, ad una distanza $r$ dall'origine, e supponi che tale punto abbia velocità relativa radiale, cioè lungo la semiretta, uguale a $vecv_r$, costante in modulo. Questo vettore, sempre perpendicolare a $vec\omega$, si sposta per due motivi: 1) perchè il punto P si muove radialmente sulla semiretta, e 2) perchè la semiretta ruota.
Per il primo motivo, spostandosi $P$ da $r$ a $r+\Deltar$, il punto $P$ , che in $r$ aveva una velocità periferica uguale a $\omega*r$, ha nel punto spostato una velocità periferica maggiore, pari a $\omega*(r+\Deltar) = \omega*(r+v_r\Deltat)$, dove $\Deltat$ è il tempo impiegato da $P$ per spostarsi di $\Deltar$ con la velocità relativa $v_r$. LA differenza tra le due velocità periferiche è evidentemente uguale a $\omega*v_r*\Deltat$, e dividendo per $\Deltat$ si ottiene : $\omega*v_r$, che rappresenta quindi la variazione di velocità periferica di $P$, nel tempo $\Deltat$, per effetto dello spostamento radiale di $P$ : e questa è la prima metà della accelerazione di Coriolis
2) a causa della rotazione della semiretta, il vettore $v_r$ disegnato in $P$, ruota con velocità angolare $\omega$. Se disegni una seconda semiretta, ruotata di un angolo $\Delta\theta = \omega\Deltat$, e allo stesso raggio $r$ metti il vettore $v_r$ anche sulla seconda, noterai che le "punte di freccia" distano di più delle origini dei due vettori $v_r$ segnati nei due punti : il vettore $\vecv_r$ cioè ruota, per effetto della vel angolare. Se tracci i due vettori da uno stesso punto noti che il vettore è ruotato di $\omega \Deltat$, quindi la punta della freccia si è spostata di $v_r*\omega\Deltat$. dividendo anche ora per $\Deltat$, ottieni la variazione del vettore velocità $v_r$ nel tempo, per effetto della velocità angolare, che vale $v_r*\omega$. E questo è il secondo pezzo della accelerazione di Coriolis, uguale in valore al primo.
Naturalmente per essere più precisi bisogna parlare in termini " differenziali" ( cioè $dt$ anziché $\Deltat$, ma il succo non cambia).
L'accelerazione di Coriolis interviene in molti problemi di moto relativo. Moltiplicata per la massa associata la punto $P$, e cambiata di segno, dà luogo alla "forza di Coriolis", che è una forza "apparente" dovuta al moto rotatorio quando $P$ è dotato di velocità relativa, come detto. Per esempio, sulla Terra è responsabile della circolazione antioraria dei cicloni nell'emisfero Nord,poiché le masse d'aria che si spostano a bassa quota da Nord verso Sud deviano verso la loro destra, cioè
verso Ovest. Così quelle che si spostano da Sud verso Nord deviano verso Est ,eccetera. Così si forma la circolazione antioraria, ma naturalmente il fenomeno non è così semplice.
L'accelerazione di Coriolis spiega anche il comportamento del pendolo di Foucault.
Considera un punto $P$ mobile rispetto al riferimento di $O'$ : spostamenti, velocità ed accelerazioni sono variabili nel tempo, rispetto al riferimento mobile.
A sua volta, il riferimento mobile é dotato di moto rispetto al rif fisso di $O$, e lo spazio solidale al rif mobile $O'x'y'z'$ si muove, rispetto a quello fisso $Oxyz$, come un "corpo rigido".
Quindi in generale si muove di moto roto-traslatorio.
Se in un dato istante il punto $P$ ha velocità relativa al rif mobile $vecv_(r)$ e la velocità angolare del rif mobile rispetto al fisso è $\vec\omega$ si dimostra analiticamente che nasce, oltre all'accelerazione relativa e all' accelerazione di trascinamento, una ulteriore accelerazione, detta "complementare" o di Coriolis ( dal nome del suo scopritore) data da: $\veca_(c) = 2\vec\omega\times\vecv_(r)$.
Ma tu forse chiedi: "Perché nasce questa ulteriore accelerazione? Come si giustifica fisicamente? I passaggi matematici mi sono chiari, non mi è chiara l'origine fisica di questa accelerazione". E' così?
Allora cerco di spiegartelo con un esempio.
Supponi che i due riferimenti abbiano gli assi $z$ e $z'$ coincidenti, e che il rif mobile ruoti attorno all'asse $z$ con vel angolare $\omega\veck$ costante. Il piano $O'x'y'$ è sovrapposto al piano $Oxy$, gli assi mobili ruotano nel piano con la vel angolare detta rispetto agli assi fissi.
Ora considera una semiretta uscente da $O=O'$ solidale al piano mobile: essa ruota con la vel angolare detta. Prendi un punto $P$ sulla semiretta, ad una distanza $r$ dall'origine, e supponi che tale punto abbia velocità relativa radiale, cioè lungo la semiretta, uguale a $vecv_r$, costante in modulo. Questo vettore, sempre perpendicolare a $vec\omega$, si sposta per due motivi: 1) perchè il punto P si muove radialmente sulla semiretta, e 2) perchè la semiretta ruota.
Per il primo motivo, spostandosi $P$ da $r$ a $r+\Deltar$, il punto $P$ , che in $r$ aveva una velocità periferica uguale a $\omega*r$, ha nel punto spostato una velocità periferica maggiore, pari a $\omega*(r+\Deltar) = \omega*(r+v_r\Deltat)$, dove $\Deltat$ è il tempo impiegato da $P$ per spostarsi di $\Deltar$ con la velocità relativa $v_r$. LA differenza tra le due velocità periferiche è evidentemente uguale a $\omega*v_r*\Deltat$, e dividendo per $\Deltat$ si ottiene : $\omega*v_r$, che rappresenta quindi la variazione di velocità periferica di $P$, nel tempo $\Deltat$, per effetto dello spostamento radiale di $P$ : e questa è la prima metà della accelerazione di Coriolis
2) a causa della rotazione della semiretta, il vettore $v_r$ disegnato in $P$, ruota con velocità angolare $\omega$. Se disegni una seconda semiretta, ruotata di un angolo $\Delta\theta = \omega\Deltat$, e allo stesso raggio $r$ metti il vettore $v_r$ anche sulla seconda, noterai che le "punte di freccia" distano di più delle origini dei due vettori $v_r$ segnati nei due punti : il vettore $\vecv_r$ cioè ruota, per effetto della vel angolare. Se tracci i due vettori da uno stesso punto noti che il vettore è ruotato di $\omega \Deltat$, quindi la punta della freccia si è spostata di $v_r*\omega\Deltat$. dividendo anche ora per $\Deltat$, ottieni la variazione del vettore velocità $v_r$ nel tempo, per effetto della velocità angolare, che vale $v_r*\omega$. E questo è il secondo pezzo della accelerazione di Coriolis, uguale in valore al primo.
Naturalmente per essere più precisi bisogna parlare in termini " differenziali" ( cioè $dt$ anziché $\Deltat$, ma il succo non cambia).
L'accelerazione di Coriolis interviene in molti problemi di moto relativo. Moltiplicata per la massa associata la punto $P$, e cambiata di segno, dà luogo alla "forza di Coriolis", che è una forza "apparente" dovuta al moto rotatorio quando $P$ è dotato di velocità relativa, come detto. Per esempio, sulla Terra è responsabile della circolazione antioraria dei cicloni nell'emisfero Nord,poiché le masse d'aria che si spostano a bassa quota da Nord verso Sud deviano verso la loro destra, cioè
verso Ovest. Così quelle che si spostano da Sud verso Nord deviano verso Est ,eccetera. Così si forma la circolazione antioraria, ma naturalmente il fenomeno non è così semplice.
L'accelerazione di Coriolis spiega anche il comportamento del pendolo di Foucault.
Salve Navigatore, ti ringrazio molto per le spiegazioni da te apportate, sei stato molto chiaro !
Inoltre , correggermi se sbaglio , l'accelerazione di Coriolis spiega anche perché un grave non cade lungo il radiale,ma spostato di qualche "passo" verso sud-est , se l'altezza $h$ è abbastanza grande, giusto?
Inoltre , correggermi se sbaglio , l'accelerazione di Coriolis spiega anche perché un grave non cade lungo il radiale,ma spostato di qualche "passo" verso sud-est , se l'altezza $h$ è abbastanza grande, giusto?
Si. Non vorrei sbagliarmi, né indurti in errore, ma non so, di primo acchito, se nella caduta che tu ipotizzi c'è anche una componente "verso sud" dello spostamento, se parliamo dell'emisfero Nord. C'è sicuramente quella verso Est, e si può vedere facilmente anche così: per non sbagliare, mettiamo una torre molto alta all'Equatore ( così ci liberiamo di Sud e Nord...ma che sono ancora questi razzismi, nel 2012...! )
La cima della torre ruota verso Est con una velocità maggiore della base: questo fa sì che il punto di caduta del grave abbandonato dalla cima della torre tocchi terra più ad Est del piede della verticale. Il calcolo analitico dello spostamento non è proprio facilissimo.E' comunque una quantità piccola in rapporto ad $h$.
Ciao.
La cima della torre ruota verso Est con una velocità maggiore della base: questo fa sì che il punto di caduta del grave abbandonato dalla cima della torre tocchi terra più ad Est del piede della verticale. Il calcolo analitico dello spostamento non è proprio facilissimo.E' comunque una quantità piccola in rapporto ad $h$.
Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo