Moto Pianeta - Forze Centrali
Ciao a tutti
qui di seguito vi riporto un esercizio che mi sta dando qualche difficoltà
Sicuramente mi perdo dietro ad una sciocchezza ma non riesco a capire dove.
Ho un oggetto di massa $m$ che si avvicina ad un pianeta di massa $M$.
Durante l'avvicinamento subisce l'effetto del campo gravitazionale del pianeta come in figura
chiamo $r$ la distanza tra il corpo $m$ e il centro del pianeta
l'esercizio mi chiede di trovare la distanza minima $r_0$ tra il corpo e il pianeta e la sia velocità $v_0$ in quel punto usando solo il principio di conservazione dell'energia e del momento angolare, sapendo che il pianeta ha raggio $R_0$
determinando anche per quali valori di $d$ e $v_(oo)$ il corpo colpisce la terra
So anche che a distanza $r=oo$ la velocità del corpo è $V_(oo)$
il potenziale in questione è quello gravitazionale e vale [tex]V(r) = - G \frac{mM}{r}[/tex]
Sono partito considerando la conservazione dell'energia.
Definendo l'energia totale come energia potenziale più energia cinetica ho che
[tex]E = U + T = - G \frac{mM}{r} + \frac{1}{2} mv^{2}[/tex]
quando $r=oo$ ho [tex]E_{\infty} = - G \frac{mM}{\infty} + \frac{1}{2} mv_{\infty}^{2} = \frac{1}{2} mv_{\infty}^{2}[/tex]
sapendo che l'energia si conserva ho che
[tex]- G \frac{mM}{r} + \frac{1}{2} mv^{2}== \frac{1}{2} mv_{\infty}^{2}[/tex]
fino qui è corretto il mio ragionamento?
il problema mi nasce quando devo considerare la conservazione del momento angolare
Prendo il modulo del momento angolare visto come [tex]|L| = rmv\cdot \sin \alpha[/tex] dove ovviamente $alpha$ è l'angolo che si forma tra il vettore posizione $r$ e il vettore velocità $v$
quando il corpo si trova a distanza infinita dal pianeta, immagino che non essendoci l'influsso del pianeta, il momento angolare dovrebbe essere nullo in quanto il moto dovrebbe essere "quasi" rettilineo
questo mi torna perchè l'angolo che in questo caso si formerebbe tra il vettore $r$ e la velocità $v$ tende a diventare pari a zero e quindi il seno si annulla. Capisco però che abbia poco senso perchè mi porterebbe a dire che il momento angolare è sempre nulla, dato che si conserva.
qualcuno potrebbe darmi una dritta su come procedere?
grazie mille a tutti
qui di seguito vi riporto un esercizio che mi sta dando qualche difficoltà
Sicuramente mi perdo dietro ad una sciocchezza ma non riesco a capire dove.
Ho un oggetto di massa $m$ che si avvicina ad un pianeta di massa $M$.
Durante l'avvicinamento subisce l'effetto del campo gravitazionale del pianeta come in figura
chiamo $r$ la distanza tra il corpo $m$ e il centro del pianeta
l'esercizio mi chiede di trovare la distanza minima $r_0$ tra il corpo e il pianeta e la sia velocità $v_0$ in quel punto usando solo il principio di conservazione dell'energia e del momento angolare, sapendo che il pianeta ha raggio $R_0$
determinando anche per quali valori di $d$ e $v_(oo)$ il corpo colpisce la terra
So anche che a distanza $r=oo$ la velocità del corpo è $V_(oo)$
il potenziale in questione è quello gravitazionale e vale [tex]V(r) = - G \frac{mM}{r}[/tex]
Sono partito considerando la conservazione dell'energia.
Definendo l'energia totale come energia potenziale più energia cinetica ho che
[tex]E = U + T = - G \frac{mM}{r} + \frac{1}{2} mv^{2}[/tex]
quando $r=oo$ ho [tex]E_{\infty} = - G \frac{mM}{\infty} + \frac{1}{2} mv_{\infty}^{2} = \frac{1}{2} mv_{\infty}^{2}[/tex]
sapendo che l'energia si conserva ho che
[tex]- G \frac{mM}{r} + \frac{1}{2} mv^{2}== \frac{1}{2} mv_{\infty}^{2}[/tex]
fino qui è corretto il mio ragionamento?
il problema mi nasce quando devo considerare la conservazione del momento angolare
Prendo il modulo del momento angolare visto come [tex]|L| = rmv\cdot \sin \alpha[/tex] dove ovviamente $alpha$ è l'angolo che si forma tra il vettore posizione $r$ e il vettore velocità $v$
quando il corpo si trova a distanza infinita dal pianeta, immagino che non essendoci l'influsso del pianeta, il momento angolare dovrebbe essere nullo in quanto il moto dovrebbe essere "quasi" rettilineo
questo mi torna perchè l'angolo che in questo caso si formerebbe tra il vettore $r$ e la velocità $v$ tende a diventare pari a zero e quindi il seno si annulla. Capisco però che abbia poco senso perchè mi porterebbe a dire che il momento angolare è sempre nulla, dato che si conserva.
qualcuno potrebbe darmi una dritta su come procedere?
grazie mille a tutti
Risposte
Summerwind,
esiste il "momento angolare" rispetto ad un polo $O$ anche se il punto materiale $(P,m)$ segue una traiettoria rettilinea, a distanza $d$ dal polo $O$ ! Non dobbiamo pensare al momento angolare "solo" se c'è un moto rotatorio.
Tale momento angolare ha modulo : $ L = mvd$, come si vede facilmente eseguendo il prodotto vettoriale : $(P-O)\timesm\vecv$: tale valore sarebbe costante ( a v= cost), da $-\infty$ a $+\infty$, se fosse $d=cost$. Credo che l'errore sia questo.
Quindi, se il punto si avvicina, cioè diminuisce la distanza $d$, la sua velocità deve aumentare. Prova a vedere che succede!
esiste il "momento angolare" rispetto ad un polo $O$ anche se il punto materiale $(P,m)$ segue una traiettoria rettilinea, a distanza $d$ dal polo $O$ ! Non dobbiamo pensare al momento angolare "solo" se c'è un moto rotatorio.
Tale momento angolare ha modulo : $ L = mvd$, come si vede facilmente eseguendo il prodotto vettoriale : $(P-O)\timesm\vecv$: tale valore sarebbe costante ( a v= cost), da $-\infty$ a $+\infty$, se fosse $d=cost$. Credo che l'errore sia questo.
Quindi, se il punto si avvicina, cioè diminuisce la distanza $d$, la sua velocità deve aumentare. Prova a vedere che succede!
Grazie mille
però non mi torna una cosa...
la definizione di momento angolare è
$vec(L) = vec(r) \times m vec(v)$ dove $vec(r)$ è la distanza dal il punto intorno al quale si calcola il momento angolare
è corretto?
ti invece mi stai dicendo che devo considerare la $d$ come distanza, ma non mi è chiaro il perchè
però non mi torna una cosa...
la definizione di momento angolare è
$vec(L) = vec(r) \times m vec(v)$ dove $vec(r)$ è la distanza dal il punto intorno al quale si calcola il momento angolare
è corretto?
ti invece mi stai dicendo che devo considerare la $d$ come distanza, ma non mi è chiaro il perchè
Prendi un foglio, disegna una retta, e un polo $O$ fuori di essa, a distanza $d$ dalla retta.
Poi prendi un punto $P$ qualunque sulla retta, nel quale metti la massa $m$ e la velocità $\vecv$ (che supponiamo costante, ma non è necessario), ovvero la qdm $\vecp=m\vecv$ .
Il momento angolare è : $(P-O)\times\vecp$ , dovunque sia $P$ sulla retta. Se calcoli bene il modulo del momento angolare, vedrai che è costante, e pari a $mvd$, avendo supposto $v= cost$.
Altrimenti varia con la velocità, ma in ogni caso il "braccio" $r*sen\alpha$ è sempre uguale a $d$.
Nel caso della forza centrale , il momento angolare è costante, come sai. Quindi , al diminuire della distanza, deve aumentare la velocità. Succede pure nelle orbite planetarie.
Poi prendi un punto $P$ qualunque sulla retta, nel quale metti la massa $m$ e la velocità $\vecv$ (che supponiamo costante, ma non è necessario), ovvero la qdm $\vecp=m\vecv$ .
Il momento angolare è : $(P-O)\times\vecp$ , dovunque sia $P$ sulla retta. Se calcoli bene il modulo del momento angolare, vedrai che è costante, e pari a $mvd$, avendo supposto $v= cost$.
Altrimenti varia con la velocità, ma in ogni caso il "braccio" $r*sen\alpha$ è sempre uguale a $d$.
Nel caso della forza centrale , il momento angolare è costante, come sai. Quindi , al diminuire della distanza, deve aumentare la velocità. Succede pure nelle orbite planetarie.
adesso ci sono arrivato
infatti era una sciocchezza la cosa su cui mi ero perso, non avevo visto che $r \cdot sin alpha = d$
grazie mille
infatti era una sciocchezza la cosa su cui mi ero perso, non avevo visto che $r \cdot sin alpha = d$
grazie mille
perdonami ma svolgendo i calcoli mi sono sorti nuovi dubbi
dalla conservazione della quantità di moto (in modulo) ottengo
$mv_(oo)d=mvr sin alpha$ dove $alpha$ è l'angolo tra i vettori posizione e velocità
semplificando $m$ ho quindi
$v = (v_(oo)d)/(r sin alpha)$
ho pensato che nel punto di distanza minima dal pianeta ($r=r_0$) ho che la $vec(v)$ è perpendicolare a $vec(r)$ quindi $sin alpha = 1$
per cui ottengo
$v_0 = (v_(oo)d)/(r_0)$
Questa la chiamo "equazione 1"
considerando la conservazione dell'energia ho che
$1/2 m v_oo^2 = -G(Mm)/r+1/2 m v^2$
che riscrivo come
$v_oo = -(2M)/r+ v^2$
che nel punto $r_0$ mi diventa
$v_oo = -(2M)/r_0+ v_0^2$
ricavando $v_0$ dall'"equazione 1" e sostituendo
ho
$v_oo = -(2M)/r_0+ (v_(oo)^2 d^2)/(r_0^2) \to r_0^2 +(2M)/v_oo r_0- v_(oo) d^2=0 $
ovvero un'equazione di secondo grado in $r_0$
però il $Delta$ di questa equazione è
$Delta = 4M^2 / v_(oo)^2+4v_(oo)d^2 > 0$
quindi l'equazioni ha due soluzioni distinte. Ma suppongo che debba essere unica invece.
Dove sbaglio?
dalla conservazione della quantità di moto (in modulo) ottengo
$mv_(oo)d=mvr sin alpha$ dove $alpha$ è l'angolo tra i vettori posizione e velocità
semplificando $m$ ho quindi
$v = (v_(oo)d)/(r sin alpha)$
ho pensato che nel punto di distanza minima dal pianeta ($r=r_0$) ho che la $vec(v)$ è perpendicolare a $vec(r)$ quindi $sin alpha = 1$
per cui ottengo
$v_0 = (v_(oo)d)/(r_0)$
Questa la chiamo "equazione 1"
considerando la conservazione dell'energia ho che
$1/2 m v_oo^2 = -G(Mm)/r+1/2 m v^2$
che riscrivo come
$v_oo = -(2M)/r+ v^2$
che nel punto $r_0$ mi diventa
$v_oo = -(2M)/r_0+ v_0^2$
ricavando $v_0$ dall'"equazione 1" e sostituendo
ho
$v_oo = -(2M)/r_0+ (v_(oo)^2 d^2)/(r_0^2) \to r_0^2 +(2M)/v_oo r_0- v_(oo) d^2=0 $
ovvero un'equazione di secondo grado in $r_0$
però il $Delta$ di questa equazione è
$Delta = 4M^2 / v_(oo)^2+4v_(oo)d^2 > 0$
quindi l'equazioni ha due soluzioni distinte. Ma suppongo che debba essere unica invece.
Dove sbaglio?
Nel rivedere i conti ho notato che c'è qualcosa che non va
quando la distanza è minima ho $alpha = pi/2$ qundi $sin (alpha) = 1$, in quel punto stando alle formule che ho usato, avrei la velocità minima e non la massima...
c'è qualcosa che non mi torna
quando la distanza è minima ho $alpha = pi/2$ qundi $sin (alpha) = 1$, in quel punto stando alle formule che ho usato, avrei la velocità minima e non la massima...
c'è qualcosa che non mi torna
"Summerwind78":
$v_oo = -(2M)/r_0+ (v_(oo)^2 d^2)/(r_0^2) \to r_0^2 +(2M)/v_oo r_0- v_(oo) d^2=0 $
ovvero un'equazione di secondo grado in $r_0$
però il $Delta$ di questa equazione è
$Delta = 4M^2 / v_(oo)^2+4v_(oo)d^2 > 0$
quindi l'equazioni ha due soluzioni distinte. Ma suppongo che debba essere unica invece.
Dove sbaglio?
Da quell'equazione ti risulta una radice positiva e una negativa.
Essendo il raggio positivo per definizione, scarti la radice negativa.
$r_0 = (GM)/v_oo + \sqrt((GM)^2 / v_(oo)^2+v_(oo)d^2)$
"Summerwind78":
Nel rivedere i conti ho notato che c'è qualcosa che non va
quando la distanza è minima ho $alpha = pi/2$ qundi $sin (alpha) = 1$, in quel punto stando alle formule che ho usato, avrei la velocità minima e non la massima...
c'è qualcosa che non mi torna
Qui non so cosa ti è venuto in mente, ma non ha molto senso. In $r_0$ ha distanza minima e v massima.
Quello che avevi fatto va bene.
Quasi tutto ...hai dimenticato per strada la costante gravitazionale $G$.
@Quinzio:
cosa mi è venuto in mente? non ne ho idea, sarà ceh ci stavo ragionando sopra da troppo tempo e ho dato i numeri
Grazie mille comunque
cosa mi è venuto in mente? non ne ho idea, sarà ceh ci stavo ragionando sopra da troppo tempo e ho dato i numeri
Grazie mille comunque
Summerwind,
mi sembra che ci sia anche qualche altra cosa che non va: l'energia cinetica iniziale, cioè quando il punto è all'infinito!
Ti sei scordato l'esponente $2$ di $\v_\infty$ !
L'equazione corretta per l'energia è quella del tuo primo post, dove l'esponente $2$ c'è, e la $G$ pure!
Controlla, io non mi sono preoccupato di verificare alcun calcolo.
mi sembra che ci sia anche qualche altra cosa che non va: l'energia cinetica iniziale, cioè quando il punto è all'infinito!
Ti sei scordato l'esponente $2$ di $\v_\infty$ !
L'equazione corretta per l'energia è quella del tuo primo post, dove l'esponente $2$ c'è, e la $G$ pure!
Controlla, io non mi sono preoccupato di verificare alcun calcolo.
Navigatore hai ragione, mi ero perso dei pezzi, ho corretto il post
sono errori di battitura qui, nei calcoli sui fogli è tutto corretto per fortuna
grazie
sono errori di battitura qui, nei calcoli sui fogli è tutto corretto per fortuna
grazie
Comunque, per essere sicuro, ho fatto anch'io i passaggi.
Per la conservazione del momento angolare : $ v_infty*d = v_0*r_0$ ,da cui : $v_0 = v_infty*d /r_0$ -----(1)
Per la conservazione dell'energia, in $r_0$ deve essere : $1/2m*v_infty^2 = -G(Mm)/r_0 + 1/2m*v_0^2$ -------(2)
Sostituendo la (1) nella (2) , si ottiene un'equazione di 2°grado in $r_0$ , con una radice positiva e una negativa : questa si scarta. La radice positiva é :
$r_0 = -(GM)/v_infty^2 + sqrt( ((GM)/v_infty^2)^2 + d^2) $
che ovviamente deve essere dimensionalmente omogenea.
Per la conservazione del momento angolare : $ v_infty*d = v_0*r_0$ ,da cui : $v_0 = v_infty*d /r_0$ -----(1)
Per la conservazione dell'energia, in $r_0$ deve essere : $1/2m*v_infty^2 = -G(Mm)/r_0 + 1/2m*v_0^2$ -------(2)
Sostituendo la (1) nella (2) , si ottiene un'equazione di 2°grado in $r_0$ , con una radice positiva e una negativa : questa si scarta. La radice positiva é :
$r_0 = -(GM)/v_infty^2 + sqrt( ((GM)/v_infty^2)^2 + d^2) $
che ovviamente deve essere dimensionalmente omogenea.
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