Moto pendolo
ciao, ho un problema con un esercizio... la mia prof mi ha detto di verificare che l=KT cioè che la lunghezza del filo di un pendolo è direttamente proporzionale al periodo di oscillazione, dove k è il coefficiente angolare. io ho provato a dimostralo, ma secondo me questa relazione non è possibile. E' vero? grazie mille dell'aiuto che potrete darmi, non ci sto capendo niente... 
Risposte
In effetti non è vera: la lunghezza è direttamente proporzionale al quadrato del periodo!
Il modo più semplice per verificarlo è il seguente:
Considera un piccolo spostamento angolare $theta$ del filo dalla verticale; il peso dela massa si può scomporre lungo una direzione tangente alla traiettoria (un arco di circonferenza) e lungo una direzione radiale (lungo il filo, per capirci).
La componente radiale è bilanciata dalla tensione; l'unica forza motrice è quindi quella tangenziale. Applicando la legge di Newton si ha:
$m a = - m g sin theta$
Il segno meno si deve al fatto che, per convenzione, il verso positivo è quello "uscente", mentre la componente del peso è "entrante"; il seno deriva da una banale considerazione sui triangoli rettangoli.
L'accelerazione tangenziale $a$ è uguale al prodotto dell'accelerazione angolare $alpha$ per il raggio (in questo caso la lunghezza $l$ del filo); inoltre, poichè
$theta$ è piccolo, $sin theta$ si può approssimare a $theta$. Dividendo entrambi i membri per $m$, infine, si ottiene
$alpha l = - g theta$ da cui $alpha = - g/l theta$. Ponendo $omega^2 = g/l$ ($omega$ viene chiamata pulsazione) si ha $alpha = - omega^2 theta$
Abbiamo che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento cambiato di segno (il fatto che siano grandezze angolari non è assolutamente importante): questa
è condizione necessaria e sufficiente affinchè il moto sia armonico semplice. In tale moto, in generale, il periodo vale $T = (2 pi)/omega$
Applicando al caso specifico otteniamo $T = 2 pi sqrt(l/g)$ da cui $l = g/(4 pi^2) T^2 = k T^2$
Il modo più semplice per verificarlo è il seguente:
Considera un piccolo spostamento angolare $theta$ del filo dalla verticale; il peso dela massa si può scomporre lungo una direzione tangente alla traiettoria (un arco di circonferenza) e lungo una direzione radiale (lungo il filo, per capirci).
La componente radiale è bilanciata dalla tensione; l'unica forza motrice è quindi quella tangenziale. Applicando la legge di Newton si ha:
$m a = - m g sin theta$
Il segno meno si deve al fatto che, per convenzione, il verso positivo è quello "uscente", mentre la componente del peso è "entrante"; il seno deriva da una banale considerazione sui triangoli rettangoli.
L'accelerazione tangenziale $a$ è uguale al prodotto dell'accelerazione angolare $alpha$ per il raggio (in questo caso la lunghezza $l$ del filo); inoltre, poichè
$theta$ è piccolo, $sin theta$ si può approssimare a $theta$. Dividendo entrambi i membri per $m$, infine, si ottiene
$alpha l = - g theta$ da cui $alpha = - g/l theta$. Ponendo $omega^2 = g/l$ ($omega$ viene chiamata pulsazione) si ha $alpha = - omega^2 theta$
Abbiamo che l'accelerazione è proporzionale allo spostamento cambiato di segno (il fatto che siano grandezze angolari non è assolutamente importante): questa
è condizione necessaria e sufficiente affinchè il moto sia armonico semplice. In tale moto, in generale, il periodo vale $T = (2 pi)/omega$
Applicando al caso specifico otteniamo $T = 2 pi sqrt(l/g)$ da cui $l = g/(4 pi^2) T^2 = k T^2$
grazie mille
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