Moto parabolico
Ciao a tutti ,
sto ripassando degli esercizi di fisica vecchi e uno mi blocca .
Un giavellotto viene lanciato da un'altezza $h$ con velocità iniziale $vec(v)_0$ la quale forma con il suolo un angolo $alpha$ .
Ricavare la traiettoria (credo di esserci riuscita) :
scompongo la velocità nelle componenti $vec(v)(t) = ( ( v_0 cos(alpha) ),( v_0 sin(alpha) ) )$
omettendo i calcoli trovo la traiettoria $vec(r)(t) = ( ( v_0 cos(alpha) t ),( v_0 sin(alpha) t - 1/2 g t^2+h ) )$.
Il secondo punto dell'esercizio è quello di dimostrare che la traiettoria è parabolica:
divido la componente verticale per quella orizzontale e ottengo
$y/x = tg (alpha) -1/2 (g t)/(v_0 cos (alpha)) + h/(v_0 cos (alpha)t)$ che con un po' di passaggi mi da
$y = - g/(2 v_0^2 cos^2 (alpha)) x^2 + tg(alpha)x+h$ che dimostra che il moto è parabolico con al concavità verso il basso .
Il punto critico è il seguente . Nel momento il giavellotto arriva a terra forma un angolo $beta$ (all'interno della parabole) con il suolo . Si chiede di esprimere $alpha$ in funzione di $beta$, $v_0$ e $h$ .
Ho pensato che calcolo $(dy)/(dx)$ nel punto in cui $y=0$ ottengo il coefficiente angolare della retta tangente alla traiettoria nel punto di impatto con il suolo , e tale valore è anche la tangente trigonometrica dell'angolo all'esterno della parabole , che è il supplementare di quello che sto cercando .
Usando semplicemente la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado , cerco di trovare per quali valori di $x$ ho $y=0$ ma mi viene un calcolone del tipo
[tex]y_{1,2} = \frac{1}{g} \cdot \left( tg(\alpha) v_{0}^{2} \cos^{2} (\alpha) \mp \sqrt{ v_{0}^{2} \sin^{2}(\alpha)\cos^{2}(\alpha) +2gh v_{0}^{2} \cos^{2}(\alpha) } \right)[/tex]
che mi fa pensare di non essere nella direzione giusta .
Sto sbagliando qualcosa nel mio ragionamento?
Nausi
sto ripassando degli esercizi di fisica vecchi e uno mi blocca .
Un giavellotto viene lanciato da un'altezza $h$ con velocità iniziale $vec(v)_0$ la quale forma con il suolo un angolo $alpha$ .
Ricavare la traiettoria (credo di esserci riuscita) :
scompongo la velocità nelle componenti $vec(v)(t) = ( ( v_0 cos(alpha) ),( v_0 sin(alpha) ) )$
omettendo i calcoli trovo la traiettoria $vec(r)(t) = ( ( v_0 cos(alpha) t ),( v_0 sin(alpha) t - 1/2 g t^2+h ) )$.
Il secondo punto dell'esercizio è quello di dimostrare che la traiettoria è parabolica:
divido la componente verticale per quella orizzontale e ottengo
$y/x = tg (alpha) -1/2 (g t)/(v_0 cos (alpha)) + h/(v_0 cos (alpha)t)$ che con un po' di passaggi mi da
$y = - g/(2 v_0^2 cos^2 (alpha)) x^2 + tg(alpha)x+h$ che dimostra che il moto è parabolico con al concavità verso il basso .
Il punto critico è il seguente . Nel momento il giavellotto arriva a terra forma un angolo $beta$ (all'interno della parabole) con il suolo . Si chiede di esprimere $alpha$ in funzione di $beta$, $v_0$ e $h$ .
Ho pensato che calcolo $(dy)/(dx)$ nel punto in cui $y=0$ ottengo il coefficiente angolare della retta tangente alla traiettoria nel punto di impatto con il suolo , e tale valore è anche la tangente trigonometrica dell'angolo all'esterno della parabole , che è il supplementare di quello che sto cercando .
Usando semplicemente la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado , cerco di trovare per quali valori di $x$ ho $y=0$ ma mi viene un calcolone del tipo
[tex]y_{1,2} = \frac{1}{g} \cdot \left( tg(\alpha) v_{0}^{2} \cos^{2} (\alpha) \mp \sqrt{ v_{0}^{2} \sin^{2}(\alpha)\cos^{2}(\alpha) +2gh v_{0}^{2} \cos^{2}(\alpha) } \right)[/tex]
che mi fa pensare di non essere nella direzione giusta .
Sto sbagliando qualcosa nel mio ragionamento?
Nausi
Risposte
"Nausicaa":
.....
Usando semplicemente la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado , cerco di trovare per quali valori di $x$ ho $y=0$ ma mi viene un calcolone del tipo
[tex]y_{1,2} = \frac{1}{g} \cdot \left( tg(\alpha) v_{0}^{2} \cos^{2} (\alpha) \mp \sqrt{ v_{0}^{2} \sin^{2}(\alpha)\cos^{2}(\alpha) +2gh v_{0}^{2} \cos^{2}(\alpha) } \right)[/tex]
che mi fa pensare di non essere nella direzione giusta .
Sto sbagliando qualcosa nel mio ragionamento?
Nausi
Il procedimento per trovare le ascisse dei punti in cui $y=0$ è giusto. Ma non ho controllato l'espressione. (chiedevi questo? )
PErò al primo membro devi scrivere [tex]x_{1,2}[/tex] , non $y_(1,2)$ . E poi devi scegliere la radice positiva.
Sotto radice, puoi mettere un $cos^2\alpha$ in evidenza e portarlo fuori, e poi metti ancora in evidenza un $cos\alpha$.
Piuttosto, esegui anche un controllo dimensionale dei termini : mi lascia perplesso quel $v_0^2$ sotto radice in entrambi i termini....c'è qualcosa che non va, ricontrolla.
E poi devi calcolarti la derivata $(dy)/(dx)$ nel punto ora detto. La derivata non è difficile.
A me sembra che la soluzione accettabile sia
[tex]x = \frac{1}{g} \cdot \left( v_{0}^{2} \sin(\alpha) \cos (\alpha) + v_{0} \cos(\alpha) \sqrt{ v_{0}^{2} \sin^{2}(\alpha) +2gh} \right)[/tex].
Forse è più semplice calcolare l'istante in cui arriva a terra, da $v_0 sin(alpha) t - 1/2 g t^2+h=0$. Poi il rapporto tra $v_y$ e $v_x$ in quell'istante è $tan(beta)$.
[tex]x = \frac{1}{g} \cdot \left( v_{0}^{2} \sin(\alpha) \cos (\alpha) + v_{0} \cos(\alpha) \sqrt{ v_{0}^{2} \sin^{2}(\alpha) +2gh} \right)[/tex].
Forse è più semplice calcolare l'istante in cui arriva a terra, da $v_0 sin(alpha) t - 1/2 g t^2+h=0$. Poi il rapporto tra $v_y$ e $v_x$ in quell'istante è $tan(beta)$.
Grazie mille a tutti e due
con il suggerimento di Chiaraotta sono riuscita ad arrivare alla soluzione senza troppe complicazioni
con il suggerimento di Chiaraotta sono riuscita ad arrivare alla soluzione senza troppe complicazioni
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