Moto parabolico
il problema mi sembra molto semplice:
Un proiettile di massa $ 20.0 $$ Kg $ viene sparato con un angolo $ θ=55.0° $ rispetto all’orizzontale, con una velocità iniziale $ v_0=350m/s $ . Nel punto più alto della traiettoria, il proiettile esplode in due frammenti uguali, uno dei quali immediatamente dopo l’esplosione cade verticalmente verso il basso, con velocità iniziale nulla. Trascurando l’effetto della resistenza dell’aria, si calcoli
si calcoli:
1) Quanto tempo dopo lo sparo è avvenuta l’esplosione?
2) Rispetto al punto di sparo, dove i due frammenti colpiscono il suolo?
il mio svolgimento:
1) trovo l'istante di tempo in cui il proiettile esplode che è quello in cui $ v_y=0 $
$ y=-1/2g t^2+v_0senθt $
$ y'=-g t^2+v_0senθ=0 $ da cui $ t=29.3s $ e questo risultato è corretto
2) ora i problemi:
il frammento che cade verticalmente verso il basso colpisce il suolo a $ x=v_0cosθt $ che a me risulta essere $ 5882m $ ma il risultato riporta $ 5873m $
analogamente per il frammento che immagino continui il suo moto parabolico, che colpisce il suolo a
$ y=0 $ -> $ -1/2g t^2+v_osenθt=0 $ da cui $ t=(2v_osentθ)/g=58.45s $
$ x=v_ocosθt=11733.9m $ ma il risultato dovrebbe essere $ 11619m $
potreste aiutarmi a capire se la differenza tra i miei risultati e quelli forniti è dovuta ad errori di approssimazione (non credo, ho rifatto il calcolo più volte..) o a un mio errore nello svolgimento?
Un proiettile di massa $ 20.0 $$ Kg $ viene sparato con un angolo $ θ=55.0° $ rispetto all’orizzontale, con una velocità iniziale $ v_0=350m/s $ . Nel punto più alto della traiettoria, il proiettile esplode in due frammenti uguali, uno dei quali immediatamente dopo l’esplosione cade verticalmente verso il basso, con velocità iniziale nulla. Trascurando l’effetto della resistenza dell’aria, si calcoli
si calcoli:
1) Quanto tempo dopo lo sparo è avvenuta l’esplosione?
2) Rispetto al punto di sparo, dove i due frammenti colpiscono il suolo?
il mio svolgimento:
1) trovo l'istante di tempo in cui il proiettile esplode che è quello in cui $ v_y=0 $
$ y=-1/2g t^2+v_0senθt $
$ y'=-g t^2+v_0senθ=0 $ da cui $ t=29.3s $ e questo risultato è corretto
2) ora i problemi:
il frammento che cade verticalmente verso il basso colpisce il suolo a $ x=v_0cosθt $ che a me risulta essere $ 5882m $ ma il risultato riporta $ 5873m $
analogamente per il frammento che immagino continui il suo moto parabolico, che colpisce il suolo a
$ y=0 $ -> $ -1/2g t^2+v_osenθt=0 $ da cui $ t=(2v_osentθ)/g=58.45s $
$ x=v_ocosθt=11733.9m $ ma il risultato dovrebbe essere $ 11619m $
potreste aiutarmi a capire se la differenza tra i miei risultati e quelli forniti è dovuta ad errori di approssimazione (non credo, ho rifatto il calcolo più volte..) o a un mio errore nello svolgimento?
Risposte
La differenza in 1) è dovuta ad arrotondamenti diversi.
Per 2) mi pare che la distanza che hai trovato tu sia semplicemente il doppio di quella di 1), e anche la soluzione proposta sta lì vicino. Ma mi pare completamente sbagliato.
Nel punto più alto il proiettile esplode, in due pezzi uguali. Uno dei due si ritrova fermo dopo l'esplosione, il che significa che la sua velocità, che al momento era orizzontale $v_0 cos 55$ , diventa zero, quindi varia di $-v_0cos 55$.
La conservazione della quantità di moto richiede che il secondo pezzo, di massa uguale, aumenti la sua velocità dello stesso valore, quindi la sua velocità orizzontale raddoppia. Il tempo di caduta resta lo stesso di quello di salita, così anche lo spazio percorso in orizzontale durante la discesa raddoppia. Infine, se lo spazio orizzontale percorso in salita è $x_1$, quello percorso in discesa è $2x_1$ e complessivamente $3x_1$ ossia
$17619$. Sicuro che la soluzione dica $11619$ ?
Per 2) mi pare che la distanza che hai trovato tu sia semplicemente il doppio di quella di 1), e anche la soluzione proposta sta lì vicino. Ma mi pare completamente sbagliato.
Nel punto più alto il proiettile esplode, in due pezzi uguali. Uno dei due si ritrova fermo dopo l'esplosione, il che significa che la sua velocità, che al momento era orizzontale $v_0 cos 55$ , diventa zero, quindi varia di $-v_0cos 55$.
La conservazione della quantità di moto richiede che il secondo pezzo, di massa uguale, aumenti la sua velocità dello stesso valore, quindi la sua velocità orizzontale raddoppia. Il tempo di caduta resta lo stesso di quello di salita, così anche lo spazio percorso in orizzontale durante la discesa raddoppia. Infine, se lo spazio orizzontale percorso in salita è $x_1$, quello percorso in discesa è $2x_1$ e complessivamente $3x_1$ ossia
$17619$. Sicuro che la soluzione dica $11619$ ?
giusto, per il secondo frammento non poteva essere semplicemente
provo a presentarti la situazione così sulla base di quello che mi hai detto.
dividiamo il moto in due: la prima metà è quella di salita del proiettile fino all'esplosione, che dura $ t=29.3s $ e si percorre $ x_1=5882m $ con una velocità $ v_x=v_0cos55 $
la seconda metà è quella di discesa del frammento (quello che continua il moto, non quello che cade giù), che durerà allo stesso modo $ t=29.3s $ e avrà una velocità $ v_x=2v_0cos55 $ , allora si percorre $ x=x_1+2v_0cos55t $ ossia $ x=16800m $
comunque si, il risultato riportato è $ 11619m $
"tgrammer":perchè non è vero che il frammento ha una velocità costante in modulo, perchè dopo l'esplosione il frammento che continua il moto acquista la velocità del frammento che si ferma.
$ y=0 $ -> $ -1/2g t^2+v_osenθt=0 $ da cui $ t=(2v_osentθ)/g=58.45s $
$ x=v_ocosθt=11733.9m $
provo a presentarti la situazione così sulla base di quello che mi hai detto.
dividiamo il moto in due: la prima metà è quella di salita del proiettile fino all'esplosione, che dura $ t=29.3s $ e si percorre $ x_1=5882m $ con una velocità $ v_x=v_0cos55 $
la seconda metà è quella di discesa del frammento (quello che continua il moto, non quello che cade giù), che durerà allo stesso modo $ t=29.3s $ e avrà una velocità $ v_x=2v_0cos55 $ , allora si percorre $ x=x_1+2v_0cos55t $ ossia $ x=16800m $
comunque si, il risultato riportato è $ 11619m $
"tgrammer":
la seconda metà è quella di discesa del frammento (quello che continua il moto, non quello che cade giù), che durerà allo stesso modo $ t=29.3s $ e avrà una velocità $ v_x=2v_0cos55 $ , allora si percorre $ x=x_1+2v_0cos55t $ ossia $ x=16800m $
Giusto, a parte che $x = 3x_1$, più facile, visto che hai già $x_1$, e a parte i numeri un po' strani. Forse è il caso che tu faccia gli arrotondamenti solo alla fine...
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