Moto Parabolico
Salve ragazzi ho un esercizio che mi chiede di trovare la velocità minima con cui deve essere lanciato un pallone per poter superare un muro alto h= 20 m e distante d=30 m dal punto di lancio, sapendo che si trascurano gli attriti dell'aria. L'angolo di lancio me lo sono ricavato guardando il disegno, ponendolo uguale alla tangente di h/d. A questo punto come si procede? Ho pensato di fare in questo moto: Ho le due equazioni dei moti proiettati sugli assi, nell'equazione per la x, mi ricavo il tempo in funzione della velocità iniziale per cui il pallone si trova proprio a d=30 m. A questo punto il tempo trovato lo inserisco nell'equazione per la y, avendo posto che in quell'istante si trova all'altezza h, in questo modo trovo la velocità iniziale 'minima' ma mi viene un valore molto grande e il ragionamento che ho fatto non mi convince. Mi sapete dire se è giusto e/o in cosa sbaglio ? Vi ringrazio!!
Risposte
Se spari il proiettile con quell'angolo iniziale, la parabola che viene fuori interseca il muro, non lo supera .
In direzione dell'asse $x$, orizzontale, la componente della velocità é costante durante tutto il moto :
$v_x = v_(0x) \rightarrow x = v_xt = v_(0x)t $
in direzione dell'asse $y$ , ortogonale al piano , la componente della velocità invece diminuisce col tempo :
$v_y = v_(0y) - g*t \rightarrow y = v_(0y) t -1/2g*t^2 $
Ricava l'equazione della parabola in forma cartesiana , e falla passare per i punti obbligati , che sono, oltre all'origine, la cima del muro coincidente col vertice della parabola e il punto simmetrico dell'origine rispetto al muro, sull 'asse $x$ .
In direzione dell'asse $x$, orizzontale, la componente della velocità é costante durante tutto il moto :
$v_x = v_(0x) \rightarrow x = v_xt = v_(0x)t $
in direzione dell'asse $y$ , ortogonale al piano , la componente della velocità invece diminuisce col tempo :
$v_y = v_(0y) - g*t \rightarrow y = v_(0y) t -1/2g*t^2 $
Ricava l'equazione della parabola in forma cartesiana , e falla passare per i punti obbligati , che sono, oltre all'origine, la cima del muro coincidente col vertice della parabola e il punto simmetrico dell'origine rispetto al muro, sull 'asse $x$ .
"Shackle":
Se spari il proiettile con quell'angolo iniziale, la parabola che viene fuori interseca il muro, non lo supera .
In direzione dell'asse $x$, orizzontale, la componente della velocità é costante durante tutto il moto :
$v_x = v_(0x) \rightarrow x = v_xt = v_(0x)t $
in direzione dell'asse $y$ , ortogonale al piano , la componente della velocità invece diminuisce col tempo :
$v_y = v_(0y) - g*t \rightarrow y = v_(0y) t -1/2g*t^2 $
Ricava l'equazione della parabola in forma cartesiana , e falla passare per i punti obbligati , che sono, oltre all'origine, la cima del muro coincidente col vertice della parabola e il punto simmetrico dell'origine rispetto al muro, sull 'asse $x$ .
Mmmmmm...ma come ci assicura che tra le infinite parabole che passano per l'origine e la cima del muro, la simmetrica sia quella con velocita minima iniziale?
Io procederei cosi (non sono riuscito a trovare una soluzione piu' semplice).
Da
$y=-g t^2/2+v_0sinthetat$ $x=v_0costhetat$, eliminando il tempo ottengo
$y=-g x^2/[2(v_0costheta)^2]+v_0sinthetax/(v_0costheta)=-g x^2/[2(v_0costheta)^2]+tanthetax$
Equazione di una parbola passate per l'origine. Imponendo che $x=d->y=h$ si ottiene:
$h=-g d^2/[2(v_0costheta)^2]+d*tantheta$
Da cui, con un po' di conti fatti su carta, che non riporto:
$v_0^2=[gd^2]/[2(dsintheta-hcostheta)costheta]$
Derivando rispetto a $theta$
$2v_0[dv_0]/[d theta]=[-2gd^2*[(dcostheta+hsintheta)costheta+(dsintheta-hcostheta)sintheta]]/[2(dsintheta-hcostheta)costheta)^2$
Imponendo $[dv_0]/[d theta]=0$ si trova l'angolo richiesto per minimizzare la velocita' di lancio.
Puo darsi che alla fine risulti la parabola simmetrica, ma se cosi fosse, non riuscirei a darmi una speigazione fisica o intuitiva del perche'. Spero' che lo studente sviluppi i calcoli e li posti.
ProfessorKappa ,
una parabola ad asse verticale è simmetrica rispetto all'asse , giusto? Il vertice è il punto più alto, quindi è sufficiente che la parabola che cerchiamo passi per la sommità del muro assunto come vertice . Naturalmente in quel punto la retta tangente è orizzontale. Il punto di intersezione della parabola con l'asse $x$ , diverso dall'origine, ha ascissa doppia di quella del vertice. Non vedo la necessità di fare tanti calcoli, quello che ho detto mi sembra la soluzione più semplice.
una parabola ad asse verticale è simmetrica rispetto all'asse , giusto? Il vertice è il punto più alto, quindi è sufficiente che la parabola che cerchiamo passi per la sommità del muro assunto come vertice . Naturalmente in quel punto la retta tangente è orizzontale. Il punto di intersezione della parabola con l'asse $x$ , diverso dall'origine, ha ascissa doppia di quella del vertice. Non vedo la necessità di fare tanti calcoli, quello che ho detto mi sembra la soluzione più semplice.
Ciao innanzitutto grazie mille per la disponibilità. Fino a quando trovi vo ci sono, ho capito il ragionamento.. poi non capisco perché si procede con la derivazione...
Comunque non lo so, deve esserci un metodo più semplice... perchè questa è un esercizio da soli 3 punti classificato come livello base, ma non ci arrivo :S
Facendo come ho detto , io trovo :
$v_(0y) = sqrt (2gh)$ , e questa è ovvia !
$v_(0x) = (gd)/v_(oy)$
sostituendo i numeri , viene ( se ho fatto bene i conti) :
$v_(0y) = sqrt (2gh)= 19.81 m/s$
$v_(0x) = (gd)/v_(oy) = 14.85 m/s $
da cui trovi pure l'angolo di lancio , e naturalmente il modulo della velocità iniziale.
Non devi derivare niente.
$v_(0y) = sqrt (2gh)$ , e questa è ovvia !
$v_(0x) = (gd)/v_(oy)$
sostituendo i numeri , viene ( se ho fatto bene i conti) :
$v_(0y) = sqrt (2gh)= 19.81 m/s$
$v_(0x) = (gd)/v_(oy) = 14.85 m/s $
da cui trovi pure l'angolo di lancio , e naturalmente il modulo della velocità iniziale.
Non devi derivare niente.
"Shackle":
ProfessorKappa ,
una parabola ad asse verticale è simmetrica rispetto all'asse , giusto? Il vertice è il punto più alto, quindi è sufficiente che la parabola che cerchiamo passi per la sommità del muro assunto come vertice . Naturalmente in quel punto la retta tangente è orizzontale. Il punto di intersezione della parabola con l'asse $x$ , diverso dall'origine, ha ascissa doppia di quella del vertice. Non vedo la necessità di fare tanti calcoli, quello che ho detto mi sembra la soluzione più semplice.
Grazie per l'esauriente spiegazione sulla parabola
Quindi secondo te, il valore minimo sarebbe
$v_x=14.85$
$v_y=19.81$
Angolo di lancio: 53.14 gradi. Velocita': 24.76m/sec
I conti tornano per come li imponi, ma chi ti dice che e' il valore minimo? Quello mi chiedo.
"Tony96":
Comunque non lo so, deve esserci un metodo più semplice... perchè questa è un esercizio da soli 3 punti classificato come livello base, ma non ci arrivo :S
Se non ti da' l'angolo di lancio non e' cosi banale. L'unica certezza ce l'hai col mio metodo (magari ne esiste uno piu' semplice, ma non lo vedo).
I calcoli li ho fatti io.
L'angolo di lancio per minimizzare la velocita' iniziale e' circa 61,2 gradi
Velocita' di lancio minima: 23.5 m/s
Velocita' orizzontale iniziale: 11.07 m/sec
Velocita'verticale iniziale: 20.67 m/sec
Verifica del passaggio per d,h
Il proiettile arriva in d=30 dopo $t=2.71sec$
L'altezza e' $h=-9.81/2*2.71^2+20.67*2.71=20m$
Tempo di volo totale: $t_v=2v_y/g=4.21 sec$
Gittata $s=v_xt_v=46.67m$, cioe' 16,67m oltre il muro
Prof kappa,
non hai bisogno di lezioni sulla parabola, tanto meno da me!
Riesaminando il testo, noto che in effetti ė un po' deficitario, perché parla solo di valore minimo della velocità (modulo ), ma non di angolo di lancio, che pure ė importante. Allora mi sono detto :" Ė un esercizio elementare, lo risolvo nel modo più elementare possibile" . E lo studente ha confermato che è un coso da 3 punti
Col tuo procedimento , trovi valori diversi , vedo, e il modulo della velocità iniziale è inferiore al mio. Non so però se Tony è a questo livello, forse si, ma allora non è un coso da 3 punti.
Facciamo una nota di biasimo al testo....
non hai bisogno di lezioni sulla parabola, tanto meno da me!
Riesaminando il testo, noto che in effetti ė un po' deficitario, perché parla solo di valore minimo della velocità (modulo ), ma non di angolo di lancio, che pure ė importante. Allora mi sono detto :" Ė un esercizio elementare, lo risolvo nel modo più elementare possibile" . E lo studente ha confermato che è un coso da 3 punti
Col tuo procedimento , trovi valori diversi , vedo, e il modulo della velocità iniziale è inferiore al mio. Non so però se Tony è a questo livello, forse si, ma allora non è un coso da 3 punti.
Facciamo una nota di biasimo al testo....
Per amor di obiettivita' e senza alcuna intenzione polemica, mi preme sottolineare un paio di cosette
Secondo me non defice: siccome la palla deve passare per la sommita' del muro, la velocita' necessaria da imprimere al pallone non e' libera, ma dipende dall'angolo con cui lo calci. Si tratta di trovare $v(theta)$ e minimizzarla. Se desse l'angolo di lancio allora sarebbe veramente una banalita': hai i 2 punti della parabola e il valore della tangente nell'origine: sono i 3 parametri che ti permettono di individuare l'unica parabola possibile.
La valutazione di difficolta' del professore non e' un parametro obiettivo per risolvere un esercizio. Il professore lo ritiene facile, che devi fa'? Oppure sono 3 punti, ma arrivare a 2 punti vuol dire che sei bravo e 3 e' riservato agli optimi. E poi, secondo me, non e' difficile (concettualmente), e' solo un po' complicato dal punto di vista dei calcoli, ma come impostazione e' abbastanza semplice.
Non direi: il testo e' preciso. Forse poteva specificare il modulo della velocita' iniziale, ma se dai un calcio a un pallone e' naturale intendere la velocita' totale: casomai avrebbe dovuto specificare se avesse inteso il modulo della componente della velocita' su x o y, ma in questo caso per me e' lampante.
Io ricordo un esercizio di Fisica I che ci dettero a un esonero (si fanno ancora?), in cui un cannone sparava verso un muro (posto a distanza dal cannone nota d e di altezza anche essa nota h) con una velocita' data.
Si chiedeva quale era la distanza oltre il muro al di sotto della quale si era certi di non essere colpiti. Anche qui, si trattava di trovare la gittata in funzione di $theta$ e minimizzarla, imponendo ovviamente la condizione che per $x=d-> y>h$.
Concettualmente e' banale. Ma prova a impostarlo e a risolverlo, per curiosita', e vedi come cominciano a saltar fuori calcoli veramente antipatici.
"Shackle":
Riesaminando il testo, noto che in effetti ė un po' deficitario, perché parla solo di valore minimo della velocità (modulo ), ma non di angolo di lancio, che pure ė importante.
Secondo me non defice: siccome la palla deve passare per la sommita' del muro, la velocita' necessaria da imprimere al pallone non e' libera, ma dipende dall'angolo con cui lo calci. Si tratta di trovare $v(theta)$ e minimizzarla. Se desse l'angolo di lancio allora sarebbe veramente una banalita': hai i 2 punti della parabola e il valore della tangente nell'origine: sono i 3 parametri che ti permettono di individuare l'unica parabola possibile.
"Shackle":
Allora mi sono detto :" Ė un esercizio elementare, lo risolvo nel modo più elementare possibile" . E lo studente ha confermato che è un coso da 3 punti
Col tuo procedimento , trovi valori diversi , vedo, e il modulo della velocità iniziale è inferiore al mio. Non so però se Tony è a questo livello, forse si, ma allora non è un coso da 3 punti.
La valutazione di difficolta' del professore non e' un parametro obiettivo per risolvere un esercizio. Il professore lo ritiene facile, che devi fa'? Oppure sono 3 punti, ma arrivare a 2 punti vuol dire che sei bravo e 3 e' riservato agli optimi. E poi, secondo me, non e' difficile (concettualmente), e' solo un po' complicato dal punto di vista dei calcoli, ma come impostazione e' abbastanza semplice.
"Shackle":
Facciamo una nota di biasimo al testo....
Non direi: il testo e' preciso. Forse poteva specificare il modulo della velocita' iniziale, ma se dai un calcio a un pallone e' naturale intendere la velocita' totale: casomai avrebbe dovuto specificare se avesse inteso il modulo della componente della velocita' su x o y, ma in questo caso per me e' lampante.
Io ricordo un esercizio di Fisica I che ci dettero a un esonero (si fanno ancora?), in cui un cannone sparava verso un muro (posto a distanza dal cannone nota d e di altezza anche essa nota h) con una velocita' data.
Si chiedeva quale era la distanza oltre il muro al di sotto della quale si era certi di non essere colpiti. Anche qui, si trattava di trovare la gittata in funzione di $theta$ e minimizzarla, imponendo ovviamente la condizione che per $x=d-> y>h$.
Concettualmente e' banale. Ma prova a impostarlo e a risolverlo, per curiosita', e vedi come cominciano a saltar fuori calcoli veramente antipatici.
Ho la vaga sensazione che il docente si aspettasse la soluzione con la parabola simmetrica rispetto al muro, che è comunque errata. Ma posso sbagliarmi .
A questo punto, direi a Tony : " Va' da chi ti ha dato il problema , fa' presente le difficoltà in cui ti sei trovato , e prospettagli la soluzione di profkappa, che è giustissima , magari senza nominare il forum, altrimenti si arrabbia...
, e chiedigli se , secondo lui, era nelle tue capacità risolverlo . "
Concordo sulle osservazioni relative al problema. Permettimi però, Profkappa , di conservare il mio punto di vista sulla nota di biasimo al testo, che non ritengo sufficientemente chiaro. Avrebbe per lo meno dovuto dire :
"Determinare la funzione $v(\theta) $ e il valore minimo che si deve dare a $v$ affinché il proiettile superi il muro. "
In questo modo, avrebbe forse dato un input allo studente. Naturalmente è solo il mio discutibilissimo punto di vista . Saluti.
A questo punto, direi a Tony : " Va' da chi ti ha dato il problema , fa' presente le difficoltà in cui ti sei trovato , e prospettagli la soluzione di profkappa, che è giustissima , magari senza nominare il forum, altrimenti si arrabbia...
, e chiedigli se , secondo lui, era nelle tue capacità risolverlo . " Concordo sulle osservazioni relative al problema. Permettimi però, Profkappa , di conservare il mio punto di vista sulla nota di biasimo al testo, che non ritengo sufficientemente chiaro. Avrebbe per lo meno dovuto dire :
"Determinare la funzione $v(\theta) $ e il valore minimo che si deve dare a $v$ affinché il proiettile superi il muro. "
In questo modo, avrebbe forse dato un input allo studente. Naturalmente è solo il mio discutibilissimo punto di vista . Saluti.
@Professorkappa
Siccome ho dei dubbi sull'osservazione che faccio nel caso fosse fuori luogo ti prego di scusarmi.
Ho letto nell'impostazione che hai dato al problema che,all'inizio,esprimi y con il seno dell'angolo e cioe' fai riferimento
all'angolo che insiste sulla sommita' del muretto.In considerazione del fatto che l'angolo di tiro non e' quello
si potrebbe verificare la situazione che dopo la derivazione e l'uguaglianza a zero si trovi l' angolo ma che h non abbia piu' il valore di partenza?
In fondo si tratta di dare un calcetto al pallone per fargli scavalcare il muretto,traiettoria a ramo di parabola fino alla sommita'e simmetrica dopo il muretto.(Almeno credo)......
Grazie
Siccome ho dei dubbi sull'osservazione che faccio nel caso fosse fuori luogo ti prego di scusarmi.
Ho letto nell'impostazione che hai dato al problema che,all'inizio,esprimi y con il seno dell'angolo e cioe' fai riferimento
all'angolo che insiste sulla sommita' del muretto.In considerazione del fatto che l'angolo di tiro non e' quello
si potrebbe verificare la situazione che dopo la derivazione e l'uguaglianza a zero si trovi l' angolo ma che h non abbia piu' il valore di partenza?
In fondo si tratta di dare un calcetto al pallone per fargli scavalcare il muretto,traiettoria a ramo di parabola fino alla sommita'e simmetrica dopo il muretto.(Almeno credo)......
Grazie
No, l'angolo $theta$ non e' l'arcotangente di h/d, non ha nulla a che fare con l'altezza del muretto. E' l'angolo di lancio (incognito). Per far si che il pallone passi per la sommita' del muretto, la velocita' di lancio e' funzione dell;angolo di lancio.
Io trovo esattamente questa relazione: $v_0(theta)$
Derivandola rispetto a $theta$ e imponendo la derivata nulla trovo il $bartheta$ per cui la velocita' e' minima.
Avendo ora $bartheta$, posso calcolare la velocita' di lancio minima.
A quel punto, si trova che la parabola non e' simmetrica rispetto al muro, dato che il vertice e' prima del muro e il muro viene sfiorato in fase discendente.
Io trovo esattamente questa relazione: $v_0(theta)$
Derivandola rispetto a $theta$ e imponendo la derivata nulla trovo il $bartheta$ per cui la velocita' e' minima.
Avendo ora $bartheta$, posso calcolare la velocita' di lancio minima.
A quel punto, si trova che la parabola non e' simmetrica rispetto al muro, dato che il vertice e' prima del muro e il muro viene sfiorato in fase discendente.
Ho voluto fare una prova,
non che ce ne fosse bisogno,ma mi ha incuriosito la soluzione che hai proposto.Ho preso in prestito due dati che hai scritto ,tempo di volo e
e la velocità' che hai trovato considerando pero' il pallone come massa inerziale e non gravitazionale. Lo stesso seguira' la sua traiettoria rettilinea e inerziale che incrocera' il basamento del muretto in accelerazione g verso di lui al tempo t di volo (lo stesso della gittata).
Da cui sen alfa=4,9*tquadro/vt
= 0,877
In effetti l'angolo e' proprio quello
che hai indicato.
Tutto qua e grazie dell'attenzione.
non che ce ne fosse bisogno,ma mi ha incuriosito la soluzione che hai proposto.Ho preso in prestito due dati che hai scritto ,tempo di volo e
e la velocità' che hai trovato considerando pero' il pallone come massa inerziale e non gravitazionale. Lo stesso seguira' la sua traiettoria rettilinea e inerziale che incrocera' il basamento del muretto in accelerazione g verso di lui al tempo t di volo (lo stesso della gittata).
Da cui sen alfa=4,9*tquadro/vt
= 0,877
In effetti l'angolo e' proprio quello
che hai indicato.
Tutto qua e grazie dell'attenzione.
Il suggerimento fornito è che cerchiamo la velocità minima in modulo quindi possiamo trascurare l'angolo, semplicemente considerando v0y e v0x.... pareri?
Il suggerimento fornito è che cerchiamo la velocità minima in modulo quindi possiamo trascurare l'angolo
Ottimo suggerimento, il prof provi a lanciare la palla a 90 gradi e veda se riesce a superare il muro, se non ci riesce con la velocità minima, provi pure con quella massima, forse ci riesce. Molto probabilmente il prof ha preso sottogamba l'esercizio e anche lui pensava a una parabola simmetrica
Tu come lo imposteresti ? ( considerando che è classificato come livello base ) forse bisogna sfruttare la conservazione dell'energia? ( il testo parla di assenza di attrito )
L'esercizio è considerato di livello base (il livello di un esercizio alla fine è soggettivo...) perché il prof (dove per prof intendo il tuo professore di fisica, non professorkappa...che non è un professore) lo ha preso sottogamba, pensando alla parabola simmetrica (in pratica ha sbagliato la soluzione, non c'è niente di grave, né è qualcosa di impossibile...sapessi quanti miei prof sbagliano, è umano), la soluzione esatta è quella di professorkappa
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