Moto oscillatorio armonico ed equazione differenziale

[Samuele201]

Salve a tutti.

Per qual motivo l'eq. differenziale del moto oscillatorio armonico ($ddot s+\omega_0^2 dot s=0$) avente condizioni iniviali $s(0)=s_0, v(0)=v_(s0)$ ha soluzione $s(t)=Acos(\omega_0t+\phi_0)$ e non $s_0cos(\omega_0t)+(v_s0) /\omega_0 sin(\omega_0 t)$?

[VINX89]

Perchè è possibile scrivere una somma di termini goniometrici come un unico termine avente la stessa pulsazione e con uno sfasamento opportuno.
Data l'equazione

$s'' = -omega^2 s$

Considerando il polinomio caratteristico

$z^2 = -omega^2 $ da cui $z_(1,2) = + o - omega i

si ricava che la soluzione generale dell'equazione è:

$s(t) = C_1 e^(-omega i t) + C_2 e^(omega i t)

Applicando la formula di Eulero si ottiene:

$s(t) = C_1 cos(omega t) - C_1 i sin(omega t) + C_2 cos(omega t) + C_2 i sin(omega t) = (C_1 + C_2) cos (omega t) + i (C_2 - C_1) sin (omega t)$

Ora prendo un generico angolo $phi$ e una costante $A$ tali che $A sin phi = C_1 + C_2$ e $A cos phi = i (C_2 - C_1)$; si ottiene

$s(t) = A sin phi cos omega t + A cos phi sin omega t$

Questa è la formula di addizione del seno, quindi si può scrivere:

$s(t) = A sin (omega t + phi)$

[Samuele201]

"VINX89":Perchè è possibile scrivere una somma di termini goniometrici come un unico termine avente la stessa pulsazione e con uno sfasamento opportuno.
Data l'equazione

$s'' = -omega^2 s$

Considerando il polinomio caratteristico

$z^2 = -omega^2 $ da cui $z_(1,2) = + o - omega i

si ricava che la soluzione generale dell'equazione è:

$s(t) = C_1 e^(-omega i t) + C_2 e^(omega i t)

Applicando la formula di Eulero si ottiene:

$s(t) = C_1 cos(omega t) - C_1 i sin(omega t) + C_2 cos(omega t) + C_2 i sin(omega t) = (C_1 + C_2) cos (omega t) + i (C_2 - C_1) sin (omega t)$

Ora prendo un generico angolo $phi$ e una costante $A$ tali che $A sin phi = C_1 + C_2$ e $A cos phi = i (C_2 - C_1)$; si ottiene

$s(t) = A sin phi cos omega t + A cos phi sin omega t$

Questa è la formula di addizione del seno, quindi si può scrivere:

$s(t) = A sin (omega t + phi)$

Capito l'ultimo passaggio ma: essendo le radici del polinomio caratteristico immaginarie l'integrale generale non dovrebbe essere $c_1 cos(\omega t)+c_2 sin (\omega t)$? da questa forma risolvendo il problema di Cauchy si ottiente

${(c_1=x_0),(c_2=xsin (\phi)):}$
I valori dei vari c gli ho sempre trovati così, non ho mai impostato termini

[VINX89]

La soluzione $c_1 cos omega t + c_2 sin omega t$, in realtà, deriva dall'applicazione della formula di eulero alla soluzione

$C_1 e^(- i omega t) + C_2 e^(i omega t)$.

ponendo, come puoi vedere sopra, $c_1 = C_1 + C_2$ e $c_2 = i(C_2 - C_1)$

Data una generica equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, nel caso in cui il polinomio caratteristico abbia due radici distinte $z_1$ e $z_2$ la soluzione è sempre:

$C_1 e^(z_1 t) + C_2 e^(z_2 t)$

senza eccezioni. Il seno e il coseno compaiono dopo con quella sostituzione.
In ogni caso, qualunque sia la "forma" della soluzione che scegli di adottare, i valori delle due costanti (sono sempre due!) si ricavano con il sistema.

$x' = v_0$

$x = x_0$

La forma $x(t) = A sin (omega t + phi)$ è più utile da un punto di vista fisico perchè permette di analizzare immediatamente le caratteristiche del moto, ovvero l'ampiezza $A$, lo sfasamento $phi$ e la pulsazione $omega$. Inoltre, il suo grafico è realizzabile senza alcuno studi di funzione: basta "traslare" e "dilatare" opportunamente la nota funzione seno (tutti vantaggi che non ha la forma "seno + coseno").

[Samuele201]

Ok! capito come si arriva all'integrale generale, dopo di chè si impongono i valori delle costanti come da te scritto. Non capisco però come facciamo a venirti quei valori lì dal problema di Cauchy.

[VINX89]

"Samuele20":Ok! capito come si arriva all'integrale generale, dopo di chè si impongono i valori delle costanti come da te scritto. Non capisco però come facciamo a venirti quei valori lì dal problema di Cauchy.

Forse mi sono espresso male omettendo le parentesi; il sistema è:

$x'(0) = v_0$
$x(0) = x_0$

cioè

$A sin phi = x_0$
$omega A cos phi = v_0$

da cui si ricavano i valori di $A$ e $phi$

[Samuele201]

"VINX89":Perchè è possibile scrivere una somma di termini goniometrici come un unico termine avente la stessa pulsazione e con uno sfasamento opportuno.
Data l'equazione

$s'' = -omega^2 s$

Considerando il polinomio caratteristico

$z^2 = -omega^2 $ da cui $z_(1,2) = + o - omega i

si ricava che la soluzione generale dell'equazione è:

$s(t) = C_1 e^(-omega i t) + C_2 e^(omega i t)

Applicando la formula di Eulero si ottiene:

$s(t) = C_1 cos(omega t) - C_1 i sin(omega t) + C_2 cos(omega t) + C_2 i sin(omega t) = (C_1 + C_2) cos (omega t) + i (C_2 - C_1) sin (omega t)$

Ora prendo un generico angolo $phi$ e una costante $A$ tali che $A sin phi = C_1 + C_2$ e $A cos phi = i (C_2 - C_1)$; si ottiene

$s(t) = A sin phi cos omega t + A cos phi sin omega t$

Questa è la formula di addizione del seno, quindi si può scrivere:

$s(t) = A sin (omega t + phi)$

Ma la leggere oraria non dovrebbe avere coseno e non seno?