Moto in un potenziale centrale
Consideriamo il classico problema del moto di un corpo sotto l'azione di un potenziale centrale.
Con vari metodi (a me piacciono le lagrangiane o gli hamiltoniani, ma ci sono molti altri modi) si puo arrivare alle seguenti equazioni del moto:
M=costante
d^2(r)/dt^2=M/(m*r^3)-(dU/dr)/m
dove M=momento angolare, r=coordinata radiale, m=massa del corpo, U=potenziale centrale, t=tempo.
Fin qui nessun problema. A questo punto tutti prendono l'esempio del pitenziale 1/r e ricavano le equazioni di keplero, affermando che se l'energia totale del corpo è negativa, il moto sarà un'ellisse perfetta (nel senso che si chiuderà in un ciclo.
Nel mio caso però il problema è più complesso perchè il potenziale che uso è della forma:
U(r)=e*V0*a/r*exp(-(r-a)/lD)
dove e,V0,a e lD sono tutte costanti. Sostanzialmente è lo stesso potenziale di prima moltiplicato per un esponenziale negativo.
Quello che mi interessa capire è che forma avrà l'orbita con il potenziale sopraccitato nel caso di energia totale negativa. Ellisse perfetta? Altra traietoria chiusa? Traiettoria che non si chiuderà mai? L'unica certezza che ho è che la soluzione non deve divergere perchè l'energia totale e il momento angolare si conservano!
Dal momento che quando si deriva il potenziale con l'esponenziale ci si trova a dover risolvere l'equazione differenziale:
d^2(r)/dt^2=M^2/(m*r^3)+e*V0*a/(m*r)*exp(-(r-a)/lD)*(1/r+1/lD)
che non è proprio una passeggiata, ho pensato di integrare il tutto numericamente.
L'algoritmo che ho usato è simplettico del 4° ordine (significa che conserva alla perfezione l'energia). So che tutte le soluzioni numeriche di problemi che coinvolgono potenziali centrali hanno problemi nel predirre in modo corretto la traiettoria, quindi ho fatto un'analisi al variare dello step temporale. Per confermare la consistenza dell'algoritmo ho cominciato con il caso classico del potenziale 1/r.
Il risultato è quello che potete vedere nella prima figura:
Come si nota, nel caso dello step temporale più lungo, la traiettoria non è un'ellisse perfetta, ma appena si diminuisce lo step (l'ho diviso per 10) si converge verso la soluzione esatta (se si ingrandisce parecchio si nota che la traiettoria non è ancora perfetta, ma la convergenza è chiara) [NDR alla riduzione del passo temporale corrisponde un'aumento del numero di passi in modo tale da mantenere il tempo totale di simulazione costante].
A questo punto ho mantenuto tutto l'algoritmo uguale e ho cambiato solo il potenziale.
Quello che ottengo è nella figura sottostante:
Con lo step temporale più lungo si ottiene una figura "elliptical-like" che non si chiude. Mi aspettavo che riducendo il passo temporale sarei converso verso un'ellisse, invece, dividendolo per 10 mi muovo poco, e dividendolo per 20 mi trovo nella stessa situazione del passo temporale diviso per 10. Questo mi fa pensare (motivatamente) che vi sia convergenza verso una soluzione che è diversa come forma da quella del potenziale 1/r [NDR: il risultato del passo temporale intermedio quasi non si vede perchè è praticamente identico a quello del passo temporale più corto che lo copre].
dal momento che l'algoritmo che sto usando è del 4° ordine, una riduzione del passo temporale di 20 volte dovrebbe portare ad una riduzione dell'errore nell'ordine di 10^5 volte.
Vorrei sentire il vostro parere e capire se la soluzione che ho ottenuto ha senso o c'è qualcosa sotto.
Thanks
Con vari metodi (a me piacciono le lagrangiane o gli hamiltoniani, ma ci sono molti altri modi) si puo arrivare alle seguenti equazioni del moto:
M=costante
d^2(r)/dt^2=M/(m*r^3)-(dU/dr)/m
dove M=momento angolare, r=coordinata radiale, m=massa del corpo, U=potenziale centrale, t=tempo.
Fin qui nessun problema. A questo punto tutti prendono l'esempio del pitenziale 1/r e ricavano le equazioni di keplero, affermando che se l'energia totale del corpo è negativa, il moto sarà un'ellisse perfetta (nel senso che si chiuderà in un ciclo.
Nel mio caso però il problema è più complesso perchè il potenziale che uso è della forma:
U(r)=e*V0*a/r*exp(-(r-a)/lD)
dove e,V0,a e lD sono tutte costanti. Sostanzialmente è lo stesso potenziale di prima moltiplicato per un esponenziale negativo.
Quello che mi interessa capire è che forma avrà l'orbita con il potenziale sopraccitato nel caso di energia totale negativa. Ellisse perfetta? Altra traietoria chiusa? Traiettoria che non si chiuderà mai? L'unica certezza che ho è che la soluzione non deve divergere perchè l'energia totale e il momento angolare si conservano!
Dal momento che quando si deriva il potenziale con l'esponenziale ci si trova a dover risolvere l'equazione differenziale:
d^2(r)/dt^2=M^2/(m*r^3)+e*V0*a/(m*r)*exp(-(r-a)/lD)*(1/r+1/lD)
che non è proprio una passeggiata, ho pensato di integrare il tutto numericamente.
L'algoritmo che ho usato è simplettico del 4° ordine (significa che conserva alla perfezione l'energia). So che tutte le soluzioni numeriche di problemi che coinvolgono potenziali centrali hanno problemi nel predirre in modo corretto la traiettoria, quindi ho fatto un'analisi al variare dello step temporale. Per confermare la consistenza dell'algoritmo ho cominciato con il caso classico del potenziale 1/r.
Il risultato è quello che potete vedere nella prima figura:
Come si nota, nel caso dello step temporale più lungo, la traiettoria non è un'ellisse perfetta, ma appena si diminuisce lo step (l'ho diviso per 10) si converge verso la soluzione esatta (se si ingrandisce parecchio si nota che la traiettoria non è ancora perfetta, ma la convergenza è chiara) [NDR alla riduzione del passo temporale corrisponde un'aumento del numero di passi in modo tale da mantenere il tempo totale di simulazione costante].
A questo punto ho mantenuto tutto l'algoritmo uguale e ho cambiato solo il potenziale.
Quello che ottengo è nella figura sottostante:
Con lo step temporale più lungo si ottiene una figura "elliptical-like" che non si chiude. Mi aspettavo che riducendo il passo temporale sarei converso verso un'ellisse, invece, dividendolo per 10 mi muovo poco, e dividendolo per 20 mi trovo nella stessa situazione del passo temporale diviso per 10. Questo mi fa pensare (motivatamente) che vi sia convergenza verso una soluzione che è diversa come forma da quella del potenziale 1/r [NDR: il risultato del passo temporale intermedio quasi non si vede perchè è praticamente identico a quello del passo temporale più corto che lo copre].
dal momento che l'algoritmo che sto usando è del 4° ordine, una riduzione del passo temporale di 20 volte dovrebbe portare ad una riduzione dell'errore nell'ordine di 10^5 volte.
Vorrei sentire il vostro parere e capire se la soluzione che ho ottenuto ha senso o c'è qualcosa sotto.
Thanks
Risposte
Ciao!
Dovrebbe esserci un "test" abbastanza semplice per vedere se la tua traiettoria, oltre che essere limitata, e compresa tra un raggio minimo ed un raggio massimo è anche chiusa o se viceversa per t->+00 ricopre completamente l'anello circolare compreso tra rmin ed rmax, direi che se scriviamo l'equazione della conservazione dell'energia come $E=U(r)+(M^2)/(2*m+r^2)$ dove $ M=m*(r^2)*omega$ è il momento angolare, che è una costante del moto, se si fa l'integrale $2*int_(rmin)^(rmax) (M/r^2dr)/sqrt(2*m*(E-(U(r))-M^2/r^2) $ che rappresenta la variazione di angolo iniziale dopo una singola orbita, de questo viene una frazione razionale di $2*pi$ cioè nella forma $2*pi*m/n$ con $m$ ed $n$ numeri interi allora la tua traiettoria è chiusa, cioè dopo $n$ ripetizioni del periodo il raggio vettore avrà fatto m giri e ritorna nel punto iniziale, mentre se l'integrale di cui sopra non è una frazione razionale la traiettoria riempirà tutta la corona circolare compre tra rmin ed rmax. Questo è quanto c'è scritto sul Landau.
L'integrale è un po ostico, ma mi risulta che i metodi numerici per risolvere gli integrali siano più efficaci di quelli di integrazione.
Ciao Ciao.
Dovrebbe esserci un "test" abbastanza semplice per vedere se la tua traiettoria, oltre che essere limitata, e compresa tra un raggio minimo ed un raggio massimo è anche chiusa o se viceversa per t->+00 ricopre completamente l'anello circolare compreso tra rmin ed rmax, direi che se scriviamo l'equazione della conservazione dell'energia come $E=U(r)+(M^2)/(2*m+r^2)$ dove $ M=m*(r^2)*omega$ è il momento angolare, che è una costante del moto, se si fa l'integrale $2*int_(rmin)^(rmax) (M/r^2dr)/sqrt(2*m*(E-(U(r))-M^2/r^2) $ che rappresenta la variazione di angolo iniziale dopo una singola orbita, de questo viene una frazione razionale di $2*pi$ cioè nella forma $2*pi*m/n$ con $m$ ed $n$ numeri interi allora la tua traiettoria è chiusa, cioè dopo $n$ ripetizioni del periodo il raggio vettore avrà fatto m giri e ritorna nel punto iniziale, mentre se l'integrale di cui sopra non è una frazione razionale la traiettoria riempirà tutta la corona circolare compre tra rmin ed rmax. Questo è quanto c'è scritto sul Landau.
L'integrale è un po ostico, ma mi risulta che i metodi numerici per risolvere gli integrali siano più efficaci di quelli di integrazione.
Ciao Ciao.
Interessante!
Mi piacerebbe sapere da cosa deriva il potenziale in esame.
Per quanto riguarda la periodicità della soluzione temo però di dover smentire i buoni propositi di GIOVANNI. Il suo procedimento è infatti ineccepibile (chi potrebbe criticare Landau ?) ma applicabile solo nel caso in cui l'integrale si possa risolvere analiticamente. Nel caso di soluzione numerica non vedo il modo di stabilire se il rapporto con una quantità trascendente ($\pi$) sia un numero razionale o meno.
Da mere considerazioni probabilistiche azzarderei una traiettoria aperta.
E' veramente importante sapere se la traiettoria è periodica?
ciao a tutti
Mi piacerebbe sapere da cosa deriva il potenziale in esame.
Per quanto riguarda la periodicità della soluzione temo però di dover smentire i buoni propositi di GIOVANNI. Il suo procedimento è infatti ineccepibile (chi potrebbe criticare Landau ?) ma applicabile solo nel caso in cui l'integrale si possa risolvere analiticamente. Nel caso di soluzione numerica non vedo il modo di stabilire se il rapporto con una quantità trascendente ($\pi$) sia un numero razionale o meno.
Da mere considerazioni probabilistiche azzarderei una traiettoria aperta.
E' veramente importante sapere se la traiettoria è periodica?
ciao a tutti
No, non è di importanza fondamentale, però sarebbe bello avere una trattazione non puramente numerica. E' sempre bello poter supportare un risultato numerico con una motivazione fisica!
Il potenziale è quello che ottieni se immergi una carica in un conduttore. lD è la cosiddetta Debye length, ossia la dimensione caratteristica dello shielding.
Nel mio caso il mezzo conduttore è un gas ionizzato (plasma) e la carica è quella dovuta ad una particella immersa in esso. Le traiettorie sono quelle di uno ione che si trova nel campo generato dalla particella con un'energia totale negativa. Ovviamente le traiettorie che ti ho mostrato trascurano le collisioni che invece vengono considerate in un altro programma che ho scritto (ma che è ordini di grandezza più complicato). L'analisi delle traiettorie mi serve per poter analizzare un'effetto nascosto del programma più completo.
Il potenziale è quello che ottieni se immergi una carica in un conduttore. lD è la cosiddetta Debye length, ossia la dimensione caratteristica dello shielding.
Nel mio caso il mezzo conduttore è un gas ionizzato (plasma) e la carica è quella dovuta ad una particella immersa in esso. Le traiettorie sono quelle di uno ione che si trova nel campo generato dalla particella con un'energia totale negativa. Ovviamente le traiettorie che ti ho mostrato trascurano le collisioni che invece vengono considerate in un altro programma che ho scritto (ma che è ordini di grandezza più complicato). L'analisi delle traiettorie mi serve per poter analizzare un'effetto nascosto del programma più completo.
Non saprei, io sono abbastanza ignorante in termini di proprietà dei numeri, ma penso che se si raggiunte una buona precisione, verificabile con le stime dell'errore numerico, si possa verificare se questo numero sia simile ad una frazione razionale, magari utilizzando quelle function di mathematica o di matlab che trasformano il numero nella frazione, se questa esiste...
Boh, forse ho detto una stupidaggine...
Boh, forse ho detto una stupidaggine...
Non credo che tu abbia detto una stupidata. Nelle vacanze lo proverò. Se ne uscirà qualcosa di buono ti farò sapere.
In un intorno di un numero reale esistono infiniti razionali e infiniti irrazionali, credo proprio che per dire che è razionale dobbiamo conoscerlo con esattezza
Ok, immaginavo, ma se io calcolo l'integrale con un passo di discretizzazione pari ad $a$ e trovo un numero $b$, poi rifaccio lo stesso integrale, ma con un passo di discretizzazione pari ad $a/100$ e mi viene fuori lo stesso numero $b$, allora posso ragionevolmente supporre di essere arrivato a convergenza, giusto?
sei fortunato Marco 
sono freschissimo di questo argomento.
proprio la settimana scorsa il mio esercitatore di meccanica disse di ricordare bene che in un campo centrale gli unici potenziali per cui tutti i moti confinati determinano traiettorie chiuse sono i potenziali proporzionali a 1/r o r^2. (l'affermazione non fu dimostrata (e non ho idea di come questo si possa fare), ma penso proprio di potermi fidare)
sono freschissimo di questo argomento.proprio la settimana scorsa il mio esercitatore di meccanica disse di ricordare bene che in un campo centrale gli unici potenziali per cui tutti i moti confinati determinano traiettorie chiuse sono i potenziali proporzionali a 1/r o r^2. (l'affermazione non fu dimostrata (e non ho idea di come questo si possa fare), ma penso proprio di potermi fidare)
Bene, se così è possiamo essere contenti e dire di avver risolto una parte del problema proposto da Marco...ma esiste una dimostrazione del fatto che tali potenziali sono gli UNICI che danno luogo a traiettorie chiuse o esiste solo la dimostrazione che questi potenziali danno traiettorie chiuse?
"Marco83":
No, non è di importanza fondamentale, però sarebbe bello avere una trattazione non puramente numerica. E' sempre bello poter supportare un risultato numerico con una motivazione fisica!
Il potenziale è quello che ottieni se immergi una carica in un conduttore. lD è la cosiddetta Debye length, ossia la dimensione caratteristica dello shielding.
Nel mio caso il mezzo conduttore è un gas ionizzato (plasma) e la carica è quella dovuta ad una particella immersa in esso. Le traiettorie sono quelle di uno ione che si trova nel campo generato dalla particella con un'energia totale negativa. Ovviamente le traiettorie che ti ho mostrato trascurano le collisioni che invece vengono considerate in un altro programma che ho scritto (ma che è ordini di grandezza più complicato). L'analisi delle traiettorie mi serve per poter analizzare un'effetto nascosto del programma più completo.
Interessante, interessante!
Non vorrei ripartire con le solite questioni filosofiche, tuttavia non capisco perchè una soluzione in forma chiusa dovrebbe essere più fisica di una in forma numerica. E' sicuramente più concisa, elegante e accurata, ma certo non più significativa dal punto di vista fisico.
Tieni conto che stai idealizzando molto il problema e che la soluzione che cerchi è quella del modello semplificato, poi ci sono tutti i distrurbi da mettere in conto (e in questo caso non mi sembrano piccoli).
Facciamo un'ipotesi: che la traiettoria sia periodica con rapporto (ottenuto numericamente) $n/m$ pari a 1.4142. Questo significa che dopo un bel po' di giri la traiettoria ritorna su se stessa. Se la soluzione 'esatta' fosse stata $\sqrt 2$ non credo che la traiettoria (a questo punto non chiusa) sarebbe molto diversa dal punto di vista fisico.
Tieni conto infine che appena metti nel modello la resistenza del mezzo (che mi sembra necessaria per descrivere il tuo problema), tutto questo discorso perde di senso perchè la traiettoria non può essere chiusa per il I principio della TD.
Per quanto riguarda l'aspetto matematico della dimostrazione, concordo con nnsoxche che la questione della perfetta periodicità non sia risolvibile in forma numerica.
Sul fatto che solo per quei potenziali si abbia periodicità, sono un po' scettico dato che vi sono pur sempre infiniti numeri razionali $n/m$ (per quanto con la sola potenza del numerabile) ma non conosco dimostrazioni in tal senso (ne in quello opposto).
ciao a tutti
Allora, ci sono un paio di precisazioni da fare:
- l'ottenere una soluzione in forma chiusa è al di la delle mie richieste in quanto ti voglio vedere ad integrare l'equazione che ho scritto sopra
- il mio dubbio principale era: è possibile che un corpo in moto sotto l'azione di un campo centrale compia non solo rivoluzioni in un orbita ellittica (o quasi ellittica) ma anche un drift angolare? Questa domanda corrisponde sostanzialmente al chiedersi se la traiettoria è chiusa.
- il mio dubbio era del tutto personale. Mi serviva a colmare il gap tra il mio gut feeling che mi portava ad aspettarmi una soluzione con traiettoria più semplice e la soluzione numerica che dal punto di vista computazionale mi sembra corretta.
- ogni volta che uno ottiene una soluzione con un metodo numerico dovrebbe chiedersi: come faccio a sapere se è giusta? Io sono convinto che si debba sempre cercare di dare un'interpretazione dei risultati ottenuti per via matematico/numerica, altrimenti si rischia di convincersi di castronerie solo perchè escono da un computer.
- la resistenza del mezzo non ci va se trascuri le collisioni. Dal momento che lD è una dimensione paragonabile con il mean free path degli ioni, per buona parte del loro moto essi si muoveranno liberi da qualsiasi effetto esterno.
- questa è un'estrema schematizzazione del problema. Se mi mettessi a spiegare il problema intero non andremmo a casa più. Anzi, nel 2007 i risultati dello studio completo verranno pubblicati (spero di riuscire ad entrare su physical review letters). Prometto di mandare una copia del paper a chi è interessato.
- l'ottenere una soluzione in forma chiusa è al di la delle mie richieste in quanto ti voglio vedere ad integrare l'equazione che ho scritto sopra
- il mio dubbio principale era: è possibile che un corpo in moto sotto l'azione di un campo centrale compia non solo rivoluzioni in un orbita ellittica (o quasi ellittica) ma anche un drift angolare? Questa domanda corrisponde sostanzialmente al chiedersi se la traiettoria è chiusa.
- il mio dubbio era del tutto personale. Mi serviva a colmare il gap tra il mio gut feeling che mi portava ad aspettarmi una soluzione con traiettoria più semplice e la soluzione numerica che dal punto di vista computazionale mi sembra corretta.
- ogni volta che uno ottiene una soluzione con un metodo numerico dovrebbe chiedersi: come faccio a sapere se è giusta? Io sono convinto che si debba sempre cercare di dare un'interpretazione dei risultati ottenuti per via matematico/numerica, altrimenti si rischia di convincersi di castronerie solo perchè escono da un computer.
- la resistenza del mezzo non ci va se trascuri le collisioni. Dal momento che lD è una dimensione paragonabile con il mean free path degli ioni, per buona parte del loro moto essi si muoveranno liberi da qualsiasi effetto esterno.
- questa è un'estrema schematizzazione del problema. Se mi mettessi a spiegare il problema intero non andremmo a casa più. Anzi, nel 2007 i risultati dello studio completo verranno pubblicati (spero di riuscire ad entrare su physical review letters). Prometto di mandare una copia del paper a chi è interessato.
"Marco83":
Allora, ci sono un paio di precisazioni da fare:
1 l'ottenere una soluzione in forma chiusa è al di la delle mie richieste in quanto ti voglio vedere ad integrare l'equazione che ho scritto sopra
2 il mio dubbio principale era: è possibile che un corpo in moto sotto l'azione di un campo centrale compia non solo rivoluzioni in un orbita ellittica (o quasi ellittica) ma anche un drift angolare? Questa domanda corrisponde sostanzialmente al chiedersi se la traiettoria è chiusa.
3 il mio dubbio era del tutto personale. Mi serviva a colmare il gap tra il mio gut feeling che mi portava ad aspettarmi una soluzione con traiettoria più semplice e la soluzione numerica che dal punto di vista computazionale mi sembra corretta.
4 ogni volta che uno ottiene una soluzione con un metodo numerico dovrebbe chiedersi: come faccio a sapere se è giusta? Io sono convinto che si debba sempre cercare di dare un'interpretazione dei risultati ottenuti per via matematico/numerica, altrimenti si rischia di convincersi di castronerie solo perchè escono da un computer.
5 la resistenza del mezzo non ci va se trascuri le collisioni. Dal momento che lD è una dimensione paragonabile con il mean free path degli ioni, per buona parte del loro moto essi si muoveranno liberi da qualsiasi effetto esterno.
6 questa è un'estrema schematizzazione del problema. Se mi mettessi a spiegare il problema intero non andremmo a casa più. Anzi, nel 2007 i risultati dello studio completo verranno pubblicati (spero di riuscire ad entrare su physical review letters). Prometto di mandare una copia del paper a chi è interessato.
In effetti le tue precisasioni mi sembrano più di un paio
Comunque:
1) Mi riferivo al più semplice integrale di GIOVANNI e non all'intera eq. diff.
2) Questa domanda è un po' diversa dall'originale. Non si può escludere infatti che vi siano orbite chiuse con drift angolare
3) OK
4) Il discorso vale anche per le soluzioni analitiche
5) Siamo d'accordo, ma le collisioni rendono inevitabilmente aperta la traiettoria, per cui, siccome ci sono, la verifica sperimentale delle tue previsioni ne sarà affetta.
6) Mi piacerebbe leggere l'articolo quando sarà finito. In bocca al lupo per il completamento e per la sua accettazione.
ciao
"mirco59":
Mi piacerebbe leggere l'articolo quando sarà finito. In bocca al lupo per il completamento e per la sua accettazione.
Anche da parte mia
1) ok
2) è vero, comunque il punto è capire se è fisicamente possibile, e mi sembra che lo sia.
4) ovviamente, ma con una soluzione analitica è generalmente più facile risalire alle ragioni fisiche
5) non a caso ho scritto un programma che ne tiene conto. Ci ho messo 6 mesi a pensarlo, scriverlo e farne il debug e una run di 30 microsecondi prende 1 giorno di calcoli su una macchina Unix core duo. Come puoi capire, forse è meglio che non mi metta a spiegare il tutto... P.S. se abbassi la pressione a sufficienza le collisioni non contano più: http://www.physics.ucla.edu/plasma-exp/Beam/
2) è vero, comunque il punto è capire se è fisicamente possibile, e mi sembra che lo sia.
4) ovviamente, ma con una soluzione analitica è generalmente più facile risalire alle ragioni fisiche
5) non a caso ho scritto un programma che ne tiene conto. Ci ho messo 6 mesi a pensarlo, scriverlo e farne il debug e una run di 30 microsecondi prende 1 giorno di calcoli su una macchina Unix core duo. Come puoi capire, forse è meglio che non mi metta a spiegare il tutto... P.S. se abbassi la pressione a sufficienza le collisioni non contano più: http://www.physics.ucla.edu/plasma-exp/Beam/
Stai facendo una DNS di un plasma?
Posso chiederti come si giustifica un potenziale di quel tipo?
Posso chiederti come si giustifica un potenziale di quel tipo?
No, niente Direct Navier Stokes, io uso un metodo Self Consistent Direct Monte Carlo, che è ancora più pesante dal punto di vista numerico. Sostanzialmente è come un molecular dynamics ma l'interazione tra le varie particelle non avviene calcolando le forze ma attraverso l'integrazione dell'equazione di Poisson per il campo elettrico. Inoltre le collisioni sono trattate in modo statistico.
Il fatto è che le equazioni di Navier Stokes partono dall'ipotesi del continuo, mentre quello che voglio modellare io è un fenomeno discreto.
Vediamo se riesco a darti un feeling della ragione di un tale potenziale. Tu sai che il potenziale generato da una carica nello spazio va come 1/r. Adesso pensa di avere sempre la stessa carica ma non più nel vuoto, bensì in un mezzo conduttore. Ovviamente, data la natura del mezzo, la carica verrà schermata. Il punto è che la schermatura avviene in uno spazio finito, che nel caso di un plasma diventa importante. Il fattore exp(-r/lD) è li proprio a rappresentare la schermatura della carica da parte del mezzo. I tutto è ricavabile matematicamente, ma la dimostrazione è un attimino pesante.
In realtà nel mio programma il potenziale non ha una formulazione analitica; data la posizione degli ioni e una certa forma della electron distribution, integro ricorsivamente l'equazione di Poisson e ottengo il potenziale. Questo viene ripetuto ad ogni step temporale, da qui l'aggettivo self consistent. Il fatto è che in alcuni semplici casi, il potenziale che ho scritto è una buona approssimazione di quello che si ottiene.
Il fatto è che le equazioni di Navier Stokes partono dall'ipotesi del continuo, mentre quello che voglio modellare io è un fenomeno discreto.
Vediamo se riesco a darti un feeling della ragione di un tale potenziale. Tu sai che il potenziale generato da una carica nello spazio va come 1/r. Adesso pensa di avere sempre la stessa carica ma non più nel vuoto, bensì in un mezzo conduttore. Ovviamente, data la natura del mezzo, la carica verrà schermata. Il punto è che la schermatura avviene in uno spazio finito, che nel caso di un plasma diventa importante. Il fattore exp(-r/lD) è li proprio a rappresentare la schermatura della carica da parte del mezzo. I tutto è ricavabile matematicamente, ma la dimostrazione è un attimino pesante.
In realtà nel mio programma il potenziale non ha una formulazione analitica; data la posizione degli ioni e una certa forma della electron distribution, integro ricorsivamente l'equazione di Poisson e ottengo il potenziale. Questo viene ripetuto ad ogni step temporale, da qui l'aggettivo self consistent. Il fatto è che in alcuni semplici casi, il potenziale che ho scritto è una buona approssimazione di quello che si ottiene.
Ok! Thanks a lot!
Io mi sono occupato di DNS e LES per modelli di combustione, per fiamme laminari e turbolente, in regime di pre mixed combustion e in regime di diffusion combustion....
Io mi sono occupato di DNS e LES per modelli di combustione, per fiamme laminari e turbolente, in regime di pre mixed combustion e in regime di diffusion combustion....
Scusa Marco ma hai cambiato dipartimento? Sei passato a fisica o ad ingegneria nucleare?
No, sempre ingegneria meccanica.
Ah...
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