Moto elicoidale
Ciao a tutti, ho bisogno di chiarimenti riguardanti la meccanica classica.
Per ogni sistema rigido libero nello spazio tridimensionale sappiamo che i gradi di libertà sono 6, ma
se sappiamo che è in moto rigido allora dobbiamo considerare le equazioni del moto elicoidale:
$\{(x = Rcos(\omega t + \theta_0)),(y = Rsen(\omega t + \theta_0)),(z = z(t)):}$
e questo significa che $x$ e $y$ non sono più indipendenti, quindi esiste un vincolo bilaterale descritto attraverso
l'equazione della circonferenza. La traslazione del sistema può avvenire solo lungo l'asse $z$, quindi viene da
pensare che i vincoli sono in tutto due, ma non ne sono convinto. C'è qualcosa che mi sfugge?
Grazie in anticipo
Per ogni sistema rigido libero nello spazio tridimensionale sappiamo che i gradi di libertà sono 6, ma
se sappiamo che è in moto rigido allora dobbiamo considerare le equazioni del moto elicoidale:
$\{(x = Rcos(\omega t + \theta_0)),(y = Rsen(\omega t + \theta_0)),(z = z(t)):}$
e questo significa che $x$ e $y$ non sono più indipendenti, quindi esiste un vincolo bilaterale descritto attraverso
l'equazione della circonferenza. La traslazione del sistema può avvenire solo lungo l'asse $z$, quindi viene da
pensare che i vincoli sono in tutto due, ma non ne sono convinto. C'è qualcosa che mi sfugge?
Grazie in anticipo
Risposte
E si, i parametri sono due ma se consideri l'asse fisso. Se invece l'asse si muove, addio.
Per parametri intendi i vincoli?
Cioè se l'asse è fisso, e quindi il moto è solo rotatorio, i gradi di libertà sono 4?
Cioè se l'asse è fisso, e quindi il moto è solo rotatorio, i gradi di libertà sono 4?
No, intendo i parametri lagrangiani. Se hai un moto elicoidale con asse fisso secondo me sono due: un angolo e una posizione sull'asse.
Ok, quindi dato che i parametri lagrangiani sono 2 allora dobbiamo avere 4 vincoli ognuno descritto
da un' equazione. Uno di questi limita la traiettoria dei punti: $x^2+y^2=R^2$. Ma in che modo posso
esprimere gli altri?
Quando l' asse (supponendo che sia sempre z) è fisso, sia $\hat k$ il versore ad esso associato, risulta
$\frac{d \hat k}{dt}=0$ rispetto al sistema di riferimento assoluto. Quest' ultima equazione può essere
coinsiderata come l' espressione del vincolo?
Grazie ancora
da un' equazione. Uno di questi limita la traiettoria dei punti: $x^2+y^2=R^2$. Ma in che modo posso
esprimere gli altri?
Quando l' asse (supponendo che sia sempre z) è fisso, sia $\hat k$ il versore ad esso associato, risulta
$\frac{d \hat k}{dt}=0$ rispetto al sistema di riferimento assoluto. Quest' ultima equazione può essere
coinsiderata come l' espressione del vincolo?
Grazie ancora
Hmmm... Ma è tanto importante conoscere esplicitamente le equazioni dei vincoli? Perché a me verrebbe da dire: "abbiamo trovato i parametri lagrangiani, quindi possiamo descrivere completamente il moto del sistema, e del resto ce ne freghiamo".
Però forse a te occorre fare un discorso di reazioni vincolari e quindi non ce ne possiamo fregare. In questo caso occorre cominciare col dare parametri lagrangiani per il sistema svincolato, dal momento che le equazioni dei vincoli saranno espresse in termini di quest'ultimi. Per esempio se prendi come parametri lagrangiani svincolati la posizione di un punto (giacente sull'asse di rotazione) e i tre angoli di Eulero scelti opportunamente, le equazioni del vincolo saranno
\[\text{due dei tre angoli di Eulero}=0.\]
Però forse a te occorre fare un discorso di reazioni vincolari e quindi non ce ne possiamo fregare. In questo caso occorre cominciare col dare parametri lagrangiani per il sistema svincolato, dal momento che le equazioni dei vincoli saranno espresse in termini di quest'ultimi. Per esempio se prendi come parametri lagrangiani svincolati la posizione di un punto (giacente sull'asse di rotazione) e i tre angoli di Eulero scelti opportunamente, le equazioni del vincolo saranno
\[\text{due dei tre angoli di Eulero}=0.\]
Non mi sembra immediato capire quanti parametri lagrangiani occorrono, per questo preferisco come
primo passo individuare i vincoli che entrano in gioco.
Comunque non sono ancora arrivato a studiare le reazioni vincolari e angoli di Eulero, immagino che
conviene tornare sull' argomento in seguito
primo passo individuare i vincoli che entrano in gioco.
Comunque non sono ancora arrivato a studiare le reazioni vincolari e angoli di Eulero, immagino che
conviene tornare sull' argomento in seguito
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