Moto di una trottola
La trottola ruota intorno al suo un asse di simmetria $\vec a$ con velocità angolare $\vec omega$
L'asse di rotazione della trottola è inclinato di un certo angolo rispetto alla verticale. Al centro di massa è applicata la forza peso. Ovviamente il piano d'appoggio esercita una reazione vincolare, io vi chiedo perchè ha quella direzione del disegno? Si sposta quel vettore di direzione? la reazione vincolare non dovrebbe essere sempre normale al piano d'appoggio? Comunque dovrebbe avere due componenti, una normale e una orizzontale? questa parallela al piano d'appoggio?
E' giusto dire che siccome la trottola ruota attorno ad un asse di simmetria, esso è un asse principale di inerzia e che il momento angolare rispetto ad $vec a$ è parallelo all velocità angolare? $b_a = I_a\ \omega$
L'equazione della dinamica sarebbe $\vec P + \vec R = m\ \vec \a_C$ il tutto considerato al centro di massa e $vec M_O^((e)) = (d\vec b_O) / dt$
Ora la prima si deve proiettare lungo la normale e la tangente e la seconda lungo un asse orizzontale ortogonale all'asse $\vec a$
Quello che mi chiedo è se la forza perso e la reazione normale sono applicati in punti diversi come si può dire:
$- mg + R_N = m\ a_{\bb vert} $ ?
poi $R_{\tau} = m\ a_{\bb o\rizz} $ cioè orizzontale e la seconda equazione sarebbe $m\ g\ h\ \sin \theta = ((db_O) / dt)_{o\rizz}$
Ora $db_a = b_a\ \sin \theta * \omega_p \dt = M_O^((e)) \dt $ e ci sarei in questo passaggio se non per il fatto che per lui il momento angolare rispetto all'asse $vec a$ sia uguale al momento polare rispetto ad $O$!
e perchè sarebbe $db_a = b_a\ \sin \theta * \omega_p \dt = M_O^((e)) \dt = m\ g\ h\ \sin\ \theta\ \dt$ da cui $w_p = (\m\ g\ \h) / (I_a\ w)$ ma non capisco perchè
$R_{\tau} = m\ \omega_p^2\ h\ \sin\ \theta$
Però efftivamente è vero se aumento la velocità angolare della trottola, quella di precessione tende a diminuire, non ondeggia in pratica...no?
Grazie mille
Risposte
Intanto spero che il tuo prof lo chiami giroscopio e non trottola.
Chiaro*, ma chi è che ha fatto quel disegno ?
L'hai copiato bene ?
*: in realtà il pavimento esercita anche un vincolo parallelo ad esso, ma bisogna capire da dove viene. Copiare e basta serve a niente.
Ahi.... Smaug, con questo esercizio non ne usciamo vivi.
Poi devi finire gli altri !!!
Tu vai su cose più complesse senza capire bene quelle più semplici.
la reazione vincolare non dovrebbe essere sempre normale al piano d'appoggio?
Chiaro*, ma chi è che ha fatto quel disegno ?
L'hai copiato bene ?
*: in realtà il pavimento esercita anche un vincolo parallelo ad esso, ma bisogna capire da dove viene. Copiare e basta serve a niente.
Ahi.... Smaug, con questo esercizio non ne usciamo vivi.
Poi devi finire gli altri !!!
Tu vai su cose più complesse senza capire bene quelle più semplici.
"Quinzio":
Intanto spero che il tuo prof lo chiami giroscopio e non trottola.
la reazione vincolare non dovrebbe essere sempre normale al piano d'appoggio?
Chiaro*, ma chi è che ha fatto quel disegno ?
L'hai copiato bene ?
*: in realtà il pavimento esercita anche un vincolo parallelo ad esso, ma bisogna capire da dove viene. Copiare e basta serve a niente.
Ahi.... Smaug, con questo esercizio non ne usciamo vivi.
Poi devi finire gli altri !!!
Tu vai su cose più complesse senza capire bene quelle più semplici.
Questo non sarebbe proprio un esercizio, ma la teoria che il prof ha spiegato sulla trottola...il disegno è identico a quello del libro...Per quanto riguarda la reazione vincolare dice esattamente che: il piano d'appoggio esercita una reazione di componente normale e tangenziale, disegnate in quel modo...
Smaug questa cos'è: Fisica I o Fisica II ?
Il giroscopio l'avete visto ?
Il giroscopio l'avete visto ?
Fisica 1...si abbiamo visto anche il giroscopio...perchè me lo domani? 
Curiosità.
Comunque, qual è la formula fondamentale per il moto del giroscopio, quella della precessione ?
Comunque, qual è la formula fondamentale per il moto del giroscopio, quella della precessione ?
"Quinzio":
Curiosità.
Comunque, qual è la formula fondamentale per il moto del giroscopio, quella della precessione ?
In effetti non ce l'ha detto, ha parlato del giroscopio, delle sue applicazioni (serve ad esempio a permettere ad una telecamera presente su un elicottero di poter benissimo puntare non so, un ciclista sulla strada, senza che si vedano immagini mosse, ecc ecc ma non l'ho capito benissimo il motivo..)
E poi ha detto che se il momento delle forze esterne è nullo,il momento della quantità di moto è costante (EDIT), cioè l'asse di rotazione manterrà invariata la propria direzione...
smaug:
Avrà detto che se il momento delle forze esterne è nullo, é costante " il momento della quantità di moto" , che in questo caso, essendo l'asse di rotazione un asse centrale di inerzia ( "centrale" vuol dire: asse principale di inerzia riferito al centro di massa) , è un vettore diretto come l'asse di rotazione, quindi collineare al vettore $\vec\omega$ .
In generale si ha :
$ \vecL = \vec\omega $ ----(1)
dove $$ è la matrice di inerzia : per fare nel caso generale il calcolo che dice la (1) , devi fare il prodotto "righe per colonne" della matrice $$ per il vettore-colonna $\omega = (\omega_x , \omega_y , \omega _z)^T $ ( T vuol dire : trasposta).
Nel caso in cui $$ è diagonale , con elementi della diagonale principale $ (I_1,I_2,I_3) $ , le tre componenti del vettore momento angolare sono : $ (L_1, L_2 , L_3) = (I_1\omega_1,I_2\omega_2,I_3omega_3)$ . Gli assi $(1,2,3)$ sono, ripeto, assi principali di inerzia per il punto nel quale passano i tre assi.
Nel caso del giroscopio, assunti tre assi di cui uno è quello attorno al quale lo faremo ruotare, e gli altri due passano per il cdm e sono perpendicolari all'asse di rotazione, la matrice è senz'altro diagonale, cioè sono diversi da zero solo i tre momenti di inerzia della diagonale principale, e anzi due di loro sono uguali essendo il corpo un giroscopio ( perciò, gli infiniti momenti di inerzia rispetto agli infiniti assi passanti per il cdm e perpendicolari all'asse di rotazione sono tutti uguali : tutti quest infiniti assi sono centrali di inerzia per il giroscopio) . Il terzo momento centrale ( quello rispetto all'asse di rotazione) può essere diverso, ma potrebbe anche essere uguale agli altri due.
Il giroscopio è messo in rotazione attorno all'asse che chiamiamo " asse 3" ( per ipotesi) . Quindi si ha semplicemente : $ L = I_3omega_3$ , ovvero si può anche eliminare il pedice 3 : $ L = I*omega$.
Il giroscopio è dotato di sospensione cardanica che gli consente di ruotare attorno al cdm il quale è "fisso" per l'osservatore inerziale. Ma ci interessa solo la rotazione attorno all'asse 3, per ora.
Se il momento delle forze esterne rispetto a quest'asse è nullo , il vettore $\vecL$ si conserva.
Questo ti ha detto il prof. E da qui vengono fuori le cose carine relative al giroscopio.
A proposito, smaug, ma hai capito che cosa sono in momenti principali di inerzia? Se non hai chiari certi concetti, non puoi affrontare argomenti dove quei concetti entrano prepotentemente. E mi fai solo arrabbiare il Quinzio, giustamente.
E poi ha detto che se il momento delle forze esterne è nullo, la quantità di moto è costante, cioè l'asse di rotazione manterrà invariata la propria direzione...
Avrà detto che se il momento delle forze esterne è nullo, é costante " il momento della quantità di moto" , che in questo caso, essendo l'asse di rotazione un asse centrale di inerzia ( "centrale" vuol dire: asse principale di inerzia riferito al centro di massa) , è un vettore diretto come l'asse di rotazione, quindi collineare al vettore $\vec\omega$ .
In generale si ha :
$ \vecL = \vec\omega $ ----(1)
dove $$ è la matrice di inerzia : per fare nel caso generale il calcolo che dice la (1) , devi fare il prodotto "righe per colonne" della matrice $$ per il vettore-colonna $\omega = (\omega_x , \omega_y , \omega _z)^T $ ( T vuol dire : trasposta).
Nel caso in cui $$ è diagonale , con elementi della diagonale principale $ (I_1,I_2,I_3) $ , le tre componenti del vettore momento angolare sono : $ (L_1, L_2 , L_3) = (I_1\omega_1,I_2\omega_2,I_3omega_3)$ . Gli assi $(1,2,3)$ sono, ripeto, assi principali di inerzia per il punto nel quale passano i tre assi.
Nel caso del giroscopio, assunti tre assi di cui uno è quello attorno al quale lo faremo ruotare, e gli altri due passano per il cdm e sono perpendicolari all'asse di rotazione, la matrice è senz'altro diagonale, cioè sono diversi da zero solo i tre momenti di inerzia della diagonale principale, e anzi due di loro sono uguali essendo il corpo un giroscopio ( perciò, gli infiniti momenti di inerzia rispetto agli infiniti assi passanti per il cdm e perpendicolari all'asse di rotazione sono tutti uguali : tutti quest infiniti assi sono centrali di inerzia per il giroscopio) . Il terzo momento centrale ( quello rispetto all'asse di rotazione) può essere diverso, ma potrebbe anche essere uguale agli altri due.
Il giroscopio è messo in rotazione attorno all'asse che chiamiamo " asse 3" ( per ipotesi) . Quindi si ha semplicemente : $ L = I_3omega_3$ , ovvero si può anche eliminare il pedice 3 : $ L = I*omega$.
Il giroscopio è dotato di sospensione cardanica che gli consente di ruotare attorno al cdm il quale è "fisso" per l'osservatore inerziale. Ma ci interessa solo la rotazione attorno all'asse 3, per ora.
Se il momento delle forze esterne rispetto a quest'asse è nullo , il vettore $\vecL$ si conserva.
Questo ti ha detto il prof. E da qui vengono fuori le cose carine relative al giroscopio.
A proposito, smaug, ma hai capito che cosa sono in momenti principali di inerzia? Se non hai chiari certi concetti, non puoi affrontare argomenti dove quei concetti entrano prepotentemente. E mi fai solo arrabbiare il Quinzio, giustamente.
"navigatore":
A proposito, smaug, ma hai capito che cosa sono in momenti principali di inerzia? Se non hai chiari certi concetti, non puoi affrontare argomenti dove quei concetti entrano prepotentemente. E mi fai solo arrabbiare il Quinzio, giustamente.
Un momento principale di inerzia dovrebbe essere un momento calcolato rispetto ad un asse di simmetria passante per il centro di massa? Se è così tuttavia non ho capito bene quando il sistema cambia da sè l'asse di rotazione, che diventa libero...insomma la parte sulla matrice d'inerzia, che parla di diagonalizzazione, anche se a geometria ancora non l'abbiamo fatta...
Dai un occhiata a questi 3 video
Forse ti chiarisci qualche dubbio.
Forse ti chiarisci qualche dubbio.
"smaug":
[quote="navigatore"]
A proposito, smaug, ma hai capito che cosa sono in momenti principali di inerzia? Se non hai chiari certi concetti, non puoi affrontare argomenti dove quei concetti entrano prepotentemente. E mi fai solo arrabbiare il Quinzio, giustamente.
Un momento principale di inerzia dovrebbe essere un momento calcolato rispetto ad un asse di simmetria passante per il centro di massa? Se è così tuttavia non ho capito bene quando il sistema cambia da sè l'asse di rotazione, che diventa libero...insomma la parte sulla matrice d'inerzia, che parla di diagonalizzazione, anche se a geometria ancora non l'abbiamo fatta...[/quote]
No, smaug, non è questa la definizione di "asse principale di inerzia" relativo ad un punto qualsiasi di un corpo solido, non solo il cdm.
Te lo spiego, ma non ora scusami, perchè ho degli impegni. Tra un pò, o forse stasera.
Se nel frattempo c'è qualcun altro che vuole intervenire, sia il benvenuto.
smaug,
comincia col dare un'occhiata a questa dispensa, l'ho guardata di sfuggita e mi sembra fatta bene.
Devi innazitutto renderti conto che qualsiasi corpo rigido, della forma più irregolare possibile ( pensa ad una patata per esempio) ha, in un suo qualsiasi punto, almeno tre momenti principali e quindi tre assi principali di inerzia, e questi esistono anche se il corpo non si muove.
Il momento di inerzia è una caratteristica geometro-meccanica di un sistema ( un corpo rigido è un sistema di punti materiali), che sussiste sempre.
L'argomento è importante, poi ci torneremo su per capire che importanza hanno, i momenti principali di inerzia e i relativi assi, ai fini del moto rotatorio.
Ciao
http://www.unibg.it/dati/corsi/208409/1 ... nerzia.pdf
comincia col dare un'occhiata a questa dispensa, l'ho guardata di sfuggita e mi sembra fatta bene.
Devi innazitutto renderti conto che qualsiasi corpo rigido, della forma più irregolare possibile ( pensa ad una patata per esempio) ha, in un suo qualsiasi punto, almeno tre momenti principali e quindi tre assi principali di inerzia, e questi esistono anche se il corpo non si muove.
Il momento di inerzia è una caratteristica geometro-meccanica di un sistema ( un corpo rigido è un sistema di punti materiali), che sussiste sempre.
L'argomento è importante, poi ci torneremo su per capire che importanza hanno, i momenti principali di inerzia e i relativi assi, ai fini del moto rotatorio.
Ciao
http://www.unibg.it/dati/corsi/208409/1 ... nerzia.pdf
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