Moto di una moneta in un pozzo conico
Ciao! Ho dei dubbi su questo problema.
Un pozzo a parete interna perfettamente liscia, anziché essere cilindrico è a forma di cono con la punta rivolta verso il basso. Il pozzo è profondo h e alla sommità ha raggio R. Una monetina è inizialmente tenuta ferma appoggiata alla parete interna del pozzo sulla sommità. Ad un certo punto viene lasciata scivolare lungo la parete del pozzo, con velocità iniziale V orizzontale (tangente al pozzo). Si determini la distanza minima alla quale la monetina si avvicina al fondo del pozzo.
Io l’ho risolto considerando che il momento angolare si conserva quindi
$L=mRVsen(90)=mRV$
$L=mrvsen(90)=mrv=mr^(2)w$
E quindi
$w=(RV)/r$
Poi se chiamiamo α l’ampiezza del cono ho uguagliato la forza peso parallela al lato del cono e la forza centripeta parallela al lato del cono e ho ottenuto
$r^(3)=((RV)^(2)*tg(α))/g$
e sapendo che $tg(α)=R/h$
$r^(3)=(R^(3)+V^(2))/hg$
A questo punto pensavo di trovare la distanza minima dal centro calcolando l’ipotenusa del triangolo rettangolo con un cateto pari a r e un angolo pari a α, ma non sono sicura che fino a qui la mia risoluzione sia giusta.
Potete aiutarmi?
Un pozzo a parete interna perfettamente liscia, anziché essere cilindrico è a forma di cono con la punta rivolta verso il basso. Il pozzo è profondo h e alla sommità ha raggio R. Una monetina è inizialmente tenuta ferma appoggiata alla parete interna del pozzo sulla sommità. Ad un certo punto viene lasciata scivolare lungo la parete del pozzo, con velocità iniziale V orizzontale (tangente al pozzo). Si determini la distanza minima alla quale la monetina si avvicina al fondo del pozzo.
Io l’ho risolto considerando che il momento angolare si conserva quindi
$L=mRVsen(90)=mRV$
$L=mrvsen(90)=mrv=mr^(2)w$
E quindi
$w=(RV)/r$
Poi se chiamiamo α l’ampiezza del cono ho uguagliato la forza peso parallela al lato del cono e la forza centripeta parallela al lato del cono e ho ottenuto
$r^(3)=((RV)^(2)*tg(α))/g$
e sapendo che $tg(α)=R/h$
$r^(3)=(R^(3)+V^(2))/hg$
A questo punto pensavo di trovare la distanza minima dal centro calcolando l’ipotenusa del triangolo rettangolo con un cateto pari a r e un angolo pari a α, ma non sono sicura che fino a qui la mia risoluzione sia giusta.
Potete aiutarmi?
Risposte
Direi che sei sulla strada giusta, non farei però considerazioni sulla forza centripeta (nel senso che non servono per rispondere al problema). Oltre alla conservazione del momento angolare puoi anche usare la conservazione dell'energia, puoi poi osservare che la quota minima sarà raggiunta quando l'energia cinetica della moneta sarà massima.
Per tua curiosità (non ha a che fare con quanto richiesto) qui avevo riportato le equazioni differenziali per ottenere la traiettoria (si riferiscono ad un cono con apertura di 90°) e qui trovi qualche immagine di traiettorie.
Per tua curiosità (non ha a che fare con quanto richiesto) qui avevo riportato le equazioni differenziali per ottenere la traiettoria (si riferiscono ad un cono con apertura di 90°) e qui trovi qualche immagine di traiettorie.
Ti suggerisco invece di usare la conservazione dell'energia, perché non ci sono attriti dunque l'energia totale si conserva.
Edit: scusa Faussone non ti avevo visto, non è mia intenzione pestarti i piedi!
Edit: scusa Faussone non ti avevo visto, non è mia intenzione pestarti i piedi!
"Falco5x":
Edit: scusa Faussone non ti avevo visto, non è mia intenzione pestarti i piedi!
Che dolore! Il mio povero piede! 
Figurati! Mica è un reato rispondere in più di uno (poi se le risposte coincidono non ci sono proprio problemi per chi legge)!
"Faussone":
[quote="Falco5x"]
Edit: scusa Faussone non ti avevo visto, non è mia intenzione pestarti i piedi!
Che dolore! Il mio povero piede! Figurati! Mica è un reato rispondere in più di uno (poi se le risposte coincidono non ci sono proprio problemi per chi legge)![/quote]La mia personale etichetta mi vieta di interferire, se non per precisare o evitare malintesi (e con te questa necessità non si presenta praticamente mai).
Comunque visto che sono qua vorrei dire a Pasina che spiegasse meglio come applica la conservazione del momento angolare (così tanto per vedere se ragiona giusto).
Per quanto riguarda la conservazione del momento angolare ho ragionato sul fatto che se il momento angolare si conserva allora se lo calcolo in cima al pozzo utilizzando raggio R e velocità V il risultato ottenuto deve essere uguale al momento angolare calcolato nel punto limite a cui arriva la monetina, dove il raggio r e la velocità v sono incognite.
Comunque ora ho capito come risolvere il problema utilizzando la conservazione dell'energia, grazie mille !
Comunque ora ho capito come risolvere il problema utilizzando la conservazione dell'energia, grazie mille !
"Pasina":
Per quanto riguarda la conservazione del momento angolare ho ragionato sul fatto che se il momento angolare si conserva allora se lo calcolo in cima al pozzo utilizzando raggio R e velocità V il risultato ottenuto deve essere uguale al momento angolare calcolato nel punto limite a cui arriva la monetina, dove il raggio r e la velocità v sono incognite.
Devi decidere quale sia il polo prima di dire che il momento angolare si conserva, e inoltre il polo deve essere un punto fisso. In questo caso quale polo hai scelto?
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