Moto di una carica in un campo elettrostatico
Ho un quarto di circonferenza di raggio R (esattamente se pongo l' origine degli assi con il centro della circonferenza il quarto di circonferenza è quello che si trova nel 3 quadrante).
Al centro della circonferenza è posta una carica Q2.
Sul quarto di circonferenza è distribuita uniformemente la carica Q1.
All' inizio la carica viene tenuta ferma, poi viene lasciata libera di muoversi.
Quale è la velocità della carica quando si trova a una distanza d dalla posizione iniziale?
Vorrei applicare il principio di conservazione dell' energia... Nel senso che la variazione di energia cinetica è uguale all' opposto della variazione dell' energia potenziale....
Ho calcolato la forza che agisce sulla carica quando si trova nell' origine. E la forza F ha direzione esattamente tale da formare un angolo di 45 gradi con l' asse delle x e quindi anche con quello delle y.
Quando la carica Q2 si trova a distanza d dalla posizione iniziale, si troverà a distanza d + R (è come se fosse nel centro di una circonferenza di raggio (R+d).
Calcolando il potenziale nel punto iniziale mi viene
Vi = ( Q1 / 4 R Pi e0)
Mentre nel punto finale
Vf = ( Q1 / 4 Pi (R+d) e0 )
Questo perchè ho una distribuzione uniforme sull' arco di circonferenza. ... (ma non so se è sbagliato questo calcolo del potenziale)..
La variazione di energia potenziale è pari a
DU = Q1 Q2 / 4Pie0 [1/(R+d) - 1 / R] =
= Q1 Q2 / 4Pie0 [ (R - R - d ) /(R+d)R ] =
= Q1 Q2 / 4 Pi e0 [- d / R(R+d) ]
- DU = Q1 Q2 / 4 Pi e0 [ d / R(R+d) ] = 1 /2 mvf^2
Da cui ricavo la velocità finale vf come radice di (Q1 Q2 2 ) / 4 m Pi e0 [ d / R(R+d) ]
Problema.... Nei dati del problema non mi da la massa m della carica Q2, quindi non posso calcolarla la velocità finale...
Esiste un' altro modo ??
Q1=10 nC, Q2=5nC, r=5 cm, d=20 m
Al centro della circonferenza è posta una carica Q2.
Sul quarto di circonferenza è distribuita uniformemente la carica Q1.
All' inizio la carica viene tenuta ferma, poi viene lasciata libera di muoversi.
Quale è la velocità della carica quando si trova a una distanza d dalla posizione iniziale?
Vorrei applicare il principio di conservazione dell' energia... Nel senso che la variazione di energia cinetica è uguale all' opposto della variazione dell' energia potenziale....
Ho calcolato la forza che agisce sulla carica quando si trova nell' origine. E la forza F ha direzione esattamente tale da formare un angolo di 45 gradi con l' asse delle x e quindi anche con quello delle y.
Quando la carica Q2 si trova a distanza d dalla posizione iniziale, si troverà a distanza d + R (è come se fosse nel centro di una circonferenza di raggio (R+d).
Calcolando il potenziale nel punto iniziale mi viene
Vi = ( Q1 / 4 R Pi e0)
Mentre nel punto finale
Vf = ( Q1 / 4 Pi (R+d) e0 )
Questo perchè ho una distribuzione uniforme sull' arco di circonferenza. ... (ma non so se è sbagliato questo calcolo del potenziale)..
La variazione di energia potenziale è pari a
DU = Q1 Q2 / 4Pie0 [1/(R+d) - 1 / R] =
= Q1 Q2 / 4Pie0 [ (R - R - d ) /(R+d)R ] =
= Q1 Q2 / 4 Pi e0 [- d / R(R+d) ]
- DU = Q1 Q2 / 4 Pi e0 [ d / R(R+d) ] = 1 /2 mvf^2
Da cui ricavo la velocità finale vf come radice di (Q1 Q2 2 ) / 4 m Pi e0 [ d / R(R+d) ]
Problema.... Nei dati del problema non mi da la massa m della carica Q2, quindi non posso calcolarla la velocità finale...
Esiste un' altro modo ??
Q1=10 nC, Q2=5nC, r=5 cm, d=20 m
Risposte
"Desirio":
... Quando la carica Q2 si trova a distanza d dalla posizione iniziale, si troverà a distanza d + R (è come se fosse nel centro di una circonferenza di raggio (R+d). ...
Direi proprio di no.
Boh secondo me la velocità finale dipende dalla massa e senza di quella non si riesce ad andare avanti, però non vorrei sbagliarmi...
A parte che, come è già stato detto, ovviamente senza la massa non se ne fa nulla, anche la determinazione del potenziale nel punto finale non funziona.
Nel punto iniziale la carica $Q_1$ si trova tutta a distanza $R$ quindi il potenziale $V_i = Q_1 / (4pi epsi_0 R $ va bene, ma spostandosi di una distanza $d$ il nuovo punto non è affatto il centro della circonferenza su cui sta $Q_1$, per cui l'espressione $V_f = Q_1/( 4 pi epsi_0 (R+d) ) $ non va (e quella giusta non è proprio così semplice)
Nel punto iniziale la carica $Q_1$ si trova tutta a distanza $R$ quindi il potenziale $V_i = Q_1 / (4pi epsi_0 R $ va bene, ma spostandosi di una distanza $d$ il nuovo punto non è affatto il centro della circonferenza su cui sta $Q_1$, per cui l'espressione $V_f = Q_1/( 4 pi epsi_0 (R+d) ) $ non va (e quella giusta non è proprio così semplice)
Quindi non esiste un modo per risolvere questo esercizio?
Io credevo che la carica si spostasse nel suo moto secondo una "retta" che congiunge il punto iniziale con il punto finale e che forma sempre un angolo di 45 gradi con l' asse x e y....
Forse c'è qualcosa che mi sfugge...
Io credevo che la carica si spostasse nel suo moto secondo una "retta" che congiunge il punto iniziale con il punto finale e che forma sempre un angolo di 45 gradi con l' asse x e y....
Forse c'è qualcosa che mi sfugge...
La massa è fondamentale...puoi chiamarla semplicemente $m$.
Se puoi scrivere la forza usando la forza di Lorentz, (e/c (E+vxB)), senza usare masse, è la massa che decide quanto impulso viene trasferito alla carica.
Il tuo procedimento mi pare esatto, eccetto che per il calcolo del potenziale a distanza R+d. La distanza tra la carica e una carichetta dq posta ad angolo $\alpha$ rispetto all'asse di simmetria del sistema non è più indipendente da $\alpha$. Volendo calcolare il potenziale a distanza R+d, puoi usare (Q è il generico punto del quarto di circonferenza, P è il punto posto a distanza R+d)
$\vec{ PQ} =\vec {PO} + \vec {OQ}$
Quindi la distanza ad angolo $\alpha$ sarebbe
$ |\vec{PQ}| = \sqrt{|\vec{PO}|^2 + |\vec{OQ}|^2+2 |\vec{PO}|| \vec{OQ}| \sin\alpha} = \sqrt{d^2+R^2+2Rd\sin\alpha}$
Il potenziale sarebbe (buon conto)
$ V(R+d) = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{Rd\alpha \lambda}{\sqrt{d^2+R^2+2Rd\sin\alpha}}$
dove $\lambda$ è chiaramente la densità lineare di carica ($\lambda = 4Q_1/\pi$)
Se puoi scrivere la forza usando la forza di Lorentz, (e/c (E+vxB)), senza usare masse, è la massa che decide quanto impulso viene trasferito alla carica.
Il tuo procedimento mi pare esatto, eccetto che per il calcolo del potenziale a distanza R+d. La distanza tra la carica e una carichetta dq posta ad angolo $\alpha$ rispetto all'asse di simmetria del sistema non è più indipendente da $\alpha$. Volendo calcolare il potenziale a distanza R+d, puoi usare (Q è il generico punto del quarto di circonferenza, P è il punto posto a distanza R+d)
$\vec{ PQ} =\vec {PO} + \vec {OQ}$
Quindi la distanza ad angolo $\alpha$ sarebbe
$ |\vec{PQ}| = \sqrt{|\vec{PO}|^2 + |\vec{OQ}|^2+2 |\vec{PO}|| \vec{OQ}| \sin\alpha} = \sqrt{d^2+R^2+2Rd\sin\alpha}$
Il potenziale sarebbe (buon conto)
$ V(R+d) = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{Rd\alpha \lambda}{\sqrt{d^2+R^2+2Rd\sin\alpha}}$
dove $\lambda$ è chiaramente la densità lineare di carica ($\lambda = 4Q_1/\pi$)
"newton_1372":
... Quindi la distanza ad angolo $\alpha$ sarebbe
$ |\vec{PQ}| = \sqrt{|\vec{PO}|^2 + |\vec{OQ}|^2+2 |\vec{PO}|| \vec{OQ}| \sin\alpha} = \sqrt{d^2+R^2+2Rd\sin\alpha}$
Direi $\cos \alpha $.
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