Moto di un razzo
Voglio studiare il moto di un razzo.
Considero il sistema M razzo + m combustibile rimasto + m combustibile espulso. Fisso le notazioni.
$M$ = massa razzo
$m*$= massa iniziale combustibile
$m_e$ = massa combustibile espulso.
Ragionamento: $M+m*+m_e$ è sempre costante. Ciò mi legittima a poter scrivere
$\sum F_{ext} = (M+m*+m_e) a = d/(dt) Q$
Visto che non ci sono forze esterne, questo equivale a porre
$d/(dt) Q=0$
Scrivo la quantità di moto del sistema
$Q= (M*+m*-m_e)V-m_ev_e$
Derivo
$(dQ)/(dt)=M (dV)/(dt)+m*(dV)/(dt)-[(dm_e)/(dt) V+m_e (dV)/(dt)]-(dm_e)/(dt) v_e$
avendo considerato costante la velocità di espulsione.
Riordinando
$(dV)/(dt) (M+m*-m_e) - (dm_e)/(dt)(V+v_e)=0$
Da cui, dividendo per $(M+m*-m_e)(V+v_e)$ entrambi i membri e passando a secondo membro il secondo pezzo
$(dV)/(dt) 1/(V+v_e)=(dm_e)/(dt) 1/(M+m*-m_e)$
Integrando entrambi i membri nel tempo e applicando il teorema di integrazione per sostituzione otteniamo
$\int 1/(V+v_e) dV =-\int 1/(M+m*- m_e)dm_e$
IN questo modo comparirebbe un logaritmo in entrambi i membri, mentre io so che dovrebbe comparire solo in uno dei due.
Dove ho sbagliato?
Considero il sistema M razzo + m combustibile rimasto + m combustibile espulso. Fisso le notazioni.
$M$ = massa razzo
$m*$= massa iniziale combustibile
$m_e$ = massa combustibile espulso.
Ragionamento: $M+m*+m_e$ è sempre costante. Ciò mi legittima a poter scrivere
$\sum F_{ext} = (M+m*+m_e) a = d/(dt) Q$
Visto che non ci sono forze esterne, questo equivale a porre
$d/(dt) Q=0$
Scrivo la quantità di moto del sistema
$Q= (M*+m*-m_e)V-m_ev_e$
Derivo
$(dQ)/(dt)=M (dV)/(dt)+m*(dV)/(dt)-[(dm_e)/(dt) V+m_e (dV)/(dt)]-(dm_e)/(dt) v_e$
avendo considerato costante la velocità di espulsione.
Riordinando
$(dV)/(dt) (M+m*-m_e) - (dm_e)/(dt)(V+v_e)=0$
Da cui, dividendo per $(M+m*-m_e)(V+v_e)$ entrambi i membri e passando a secondo membro il secondo pezzo
$(dV)/(dt) 1/(V+v_e)=(dm_e)/(dt) 1/(M+m*-m_e)$
Integrando entrambi i membri nel tempo e applicando il teorema di integrazione per sostituzione otteniamo
$\int 1/(V+v_e) dV =-\int 1/(M+m*- m_e)dm_e$
IN questo modo comparirebbe un logaritmo in entrambi i membri, mentre io so che dovrebbe comparire solo in uno dei due.
Dove ho sbagliato?
Risposte
ciao newton, credo che l'errore stia nel fatto che in genere si considera costante la velocità di fuoriuscita del fluido RELATIVA al razzo, non quella assoluta.
A me non torna tanto questa ipotesi...scusa se faccio un pò "l'ingegnere", ma al razzo non può fregar di meno con che velocità sta andando, ci sono dei meccanismi interni che espellono il combustibile a una determinata velocità...o no?
Sì, infatti, stiamo dicendo la stessa cosa.
In genere si ipotizza che sia costante la velocità di fuoriuscita del fluido rispetto alle parti rigide del razzo, in altri termini la velocità del fluido che si vedrebbe stando seduti sul razzo. Quindi la velocità del fluido vista da terra NON è costante.
Queste due velocità si possono facilmente mettere in relazione.
In definitiva occorre correggere l'ultimo termine dell'espressione della quantità di moto che hai scritto, perché lì ci va il contributo della quantità di moto del fluido vista da terra.
In genere si ipotizza che sia costante la velocità di fuoriuscita del fluido rispetto alle parti rigide del razzo, in altri termini la velocità del fluido che si vedrebbe stando seduti sul razzo. Quindi la velocità del fluido vista da terra NON è costante.
Queste due velocità si possono facilmente mettere in relazione.
In definitiva occorre correggere l'ultimo termine dell'espressione della quantità di moto che hai scritto, perché lì ci va il contributo della quantità di moto del fluido vista da terra.
Ragazzi non mi riesce ancora il problema.
La quantità di moto del sistema è, come al solito
$(M+m-m_e)V +m_e v_e$ (1)
e vale la relazione
$v_e = v_r -V$
dove v_r è la velocità relativa (che suppongo costante.
Derivo e pongo uguale a 0:
$(M+m)\dot V-\dot m_e v_r=0$
Non dovrebbe assolutamente venire così: al primo pezzo dovrebbe venire la massa totale "restante" $(M+m-m_e)$ in modo da poter ottenere quel logaritmo...dove sbaglio?
La quantità di moto del sistema è, come al solito
$(M+m-m_e)V +m_e v_e$ (1)
e vale la relazione
$v_e = v_r -V$
dove v_r è la velocità relativa (che suppongo costante.
Derivo e pongo uguale a 0:
$(M+m)\dot V-\dot m_e v_r=0$
Non dovrebbe assolutamente venire così: al primo pezzo dovrebbe venire la massa totale "restante" $(M+m-m_e)$ in modo da poter ottenere quel logaritmo...dove sbaglio?
"newton_1372":
Ragazzi non mi riesce ancora il problema.
La quantità di moto del sistema è, come al solito
$(M+m-m_e)V +m_e v_e$ (1)
E' sbagliato perchè non c'è nessuna $v_e$. Ogni "pezzo" di materia o gas espulso ha una sua velocità.
Quando il razzo espelle il gas si può ipotizzare che lo espella a una velocità fissa, che non dipende dalla velocità del razzo.
La massa del razzo è $M+m-kt$ dove $k$ è la massa di gas espulso ogni secondo.
Quando espelle il gas a velocità $v_g$ il razzo riceve una forza $F = d/(dt)mv = vd/(dt)m+md/(dt)v = v_g\ k$
Quindi l'accelerazione del razzo è $a = (v_g\ k)/(M+m-kt)$.
Per trovare la velocità si integra $\int (v_g\ k)/(M+m-kt) = -v_g\ ln(M+m-kt)$
Ma non si era messi daccordo (vedi discussione F=ma opp. dp/dt) che la formula
$F=\dot p$ va usata solo in un sistema in cui la massa è costante?
$F=\dot p$ va usata solo in un sistema in cui la massa è costante?
Chi si era messo d'accordo ?
Va be...comunque hai applicato dP/dt al sistema "massa espulsa + massa razzo"; quindi la massa totale è costante (e quindi la qdm si conserva, non essendoci forze esterne). Tuttavia non hp capito bene il procedimento che hai seguito, perchè poni $F=v_g k$?
Perchè $(mv)' = mv'+m'v$.
Ma in un istante infinitesimo, la massa espulsa è nulla, quindi $m=0$, viceversa non è nullo il flusso di massa espulso a velocità costante $m'v = k\ v_g$
Ma in un istante infinitesimo, la massa espulsa è nulla, quindi $m=0$, viceversa non è nullo il flusso di massa espulso a velocità costante $m'v = k\ v_g$
Ma m non e la massa espulsa...a quale sistema hai applicato quell'equazione?
Vorrei proporre un altro modo per arrivare alla stessa soluzione, il principio è sempre quello di applicare $ vec(F) = d(m vec(v) ) /dt $ a un punto materiale , prenderò però in considerazione come sistema solamente il razzo e il carburante in esso contenuto in un generico istante $ t $ :
$m_i $= massa iniziale del combustibile
$M $= massa del razzo con i serbatoi vuoti
$m_e(t) =dot(m_e)t$= massa del combustibile che è stato espulso dall'istante iniziale sino all'istante $t$
Considerò il razzo un volume di controllo e il carburante in esso ancora contenuto come sistema , poichè in un generico istante $t$ ipotizzo che il volume di controllo e il sistema coincidano , utilizzo la legge di conservazione della quantità di moto per un volume di controllo :
$ sumvec(F)_(est) = d(m vec(v) )_(CV) /dt = d/dtint_omega rho vec(V)_(sis,assol) domega + int_A rho vec(V)_(sis,assol)(vec(V_r)\cdot vec(n)) dA $
Dove con $omega$ ho indicato il volume del razzo , ora si ha :
$0 = d/dtint_omega rho vec(V)_(sis,assol) domega + int_A rho vec(V)_(sis,assol)(vec(V_r)\cdot vec(n)) dA $
Il primo addendo non è altro che la derivata temporale della quantità di moto del sistema contenuto nel CV , mentre il secondo è il flusso netto della quantità di moto in uscita dal razzo ,entrambe misurate rispetto ad'un sistema di riferimento inerziale, ovvero :
$0= d(m vec(v) )_(CV) /dt + dot(m_e) vec(V)_(sis,assol) $ ,
Proiettando l'equazione su un asse di riferimento inerziale che abbia la stessa velocità vettoriale del razzo in un generico istante $t$ , ottengo :
$vec(V)_(sis,assol) = - v_(uscita.gas , relat) $ e $ v_(CV) = 0 $ , quindi :
$ d(m v) _(CV) /dt =d(m_(CV))/dtv_(CV)+ m_(CV)dv_(CV)/dt= -dot(m_e)( - v_(uscita.gas , relat) ) -> m_(CV)a_(CV) = dot(m_e)( v_(uscita.gas , relat) ) $
la massa del razzo nel generico istante $t$ è $m_(CV) = M + m_i -dot(m_e)t $ , perciò arriviamo alla seguente :
$a = (dot(m_e)( v_(uscita.gas , relat) )) / (M + m_i -dot(m_e)t )$
che è la stessa relazione pubblicata da Quinzio e come già detto , per la velocità basta integrare.
p.s. Ho modificato il messaggio perchè inizialmente conteneva alcune inesattezze , ora dovrebbe essere più chiaro
$m_i $= massa iniziale del combustibile
$M $= massa del razzo con i serbatoi vuoti
$m_e(t) =dot(m_e)t$= massa del combustibile che è stato espulso dall'istante iniziale sino all'istante $t$
Considerò il razzo un volume di controllo e il carburante in esso ancora contenuto come sistema , poichè in un generico istante $t$ ipotizzo che il volume di controllo e il sistema coincidano , utilizzo la legge di conservazione della quantità di moto per un volume di controllo :
$ sumvec(F)_(est) = d(m vec(v) )_(CV) /dt = d/dtint_omega rho vec(V)_(sis,assol) domega + int_A rho vec(V)_(sis,assol)(vec(V_r)\cdot vec(n)) dA $
Dove con $omega$ ho indicato il volume del razzo , ora si ha :
$0 = d/dtint_omega rho vec(V)_(sis,assol) domega + int_A rho vec(V)_(sis,assol)(vec(V_r)\cdot vec(n)) dA $
Il primo addendo non è altro che la derivata temporale della quantità di moto del sistema contenuto nel CV , mentre il secondo è il flusso netto della quantità di moto in uscita dal razzo ,entrambe misurate rispetto ad'un sistema di riferimento inerziale, ovvero :
$0= d(m vec(v) )_(CV) /dt + dot(m_e) vec(V)_(sis,assol) $ ,
Proiettando l'equazione su un asse di riferimento inerziale che abbia la stessa velocità vettoriale del razzo in un generico istante $t$ , ottengo :
$vec(V)_(sis,assol) = - v_(uscita.gas , relat) $ e $ v_(CV) = 0 $ , quindi :
$ d(m v) _(CV) /dt =d(m_(CV))/dtv_(CV)+ m_(CV)dv_(CV)/dt= -dot(m_e)( - v_(uscita.gas , relat) ) -> m_(CV)a_(CV) = dot(m_e)( v_(uscita.gas , relat) ) $
la massa del razzo nel generico istante $t$ è $m_(CV) = M + m_i -dot(m_e)t $ , perciò arriviamo alla seguente :
$a = (dot(m_e)( v_(uscita.gas , relat) )) / (M + m_i -dot(m_e)t )$
che è la stessa relazione pubblicata da Quinzio e come già detto , per la velocità basta integrare.
p.s. Ho modificato il messaggio perchè inizialmente conteneva alcune inesattezze , ora dovrebbe essere più chiaro
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