Moto di un punto soggetto a $F = - K r$

[ee4]

Ho un problema di meccanica che dice:
Un punto P è soggetto a due forze elastiche:
$m r'' = - k_1 x i - k_2 y j$

devo dimostrare che la traiettoria, se non è chiusa è 'ovunque densa nel rettangolo in cui è contenuta'.

a parte che 'ovunque densa' è una terminologia che non capisco cosa voglia dire, io so solo che se le fasi dei moti oscillatori delle due molle sono diseguali, la traiettoria è una ellisse contenuta in un rettangolo.

Ho trovato questo teorema, che puntualizza formalmente:
http://cdm.unimo.it/home/matematica/sac ... aticaB.pdf
(pag 37)

dove però dice che 'ricopre densamente il quadrato Q'. Quindi non mi trovo su due cose:
1) il mio libro vuole che si dimostri che stia in un rettangolo (mentre il teorema /di cui non so il nome, nè da quale testo ha come fonte/ dice quadrato)
2) perchè non generalizza in quadrato con cordinate del tipo $[(-a_1), (a_1)]x[(-a_2), (a_2)]$ invece di mettere cordinate precise?
3) perchè non vi sono nemmeno segnate le fasi (non si dovrebbe generalizzare con $\phi$?

[ee4]

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[Quinzio]

"bartsimpson":Ho un problema di meccanica che dice:
Un punto P è soggetto a due forze elastiche:
$m r'' = - k_1 x i - k_2 y j$

devo dimostrare che la traiettoria, se non è chiusa è 'ovunque densa nel rettangolo in cui è contenuta'.

a parte che 'ovunque densa' è una terminologia che non capisco cosa voglia dire, io so solo che se le fasi dei moti oscillatori delle due molle sono diseguali, la traiettoria è una ellisse contenuta in un rettangolo.

Ho trovato questo teorema, che puntualizza formalmente:
http://cdm.unimo.it/home/matematica/sac ... aticaB.pdf
(pag 37)

dove però dice che 'ricopre densamente il quadrato Q'. Quindi non mi trovo su due cose:
1) il mio libro vuole che si dimostri che stia in un rettangolo (mentre il teorema /di cui non so il nome, nè da quale testo ha come fonte/ dice quadrato)

D'accordo ma il testo dice che sta facendo un caso particolare (il quadrato) senza d'altronde perdere di generalità. Ovvero passare da un quadrato a un rettangolo è banale.

2) perchè non generalizza in quadrato con cordinate del tipo $[(-a_1), (a_1)]x[(-a_2), (a_2)]$ invece di mettere cordinate precise?

Di nuovo, perchè fa il caso particolare $x=cos(\omega_1 t), y=cos(\omega_2t)$
La traiettoria sarò dunque nel quadrato con vertici $(\pm 1, \pm 1)$.

3) perchè non vi sono nemmeno segnate le fasi (non si dovrebbe generalizzare con $\phi$?

Perchè non interessano..... no ?
Qui si sta disegnando la traiettoria che disegna quella equazione parametrica, e si vuole capire se e quando ricopre tutto il quadrato.
Non stanno dicendo qualcosa di difficile, sai...