Moto di un elettrone verso una sfera carica negativamente
Ciao a tutti! un elettrone si muove radialmente verso una sfera carica cn densità d carica ro<0. Cosa devo imporre per trovare la velocità iniziale minima dell'elettrone per attraversare la sfera? Thanx!
Risposte
Che riesca ad arrivare almeno al centro ?
davvero molto esauriente...
qualche altro aiuto?? 
so calcolare il campo elettrico al di fuori della sfera (riempita di dielettrico) con gauss , scegliendo appunto cm superficie gaussiana una sfera di raggio r>R= raggio sfera.. il campo elettrostatico è allora carica su (4*pi*r^2*eps_o*eps_r) (perchè la sfera è riempita cn un fluido) e la carica è densità di carica ro per volume della sfera cn raggio R trovando quindi che il campo elettrico fuori dalla sfera è ro*R^3 / (3*eps_o*eps_r*r^2)...avevo pensato di imporre che l'energia cinetica 1/2 m v^2 = eV..ma la diff d potenziale come la calcolo? cm integrale tra R e infinito di E? (mettendo V(infinito)=0??? )
so calcolare il campo elettrico al di fuori della sfera (riempita di dielettrico) con gauss , scegliendo appunto cm superficie gaussiana una sfera di raggio r>R= raggio sfera.. il campo elettrostatico è allora carica su (4*pi*r^2*eps_o*eps_r) (perchè la sfera è riempita cn un fluido) e la carica è densità di carica ro per volume della sfera cn raggio R trovando quindi che il campo elettrico fuori dalla sfera è ro*R^3 / (3*eps_o*eps_r*r^2)...avevo pensato di imporre che l'energia cinetica 1/2 m v^2 = eV..ma la diff d potenziale come la calcolo? cm integrale tra R e infinito di E? (mettendo V(infinito)=0??? )
calcolo il campo elettrostatico al di fuori della sfera che è $\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0\epsilon_r r^2}$. Sia $r_o$ la generica posizione di partenza dell'elettrone (nella direzione radiale), con $r_0>R>0$. Impongo che l'energia cinetica sia uguale al lavoro compiuto dalla forza elettrica $q_e E$ per spostare l'elettrone da $r_0$ a $R$, poi da R a 0 e da 0 a -R.. gli integrali del lavoro compiuto tra R e 0 e tra 0 e -R dovrebbero essere uguali e opposti e quindi annullarsi (giusto?)..rimane l'integrale tra $r_0$e $R$ di qE dove come E scelgo quello all'esterno della sfera.. facendo i conti alla fine dell'integrale cambio di segno perchè r_0 >R (corretto? anche perchè altrimenti troverei nella velocità un radicando minore di zero)...uguagliando energia cinetica e lavoro trovo che la velocità è $\sqrt{\frac{2}{3} \frac{\rho R^2(r_0-R)}{\epsilon_0 \epsilon_r m r_0}}$... cosa ne pensate?
No, scusa, una volta che l'elettrone ha raggiunto il centro della sfera, dopo viene "spinto" via, perchè si inverte la direzione del campo elettrico.
Per cui devi calcolare $\int_0^{x_0} E(x) dx$. La $E(x)$ la spezzi in due, $0
Se cerchi su google trovi la formula del campo elettrico dentro alla sfera carica isolante. Ci sono anche esercizi già fatti....
Per cui devi calcolare $\int_0^{x_0} E(x) dx$. La $E(x)$ la spezzi in due, $0
Se cerchi su google trovi la formula del campo elettrico dentro alla sfera carica isolante. Ci sono anche esercizi già fatti....
Questa è la mia proposta ....
La forza che la carica negativa della sfera esercita sull'elettrone è repulsiva: quindi lo decelera quando è in entrata, ma lo accelera quando è in uscita. In sostanza, se l'elettrone ha energia bastante a superare il centro, poi viene cacciato fuori .... (come già fatto presente da Quinzio)
Per questo mi sembrerebbe sufficiente che l'elettrone, in partenza da una distanza infinita dalla sfera, avesse un'energia cinetica iniziale uguale alla sua energia potenziale al centro della sfera stessa, cioè $E_(c0) = U(0)$.
L'energia cinetica iniziale è $E_(c0) = 1/2 * m_e * v_0^2$.
L'energia potenziale al centro è
$U(0) = \int dU = \int_Q k_e * e * (dq)/r =k_e * e * \int_V rho (dV)/r = k_e * e * rho * \int_0^R 4*pi*r^2 (dr)/r = k_e * e * rho * 4*pi*\int_0^R r dr =$
$k_e * e * rho * 4*pi*1/2 * R^2 = 2*pi*k_e*e*rho*R^2$
o anche
$U(0) =2*pi*k_e*e*rho*R^2 = 2*pi*k_e*e*Q/(4/3 * pi * R^3)*R^2=3/2 * k_e *(e*Q)/R$, dove $Q$ è la carica totale della sfera.
Allora, se il ragionamento è corretto, si ha $1/2 * m_e * v_0^2=2*pi*k_e*e*rho*R^2$,
da cui
$v_0 =2*R*sqrt((pi*k_e*e*rho)/m_e)$.
La forza che la carica negativa della sfera esercita sull'elettrone è repulsiva: quindi lo decelera quando è in entrata, ma lo accelera quando è in uscita. In sostanza, se l'elettrone ha energia bastante a superare il centro, poi viene cacciato fuori .... (come già fatto presente da Quinzio)
Per questo mi sembrerebbe sufficiente che l'elettrone, in partenza da una distanza infinita dalla sfera, avesse un'energia cinetica iniziale uguale alla sua energia potenziale al centro della sfera stessa, cioè $E_(c0) = U(0)$.
L'energia cinetica iniziale è $E_(c0) = 1/2 * m_e * v_0^2$.
L'energia potenziale al centro è
$U(0) = \int dU = \int_Q k_e * e * (dq)/r =k_e * e * \int_V rho (dV)/r = k_e * e * rho * \int_0^R 4*pi*r^2 (dr)/r = k_e * e * rho * 4*pi*\int_0^R r dr =$
$k_e * e * rho * 4*pi*1/2 * R^2 = 2*pi*k_e*e*rho*R^2$
o anche
$U(0) =2*pi*k_e*e*rho*R^2 = 2*pi*k_e*e*Q/(4/3 * pi * R^3)*R^2=3/2 * k_e *(e*Q)/R$, dove $Q$ è la carica totale della sfera.
Allora, se il ragionamento è corretto, si ha $1/2 * m_e * v_0^2=2*pi*k_e*e*rho*R^2$,
da cui
$v_0 =2*R*sqrt((pi*k_e*e*rho)/m_e)$.
ok grazie mille ad entrambi!! ho capito..
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