Moto di ciclotrone

[BigDummy]

Salve a tutti,potreste aiutarmi con questo problema?

Sul piano xOy è presente un campo magnetico diretto lungo z così definito: $B=B_z(y)u_z$, dove $B_z(y)=−B_0$ per $y>0$ e $B_z(y)=+B_0$ per $y<0$. Una particella di massa m e carica positiva q si muove sul piano e a t=0 si trova nell’origine con velocità di modulo $V$ orientata a formare un angolo $θ$ con l’asse $x$. Stabilire, in funzione dell’angolo $θ$, quanto arriva ad allontanarsi dagli assi coordinati la particella e qual è (nelle sue componenti) la sua velocità media su tempi molto lunghi. (Quando si dice tempi molto lunghi, specificare rispetto a cosa si devono intendere molto lunghi)

Mi blocco quasi subito.
Allora la particella parte con velocità "diretta" nel primo quadrante, con la regola della mano destra mi accorgo che,essendo il verso del campo entrante, la forza magnetica spinge la massa verso sinistra. Quest'ultima quindi dovrebbe compiere moto circolare nel secondo quadrante finchè non interseca l'asse y;quando questo succede la particella compirà sempre moto circolare fino ad intersecare di nuovo l'asse y e così via..o sbaglio?
Quindi $mv_0^2/R= -qvB_0 rarr R=(mv_0)/(qB_0)$ = raggio del ciclotrone.

Però da qui non so più andare avanti.
Se qualcuno fosse così paziente da postare anche un'immagine ne sarei ben felice.
Vi lascio le soluzioni:

La particella compie alternativamente moti di ciclotrone con raggi di curvatura opposti. Come si deduce anche dalla rappresentazione grafica, gli archi di ciascun moto sottendono un angolo pari a $2θ$. Ogni arco viene percorso in un tempo $∆t=((2θ)/(2π))T_(cicl)$, dove $T_(cicl)=(2πm)/(qB)$ è il periodo di ciclotrone.
Ogni arco sottende una corda lunga $2R_(cicl)sinθ$, e si discosta al massimo di $R_(cicl)(1−cosθ)$ da tale corda, dove $R_(cicl)=(mv)/(qB) $è il raggio di ciclotrone.
Quindi la particella si sposta in direzione x mentre oscilla periodicamente con periodo $2∆t$ in direzione y, la massima distanza raggiunta dall'asse x è, come si è detto, $m(v)/(qB) (1−cosθ)$; la velocità media in direzione x può essere calcolata su un periodo del moto (in realtà qui basta un semiperiodo $∆t$, cioè il tempo necessario a coprire una corda) oppure su tempi assai maggiori di $∆t$. Sostituendo i valori calcolati sopra si ottiene$ =(v sinθ)/θ$.

Non riesco a capire la geometria del problema..dove sono questi angoli $2theta$ o queste corde ecc..

Vi ringrazio

[mgrau]

Le geometria mi pare questa. (Vedo però che ho chiamato $theta$ l'angolo con l'asse y, vabbè...)




Non mi chiedere i conti, però

[BigDummy]

Innanzitutto grazie ancora per la risposta.

Quindi il moto circolare è un po' deformato perché la velocità iniziale non è parallela a uno dei due assi del piano xOy?
Sinceramente non ho ancora capito perché l'arco sottende un angolo di $2theta$
Facendo finta di aver capito questa cosa, quindi lui si calcola il tempo $t$ da:
$T_(cicl)= (2pi)/omega = (2pi)/((2theta)/t) rarr t=(2theta)/(2pi)T_(cicl)$
Ho supposto che il moto fosse circolare uniforme; quando si parla di campo magnetico è sempre così, giusto?

Dopo di che credo che si voglia calcolare $y_(max)$ e dice che

Ogni arco sottende una corda lunga $2R_(cicl)sinθ$, e si discosta al massimo di $R_(cicl)(1−cosθ)$ da tale corda

Anche qui non riesco ad inividuare questa corda e poi la distanza..
Io avrei detto,erroneamente, che $y_(max)$ fosse semplicemente $2R_(cicl)$

[mgrau]

Io la vedrei così




dove ho disegnato il cerchio completo, mentre la traiettoria percorre il cerchio solo per y > 0.
L'altezza massima y raggiunta è data da $2R - KP$ e $KP = R - Rcos theta$.
La corda staccata sull'asse y è $OA = 2OH = 2Rcos theta$.
Quando la particella raggiunge B, percorre un arco analogo ma ribaltato in basso e traslato a sinistra di $OB = 2Rsin theta$.
Complessivamente il moto è periodico lungo l'asse x, con periodo dato da $2OB$
IMHO

[BigDummy]

Oh finalmente , ora ho capito
Grazie mille mgrau, davvero!

[BigDummy]

Come non detto, risvolgendo l'esercizio mi viene $y_(max)= 2R-R(1-costheta)= R(1+costheta)$ , come avevi scritto tu.
Il prof invece scrive $y_(max)=R(1-costheta)$ ma a questo punto credo si sia sbagliato.
$x_max$ invece è infinita,perchè la particella continua a muoversi indefinitamente verso sinistra.
Quello che non mi torna è ancora il fatto dell'angolo sotteso $2theta$, quest'ultimo non dovrebbe essere $pi - 2theta$?

https://imgur.com/a/nEacdsg (nell'immagine ho scritto $theta$ invece di $2theta$

[mgrau]

"BigDummy":
Quello che non mi torna è ancora il fatto dell'angolo sotteso $2theta$, quest'ultimo non dovrebbe essere $pi - 2theta$?

L'angolo sotteso dalla corda è quello al centro, non quello fra le due tangenti che hai disegnato tu, e vale proprio $2theta$

[BigDummy]

A patto che abbia capito a quale angolo ti riferisci(vedi immagine centrale), comunque non mi è ancora chiaro perché si prende $2theta$ e non l'angolo $alpha$( disegnato in rosso)
Cioè se io voglio sapere il tempo $Deltat$ che impiego per compiere un arco di crf, perché considero $2theta$?
Di solito l'angolo che considero è quello in rosso(guarda l'immagine in basso a sinistra):
https://imgur.com/a/jqFqz9m


Perdona le boiate che ho sicuramente scritto ma non la voglio proprio capire sta cosa

[mgrau]

Forse ci sbagliamo sulla direzione di rotazione, e invece succede una cosa così




in questo caso l'arco di $2alpha$ è proprio quello percorso dalla particella

[BigDummy]

E quell'angolo non l'hai ricavato unendo le due tangenti alla crf nei punti in cui intereseca l'asse?
Comunque così torna anche a me che l'angolo spazzato dalla particella è $2alpha$ , non mi torna allora perché non dovrebbe essere $pi-2theta$ nel caso dell'esercizio o al massimo l'angolo $alpha$ che ho scritto in rosso nell'ultima immagine che ho postato…
Non c'è verso di capirla sta cosa