Moto del proiettile con resistenza dell'aria: trovare X(t) e Y(t)

[Alex332]

Buongiorno e buona primavera.
Qualcuno potrebbe suggerirmi le equazioni attraverso le quali si possano individuare X e Y in funzione di t in un moto parabolico con resistenza dell'aria?

Io sto lavorando con un modello geogebra:

https://www.geogebra.org/m/bm2vzc9h

la cui curva è disegnata da questa espressione:

$Drag=Curva(v_{0}*(v_{t})/(g)cos(θ) (1-ℯ^((-(g*t))/(v_{t}))),(v_{t})/(g) (v_{0}*sin(θ)+v_{t}) (1-ℯ^((-g*t)/(v_{t})))-v_{t}*t+y(Height),t,0,50)$

...ma non saprei derivare le proiezioni sugli assi X e Y.

I dati richiesti dal modello sono:
- Superficie del corpo esposta alla resistenza dell'aria
- Densità dell'aria
- Coefficiente di resistenza dato dalla forma del corpo (nel mio caso un sfera)
- Massa
- Accelerazione gravitazionale
- Velocità di lancio
- Angolo di lancio
- Altezza del punto di lancio.

Dovrei trasformare il modello geometrico in una tabella di valori, ma per farlo avrei bisogno di poter esporre le formule e utilizzarle.

GRAZIE PER QUALSIASI AIUTO.

[professorkappa]

Se la resistenza e' proporzionale alla velocita', lungo x il corpo ha una legge oraria del tipo

$-C_xdotx=mddotx$

Lungo y

$-C_ydoty-mg=mddoty$

Nel caso di una sfera, $C_x=C_y=C$ funzione della forma e della densita' (io non la conosco, o forse non la ricordo).

La prima equazione, posto $dotx=k$, diventa $-Ck=m[dk]/[dt]$ che integrata per separazione da'
$[dk]/k=-C/mdt$

che risolta da'

$lnk=-C/mt+lnA$

da cui

$k=v(t)=Ae^[(-C/m)t]$

Integrando nuovamente si ottiene

$x=-[Am]/Ce^[(-C/m)t]+B$

Con A e B da determinarsi con le condizioni iniziali $dotx(0)$ e $x(0)$.

Lo stesso per la seconda equazione, ricordandosi che va aggiunta la soluzione particolare che dovrebbe essere, se non sbaglio, $bary=-[mg]/Ct$