Moto del proiettile
Ragazzi, non riesco a risolvere questo problema.
Un proiettile ha gittata di $R = 40 m$ e tempo impiegato $t_2 = 2.44 s$. La posizione iniziale del proiettile è $0$.
Mi chiede di calcolare la velocità iniziale $v_0$ e l'angolo che si crea con il vettore velocità iniziale $theta$.
So che:
$x(t) = x_0 + v_(0x) (t)$
$x(t) = y_0 + v_(0y) (t) - 1/2 g (t^2)$
$R =$ $( ((v_0 )^2)/g ) 2 costheta sentheta$
Ma forse una formula più utile per la gittata è:
$R =$ $v_(0x) * T$
Ma non so quanto possa essere utile calcolarmi $v_(0x)$! Grazie per le future risposte!
Un proiettile ha gittata di $R = 40 m$ e tempo impiegato $t_2 = 2.44 s$. La posizione iniziale del proiettile è $0$.
Mi chiede di calcolare la velocità iniziale $v_0$ e l'angolo che si crea con il vettore velocità iniziale $theta$.
So che:
$x(t) = x_0 + v_(0x) (t)$
$x(t) = y_0 + v_(0y) (t) - 1/2 g (t^2)$
$R =$ $( ((v_0 )^2)/g ) 2 costheta sentheta$
Ma forse una formula più utile per la gittata è:
$R =$ $v_(0x) * T$
Ma non so quanto possa essere utile calcolarmi $v_(0x)$! Grazie per le future risposte!
Risposte
Ti conviene scomporre il moto in uno rettilineo uniforme lungo l'asse x, ed uno uniformemente accelerato lungo l'asse y. Entrambi hanno la durata $t_2$, e di entrambi puoi ricavarti le equazioni del moto. Derivando tali equazioni ottieni le espressioni della velocità, e sostituendo $t=0$, ottieni le componenti della velocità inziale, dalle quali puoi facilmente ricavare l'angolo $theta$.
Se il proiettile percorre in orizzontale una distanza $R$ nel tempo $t_2$, ha una velocità orizzontale $v_x=v_0cos theta=R/t_2$.
Inoltre arriva al colmo della traiettoria in un tempo $t_1=t_2/2$. A quell'istante la velocità verticale $v_y=0$, da cui $v_y(t_1)=v_0 sin theta-g t_1=0$ e $v_0sin theta=g t_1=1/2 g t_2$.
Dal sistema
${(v_0cos theta=R/t_2), (v_0sin theta=1/2 g t_2):}$
si può ricavare $v_0$ e $theta$:
$(v_0cos theta)^2+ (v_0sin theta)^2=(R/t_2)^2+(1/2 g t_2)^2->v_0^2=R^2/(t_2)^2+(g^2t_2^2)/4->v_0=sqrt(R^2/(t_2)^2+(g^2t_2^2)/4)$,
$tan theta=(1/2 g t_2)/(R/t_2)-> theta = arc tan ((1/2 g t_2)/(R/t_2))=arc tan( (g t_2^2)/(2R))$.
Inoltre arriva al colmo della traiettoria in un tempo $t_1=t_2/2$. A quell'istante la velocità verticale $v_y=0$, da cui $v_y(t_1)=v_0 sin theta-g t_1=0$ e $v_0sin theta=g t_1=1/2 g t_2$.
Dal sistema
${(v_0cos theta=R/t_2), (v_0sin theta=1/2 g t_2):}$
si può ricavare $v_0$ e $theta$:
$(v_0cos theta)^2+ (v_0sin theta)^2=(R/t_2)^2+(1/2 g t_2)^2->v_0^2=R^2/(t_2)^2+(g^2t_2^2)/4->v_0=sqrt(R^2/(t_2)^2+(g^2t_2^2)/4)$,
$tan theta=(1/2 g t_2)/(R/t_2)-> theta = arc tan ((1/2 g t_2)/(R/t_2))=arc tan( (g t_2^2)/(2R))$.
Innanzitutto, grazie per le risposte.
@chiarotta:
Non ho ben capito un passaggio.. Io so che $t_1 = 0 s$ e $t_2 = 2.44 s$. E so che, se $x_0 = y_0 = 0$, allora posso dire che $t_2 = (2v_(0y))/g$. Perchè tu hai scritto che $t_1 = (t_2)/2$ ?
@chiarotta:
Non ho ben capito un passaggio.. Io so che $t_1 = 0 s$ e $t_2 = 2.44 s$. E so che, se $x_0 = y_0 = 0$, allora posso dire che $t_2 = (2v_(0y))/g$. Perchè tu hai scritto che $t_1 = (t_2)/2$ ?
"Flamber":
Ti conviene scomporre il moto in uno rettilineo uniforme lungo l'asse x, ed uno uniformemente accelerato lungo l'asse y. Entrambi hanno la durata $t_2$, e di entrambi puoi ricavarti le equazioni del moto. Derivando tali equazioni ottieni le espressioni della velocità, e sostituendo $t=0$, ottieni le componenti della velocità inziale, dalle quali puoi facilmente ricavare l'angolo $theta$.
In pratica dici di..
$x(t) = x_0 + v_(0x) (t) $
$y(t) = y_0 + v_(0y) (t) - 1/2 g (t^2)$
Sapendo che $t_2 = 2.44 s$, ho:
$x(t) = x_0 + v_(0x) (2.44 s) $
$y(t) = y_0 + v_(0y) (2.44 s) - 1/2 g (5.95 s^2)$
Sapendo che $x_0 = y_0 = 0$, ho:
$x(t) = v_(0x) (2.44 s) $
$y(t) = v_(0y) (2.44 s) - 1/2 g (5.95 s^2)$
Da qui come posso calcolarmi $v_0$ ?!
A meno che io non abbia frainteso qualcosa, penso che manchi qualche informazione
tu fornisci come dati la gittata, ovvero lo spazio percorso lungo la componente $x$ del moto, e il tempo impiegato per compiere tale percorso che poi é anche il tempo in cui il corpo raggiunge la quota massima e torna a terra.
Ma, se non erro, a questo punto hai un numero inifito di coppie di valori $v_0$, $theta$ che posso darti la stessa gittata.
quindi manca qualche dato, sarebbe almeno necessario avere la quota raggiunta dal corpo
Sbaglio?
tu fornisci come dati la gittata, ovvero lo spazio percorso lungo la componente $x$ del moto, e il tempo impiegato per compiere tale percorso che poi é anche il tempo in cui il corpo raggiunge la quota massima e torna a terra.
Ma, se non erro, a questo punto hai un numero inifito di coppie di valori $v_0$, $theta$ che posso darti la stessa gittata.
quindi manca qualche dato, sarebbe almeno necessario avere la quota raggiunta dal corpo
Sbaglio?
Capisco forse il tuo discorso, ma io ho solo copiato ed incollato il testo dell'esercizio.
Calcolare la quota massima raggiunta dal corpo nel moto, vuol dire anche calcolare $sentheta$, giusto?
Calcolare la quota massima raggiunta dal corpo nel moto, vuol dire anche calcolare $sentheta$, giusto?
Non volevo dire che tu avessi dimenticato qualcosa 
, ho solo detto che secondo me non ci sono dati sufficienti.
Ma puó essere che io mi sbagli.
a quanto ricordo la gittata si calcola:
[tex]x= \frac{ v_{0}^{2} \sin (2\theta ) }{g}[/tex]
quindi la gittata dipende sia da $v_0$ che da $theta$
, ho solo detto che secondo me non ci sono dati sufficienti.Ma puó essere che io mi sbagli.
a quanto ricordo la gittata si calcola:
[tex]x= \frac{ v_{0}^{2} \sin (2\theta ) }{g}[/tex]
quindi la gittata dipende sia da $v_0$ che da $theta$
"Mr.Mazzarr":
...Non ho ben capito un passaggio.. Io so che $t_1 = 0 s$ e $t_2 = 2.44 s$...... Perchè tu hai scritto che $t_1 = (t_2)/2$ ?
Io ho indicato con $t_1$ il tempo impiegato dal proiettile per arrivare al vertice della parabola. Poiché la traiettoria è simmetrica, questo tempo è uguale alla metà del tempo impiegato a descriverla tutta, cioè $t_1=1/2 t_2$.
@Summerwind: si la gittata si calcola anche in quel modo!
Ah, ok. Su questo ci siamo.
Ciò serve per calcolare l'altezza h, che sarebbe anche il seno dell'angolo descritto dal vettore $v_0$, giusto?
"chiaraotta":
Io ho indicato con $t_1$ il tempo impiegato dal proiettile per arrivare al vertice della parabola. Poiché la traiettoria è simmetrica, questo tempo è uguale alla metà del tempo impiegato a descriverla tutta, cioè $t_1=1/2 t_2$.
Ah, ok. Su questo ci siamo.
Ciò serve per calcolare l'altezza h, che sarebbe anche il seno dell'angolo descritto dal vettore $v_0$, giusto?
Potrebbe, ma non mi interessa calcolare l'altezza $h$.
Poiché invece a quell'istante di tempo la componente verticale della velocità è $=0$, inserendolo nell'equazione della componente verticale della velocità ($v_y(t)=v_(0,y)-g t$), lo posso utilizzare per calcolare $v_(0,y)=v_0sin theta$: $0=v_0sin theta-g t_1->0=v_0sin theta-1/2g t_2->v_0sin theta=1/2 g t_2$.
Poiché invece a quell'istante di tempo la componente verticale della velocità è $=0$, inserendolo nell'equazione della componente verticale della velocità ($v_y(t)=v_(0,y)-g t$), lo posso utilizzare per calcolare $v_(0,y)=v_0sin theta$: $0=v_0sin theta-g t_1->0=v_0sin theta-1/2g t_2->v_0sin theta=1/2 g t_2$.
Il discorso ora mi è chiaro. Ed, ovviamente, è applicabile in tutti i casi in cui $x_0=y_0=0$. No?
Solo una cosa: nella componente verticale, non è $-1/2g(t)$ in quanto siamo all'altezza massima, giusto?
Solo una cosa: nella componente verticale, non è $-1/2g(t)$ in quanto siamo all'altezza massima, giusto?
Il tempo in cui il proiettile arriva al vertice della traiettoria è metà del tempo totale di volo se il punto di partenza e di arrivo sono alla stessa altezza.
Tutto chiaro ora, grazie chiaraotta !
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