Moto con attrito stick-slip
Salve a tutti.
Vi propongo un esercizio un po' insolito, forse, dal mio compito di Fisica Generale I di oggi. Poi quando ho tempo di sistemare l'immagine ne posterò anche un altro molto semplice ma simpatico.
Un blocco di massa $m$ è attaccato ad un supporto fisso tramite una molla orizzontale di costante elastica $k$ e di massa trascurabile. Il blocco si trova su una lunga tavola orizzontale, con la quale ha un coefficiente di attrito statico $mu_s$ ed un piccolo coefficiente di attrito dinamico $mu_d$. La tavola si muove verso destra a velocità costante $v$. Si assuma che il blocco spenda la maggior parte del suo tempo rimanendo attaccato alla tavola e muovendosi verso destra, cosicché la velocità $v$ è piccola in confronto alla velocità media del blocco quando questo slitta indietro verso sinistra.
(a) Determinare la massima elongazione della molla.
(b) Mostrare che il blocco oscilla intorno alla posizione di equilibrio in cui la molla è allungata di $(mu_dmg)/k$.
(c) Tracciare un grafico della posizione del blocco in funzione del tempo.
(d) Mostrare che l'ampiezza del moto del blocco è $A=((mu_s-mu_d)mg)/k$.
(e) Mostrare che il periodo del moto del blocco è $T=(2(mu_s-mu_d)mg)/(vk)+pi*sqrt(m/k)$.
Vi risparmio gli ultimi due punti perché sono banalissimi. Buon divertimento
Vi propongo un esercizio un po' insolito, forse, dal mio compito di Fisica Generale I di oggi. Poi quando ho tempo di sistemare l'immagine ne posterò anche un altro molto semplice ma simpatico.
Un blocco di massa $m$ è attaccato ad un supporto fisso tramite una molla orizzontale di costante elastica $k$ e di massa trascurabile. Il blocco si trova su una lunga tavola orizzontale, con la quale ha un coefficiente di attrito statico $mu_s$ ed un piccolo coefficiente di attrito dinamico $mu_d$. La tavola si muove verso destra a velocità costante $v$. Si assuma che il blocco spenda la maggior parte del suo tempo rimanendo attaccato alla tavola e muovendosi verso destra, cosicché la velocità $v$ è piccola in confronto alla velocità media del blocco quando questo slitta indietro verso sinistra.
(a) Determinare la massima elongazione della molla.
(b) Mostrare che il blocco oscilla intorno alla posizione di equilibrio in cui la molla è allungata di $(mu_dmg)/k$.
(c) Tracciare un grafico della posizione del blocco in funzione del tempo.
(d) Mostrare che l'ampiezza del moto del blocco è $A=((mu_s-mu_d)mg)/k$.
(e) Mostrare che il periodo del moto del blocco è $T=(2(mu_s-mu_d)mg)/(vk)+pi*sqrt(m/k)$.
Vi risparmio gli ultimi due punti perché sono banalissimi. Buon divertimento
Risposte
Ciao... Premetto che secondo me questo compito non è da fisica generale 1.
In ogni caso il punto a è banale: $delta=mu_s/k mg$.
Già dal secondo punto cominciano le mie perplessità... Cioè il blocco oscilla attorno a quella posizione di equilibrio, oppure no? O meglio si può dire ciò all'interno di un periodo? Direi di no...
Le equazioni che governano il moto dopo il distacco sono nel primo periodo $(\omega_n=sqrt(k/m))$:
${(x(t)=(delta-mu_d/k mg)cos(omega_nt)+v/\omega_nsin(\omega_nt)+mu_d/k mg , if dotx<0),(x(t)=(delta-3mu_d/k mg)cos(omega_nt)-mu_d/k mg , if dotx>0):}
Anche trascurando il contributo della sinusoide se effettivamente $v$ è piccola in confronto alla velocità media della massa...:
Come vedi non si può dire attorno a quale posizione oscilli la massa così all'acqua di rose... Va specificato meglio che cosa si vuole. Se il risultato è quello da te riportato, la domanda doveva essere: ''dire attorno a quale punto oscilla la massa quando la sua velocità relativa al blocco è negativa.''
Considerazioni simili per l'ampiezza; infatti lo smorzamento dovuto all'attrito dinamico (coulomb damping) fa si che l'ampiezza diminuisca linearmente con il periodo $DeltaA=4\mu_d/k mg$, quindi anche qui va specificato bene cosa si vuole... Inoltre se non ricordo male l'ampiezza è definita come l'ordinata della cresta, quindi mi sembra addirittura sbagliato il risultato riportato, infatti quella sarebbe il coefficiente della cosinusoide per il primo semiperiodo, ma non l'ampiezza...
Tra l'altro se fosse semplicemente così l'ampiezza non diminuirebbe nel semiperiodo, e ciò implicherebbe che l'energia cinetica iniziale si sia conservata, pure con l'azione dell'attrito dinamico...
Ragionamenti simili anche per il periodo...
In ogni caso il punto a è banale: $delta=mu_s/k mg$.
Già dal secondo punto cominciano le mie perplessità... Cioè il blocco oscilla attorno a quella posizione di equilibrio, oppure no? O meglio si può dire ciò all'interno di un periodo? Direi di no...
Le equazioni che governano il moto dopo il distacco sono nel primo periodo $(\omega_n=sqrt(k/m))$:
${(x(t)=(delta-mu_d/k mg)cos(omega_nt)+v/\omega_nsin(\omega_nt)+mu_d/k mg , if dotx<0),(x(t)=(delta-3mu_d/k mg)cos(omega_nt)-mu_d/k mg , if dotx>0):}
Anche trascurando il contributo della sinusoide se effettivamente $v$ è piccola in confronto alla velocità media della massa...:
Come vedi non si può dire attorno a quale posizione oscilli la massa così all'acqua di rose... Va specificato meglio che cosa si vuole. Se il risultato è quello da te riportato, la domanda doveva essere: ''dire attorno a quale punto oscilla la massa quando la sua velocità relativa al blocco è negativa.''
Considerazioni simili per l'ampiezza; infatti lo smorzamento dovuto all'attrito dinamico (coulomb damping) fa si che l'ampiezza diminuisca linearmente con il periodo $DeltaA=4\mu_d/k mg$, quindi anche qui va specificato bene cosa si vuole... Inoltre se non ricordo male l'ampiezza è definita come l'ordinata della cresta, quindi mi sembra addirittura sbagliato il risultato riportato, infatti quella sarebbe il coefficiente della cosinusoide per il primo semiperiodo, ma non l'ampiezza...
Tra l'altro se fosse semplicemente così l'ampiezza non diminuirebbe nel semiperiodo, e ciò implicherebbe che l'energia cinetica iniziale si sia conservata, pure con l'azione dell'attrito dinamico...
Ragionamenti simili anche per il periodo...
Tra l'altro se fosse semplicemente così l'ampiezza non diminuirebbe nel semiperiodo, e ciò implicherebbe che l'energia cinetica iniziale si sia conservata, pure con l'azione dell'attrito dinamico...
Stai dimenticando che per far viaggiare il piano a velocità costante ci vuole una forza che compie lavoro.
No, ma in ogni caso non mi sembra che ciò che ho detto sia influenzabile da ciò...
Vi dico come ho ragionato io e, anche se la conferma l'avrò solo domattina, anche la prof mi ha fatto capire di aver visto giusto...
Dunque, inizialmente il corpo è trascinato insieme alla tavola finchè la forza di richiamo elastica non vince la forza di attrito statico (questo accade nel punto di massima elongazione che è, giustamente, $x_(max)=(μ_smg)/k$). A questo punto esso viene fatto scattare indietro dalla molla fino ad un punto $x_(min)$ che però ha una distanza, in modulo, dal punto di equilibrio, minore di $x_(max)$. Questo per effetto, ovviamente, della forza di attrito dinamico che agisce sul corpo mentre esso scivola sulla tavola e che dissipa energia. Pertanto la forza elastica in $x_(min)$ non è sufficiente per vincere l'attrito statico (il corpo ora è fermo) per cui esso rimane vincolato alla tavola e procede con essa fino a raggiungere di nuovo $x_(max)$ dove il ciclo ricomincia.
Guardando il moto per intero, si vede che in effetti la posizione attorno a cui si ha "oscillazione" (qui usato forse impropriamente come termine, perché non è un moto armonico semplice) non è quella in cui la molla è a riposo, ma si ha quando la molla stessa è allungata di $(μ_dmg)/k$.
Per trovare questo risultato io ho semplicemente applicato la definizione di "posizione di equilibrio" menzionata dal testo: risultante delle forze pari a zero. Le forze agenti sul blocco (parallele al movimento) mentre esso si muove sono la forza elastica $-kx$ e la forza di attrito dinamico $mu_dmg$.
Dunque, inizialmente il corpo è trascinato insieme alla tavola finchè la forza di richiamo elastica non vince la forza di attrito statico (questo accade nel punto di massima elongazione che è, giustamente, $x_(max)=(μ_smg)/k$). A questo punto esso viene fatto scattare indietro dalla molla fino ad un punto $x_(min)$ che però ha una distanza, in modulo, dal punto di equilibrio, minore di $x_(max)$. Questo per effetto, ovviamente, della forza di attrito dinamico che agisce sul corpo mentre esso scivola sulla tavola e che dissipa energia. Pertanto la forza elastica in $x_(min)$ non è sufficiente per vincere l'attrito statico (il corpo ora è fermo) per cui esso rimane vincolato alla tavola e procede con essa fino a raggiungere di nuovo $x_(max)$ dove il ciclo ricomincia.
Guardando il moto per intero, si vede che in effetti la posizione attorno a cui si ha "oscillazione" (qui usato forse impropriamente come termine, perché non è un moto armonico semplice) non è quella in cui la molla è a riposo, ma si ha quando la molla stessa è allungata di $(μ_dmg)/k$.
Per trovare questo risultato io ho semplicemente applicato la definizione di "posizione di equilibrio" menzionata dal testo: risultante delle forze pari a zero. Le forze agenti sul blocco (parallele al movimento) mentre esso si muove sono la forza elastica $-kx$ e la forza di attrito dinamico $mu_dmg$.
Ah, ok adesso ho capito come funziona davvero il sistema... 
Quindi se così è cancella quei discorsi sul decadimento dell'ampiezza, in questo caso infatti essa rimane sempre costante ad ogni periodo (ogni volta si ricarica). 
Quindi se così è cancella quei discorsi sul decadimento dell'ampiezza, in questo caso infatti essa rimane sempre costante ad ogni periodo (ogni volta si ricarica).
Bello questo esercizio... una sviolinata unidimensionale!
Forse era opportuno chiarire meglio che la molla ha un estremo fisso (e non solidale con il carrello)
ciao
Forse era opportuno chiarire meglio che la molla ha un estremo fisso (e non solidale con il carrello)
ciao
Si, forse non era chiarissimo, ma io ho riportato il testo fedele a come era scritto sul compito 
.
In effetti era interessante, non banale sicuramente.
A breve spero di postarne un altro, sempre dal mio compito, notevolmente più semplice ma simpatico, come già detto.
Ciao a tutti e grazie degli interventi
.In effetti era interessante, non banale sicuramente.
A breve spero di postarne un altro, sempre dal mio compito, notevolmente più semplice ma simpatico, come già detto.
Ciao a tutti e grazie degli interventi
Ok, spero che si capisca anche senza disegno, altrimenti chiedete pure:
Un ragazzo ingegnoso di nome Pat vuole raggiungere una mela su un albero senza arrampicarvisi. Seduto su un sedile, collegato ad una fune che passa intorno ad una puleggia senza attrito, Pat tirà l'estremità libera della fune con una forza pari a $250 N$. Il vero peso di Pat è $320 N$, mentre il sedile pesa $160 N$.
(a) Disegnare i diagrammi delle forze per Pat e per il sedile, considerati come sistemi separati.
(b) Mostrare che l'accelerazione del sistema è diretta verso l'alto e trovarne il modulo.
(c) Trovare la forza che Pat esercita sul sedile.
Questo è troppo facile, però. Non posso crederci che stava sul compito
Ciao a tutti.
Un ragazzo ingegnoso di nome Pat vuole raggiungere una mela su un albero senza arrampicarvisi. Seduto su un sedile, collegato ad una fune che passa intorno ad una puleggia senza attrito, Pat tirà l'estremità libera della fune con una forza pari a $250 N$. Il vero peso di Pat è $320 N$, mentre il sedile pesa $160 N$.
(a) Disegnare i diagrammi delle forze per Pat e per il sedile, considerati come sistemi separati.
(b) Mostrare che l'accelerazione del sistema è diretta verso l'alto e trovarne il modulo.
(c) Trovare la forza che Pat esercita sul sedile.
Questo è troppo facile, però. Non posso crederci che stava sul compito
Ciao a tutti.
Si infatti è un classico... però è buono per vedere se uno ha chiara la dinamica elementare...
Si infatti è un classico... però è buono per vedere se uno ha chiara la dinamica elementare...
Esatto, ma ti dirò: ci si sono incartati in tanti, forse perché disorientava un po' il fatto che questo ragazzo (apparentemente) si tirasse su da solo grazie ad una forza minore del suo peso...
e poi, lo confesso, l'unica cosa che ho sbagliato in questo compito è stato proprio il punto (a) di questo esercizio...
deridetemi pure !
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