Moto circolare uniformemente accelerato
Un punto materiale parte da fermo e percorre e percorre una traiettoria di $ R=1m $ con accelerazione costante $ alpha=(10rad)/s^2 $ Dopo quanti giri la sua accelerazione centripeta è uguale alla sua accelerazione tangenziale?
Allora per risolver:
Calcolo $ At=alpha *R =10(rad)/s^2*1m=10m/s^2 $
poi pongo $ Ac=10m/s^2 $
Quindi ricavo $ omega $
$ 10m/s^2=omega^2*R; $ $ (10m/s^2)/(1m)=omega^2; $ $ omega=sqrt(10) $
Da cui ricavo il tempo dato che $ { (omega=omega 0+alpha(t)),( omega0=0):} $ :
$ t=sqrt10/10 $
risultato: $ 0,316s $
ora il numero di giri corrisponde alla frequenza giusto?
quindi basta che calcolo $ omega $ di $ 0,316s $ e poi $ omega/(2Pi) $ giusto?
(risultato $ 0,5 $ )
Allora per risolver:
Calcolo $ At=alpha *R =10(rad)/s^2*1m=10m/s^2 $
poi pongo $ Ac=10m/s^2 $
Quindi ricavo $ omega $
$ 10m/s^2=omega^2*R; $ $ (10m/s^2)/(1m)=omega^2; $ $ omega=sqrt(10) $
Da cui ricavo il tempo dato che $ { (omega=omega 0+alpha(t)),( omega0=0):} $ :
$ t=sqrt10/10 $
risultato: $ 0,316s $
ora il numero di giri corrisponde alla frequenza giusto?
quindi basta che calcolo $ omega $ di $ 0,316s $ e poi $ omega/(2Pi) $ giusto?
(risultato $ 0,5 $ )
Risposte
Quindi in termini di calcolo $ 0,5*0,316=0,158 $ giri, giusto?
Benissimo grazie dell'aiuto!
Sbaglierò qualcosa io, ma a me vengono esattamentel a metà dei giri.
$\phi (t)=1/2 \alphat^2$
Sappiamo che $t=0,316s$
$\phi (0,316)=1/2 \alpha(0,316)^2=5*(0,316)^2 rad = 0,499 rad$
sappiamo che 1 giro è $2π rad$
quindi possiamo impostare la relazione $1:2π=giri:0,499$
$giri=(0,499 rad)/ (2π rad)=0,079$
che è esattamente la metà del valore trovato da voi, dove è l'errore?
$\phi (t)=1/2 \alphat^2$
Sappiamo che $t=0,316s$
$\phi (0,316)=1/2 \alpha(0,316)^2=5*(0,316)^2 rad = 0,499 rad$
sappiamo che 1 giro è $2π rad$
quindi possiamo impostare la relazione $1:2π=giri:0,499$
$giri=(0,499 rad)/ (2π rad)=0,079$
che è esattamente la metà del valore trovato da voi, dove è l'errore?
Hai sbagliato non hai calcolato $ omega $ , ma $ alpha $e poi l'hai divisa per $2pi $quindi quel calcolo non ha senso.
ora che ci penso la nostra soluzione è sicuramente giusta perché $ omega $ è la velocità angolare rad/sec se la dividiamo per $ 2pi $ otteniamo la frequenza (giri o oscillazioni)/s)
Ora per ottenere il numero di giri basta moltiplicare per il tempo.
L'analisi dimensionale aiuta sempre a far tornare i conti.
ora che ci penso la nostra soluzione è sicuramente giusta perché $ omega $ è la velocità angolare rad/sec se la dividiamo per $ 2pi $ otteniamo la frequenza (giri o oscillazioni)/s)
Ora per ottenere il numero di giri basta moltiplicare per il tempo.
L'analisi dimensionale aiuta sempre a far tornare i conti.
no, io ho sostituito nell'equazione oraria il tempo, ed ho ricavato $\phi$ a quel tempo.
Ed ho diviso quell'angolo $\phi$ per $2π$, non $\alpha$.
Io so che al tempo $0,316s$, il punto che si muove di moto circolare uniformemente accelerato, ha accelerazione centripeta ed accelerazione tangenziale, uguali in modulo. Inoltre, so che a quel tempo, ha descritto un angolo di $0,499 rad$, e questo risultato si trova sostituendo $t=0,316$ nell'equazione oraria del moto circolare, che in questo caso è $\phi(t)=1/2 \alpha t^2$ ed essendo $\alpha$ nota e costante si ha $\phi(0,316) = 1/2 * 10(rad)/s^2 * (0,316)^2s^2 = 0,499 rad$
Sapendo che a $t=0,316 s$, l'angolo è di $0,499rad$, e sapendo che 1 giro corrisponde a $2π rad$, si puù impostare la relazione che ho scritto, per trovare il numero di giri
$"1 giro" : "numero di giri" = 2πrad : 0,499 rad$
$"numero di giri" =( 0,499 rad)/(2π rad)=0,079$
E questa divisione, a differenza di quello che hai detto, ha senso, perchè il numero di giri è una grandezza adimensionale, dividendo un angolo per un altro angolo si ottiene una grandezza adimensionale, quindi, il calcolo è giustificato anche dimensionalmente.
Sono abbastanza convinto che il risultato sia giusto.
Ed ho diviso quell'angolo $\phi$ per $2π$, non $\alpha$.
Io so che al tempo $0,316s$, il punto che si muove di moto circolare uniformemente accelerato, ha accelerazione centripeta ed accelerazione tangenziale, uguali in modulo. Inoltre, so che a quel tempo, ha descritto un angolo di $0,499 rad$, e questo risultato si trova sostituendo $t=0,316$ nell'equazione oraria del moto circolare, che in questo caso è $\phi(t)=1/2 \alpha t^2$ ed essendo $\alpha$ nota e costante si ha $\phi(0,316) = 1/2 * 10(rad)/s^2 * (0,316)^2s^2 = 0,499 rad$
Sapendo che a $t=0,316 s$, l'angolo è di $0,499rad$, e sapendo che 1 giro corrisponde a $2π rad$, si puù impostare la relazione che ho scritto, per trovare il numero di giri
$"1 giro" : "numero di giri" = 2πrad : 0,499 rad$
$"numero di giri" =( 0,499 rad)/(2π rad)=0,079$
E questa divisione, a differenza di quello che hai detto, ha senso, perchè il numero di giri è una grandezza adimensionale, dividendo un angolo per un altro angolo si ottiene una grandezza adimensionale, quindi, il calcolo è giustificato anche dimensionalmente.
Sono abbastanza convinto che il risultato sia giusto.
Giusto dandogli un occhiata veloce non avevo visto, allora cerchiamo l'errore...
Ho aggiunto qualche calcolo nell'ultimo edit, per rendere più chiari i passaggi
Il tuo ragionamento è sicuramente giusto, ho fatto un altro esercizio e mi trovo con il risultato del libro, in poche parole lo spazio in radianti diviso il periodo 2pi mi da il numero di giri, il problema è che anche l'alto ragionamento mi sembra corretto, è che non trovo l'errore.
Comunque il ragionamento più semplice ed immediato è calcolare lo spazio percorso in radianti e da lì ricavarsi il numero di giri.
In alternativa più macchinosa si può utilizzando omega calcolata nel tempo, tenendo conto che essendoci accelerazione tangenziale la frequenza varia nel tempo. (quindi procedimento non consigliato)
In alternativa più macchinosa si può utilizzando omega calcolata nel tempo, tenendo conto che essendoci accelerazione tangenziale la frequenza varia nel tempo. (quindi procedimento non consigliato)
"CriDDJ":
Comunque il ragionamento più semplice ed immediato è calcolare lo spazio percorso in radianti e da lì ricavarsi il numero di giri.
In alternativa più macchinosa si può utilizzando omega calcolata nel tempo, tenendo conto che essendoci accelerazione tangenziale la frequenza varia nel tempo. (quindi procedimento non consigliato)
Assolutamente si, per usare un paragone informatico (e non solo), l'agoritmo più veloce è sicuramente quello.
tuttavia l'altro ragionamento, nonostante sia sicuramente sconveniente in questo caso, permette di usare e capire un po' meglio alcune relazioni che possono tornare utili in altri esercizi sul moto circolare.
Io avrei fatto cosi
\[\alpha R=\omega^{2}R\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\alpha=\omega^{2}\]
ora dall'accelerazione funzione dell'angolo
\[2\alpha\theta=\omega^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\theta=\frac{1}{2}\hspace{2 cm}n=\frac{\theta}{2\pi}=0.079\]
\[\alpha R=\omega^{2}R\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\alpha=\omega^{2}\]
ora dall'accelerazione funzione dell'angolo
\[2\alpha\theta=\omega^{2}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\theta=\frac{1}{2}\hspace{2 cm}n=\frac{\theta}{2\pi}=0.079\]
Così è ancora più immediato
Si, rapido e indolore 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo