Moto circolare uniforme

[pi00100100]

Ciao,

Sto cercando di ricavare le equazioni che descrivono il moto circolare uniforme, per intenderci quello con velocità ed accelerazione costanti in modulo. Per mezzo di considerazioni geometriche, riesco a ricavare le seguenti equazioni:
- vettore posizione: $\vec{p}(\theta)=(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$
- vettore velocità: $\vec{v}(\theta)=(-v\sin(\theta),v\cos(\theta))$
Non capisco però perchè eguagliando la derivata del vettore posizione e il vettore velocità ottengo che $v=r$: infatti $-r\sin(\theta)=-v\sin(\theta)$ e $r\cos(\theta)=v\cos(\theta)$. Tale uguaglianza è innanzitutto sbagliata concettualmente, perchè a sinistra abbiamo una velocità e a destra una lunghezza; inoltre velocità e raggio, nel moto circolare uniforme, sono grandezze indipendenti e non sono correlate in nessun modo. Dove sbaglio?

Grazie.

[Faussone]

Perché non hai derivato nella maniera corretta: $\theta=\theta(t)$ cioè è funzione del tempo, quindi derivando correttamente hai a moltiplicare anche $\dot \theta$, che è la derivata di $\theta$ rispetto al tempo. Alla fine otterresti $v=\dot theta r$ come è giusto.

[pi00100100]

Grazie Faussone, credo di aver capito ora. La velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo, non rispetto all'angolo. Questo è stato il mio errore. Ponendo $\theta(t)=\frac{v}{r}t$ tutto torna.