Moto circolare su piano inclinato
Ciao a tutti, vorrei porvi una domanda, un problema che non so come risolvere:
Una pallina percorre una pista circolare la cui superficie è inclinata di un angolo $\theta = 45°$ rispetto al piano orizzontale. Si calcoli la velocita' $v$ della pallina sapendo che essa percorre la pista con moto circolare uniforme di raggio $r = 0.5 m$.
il disegno della situazione dovrebbe essere:

sinceramente nn ho idea di come fare... ho pensato d ricondurre il moto della pallina come apparirebbero sull'asse $Y$ e sull'asse $X$ pero' ho dei dubbi perchè in realta' se non erro il moto dovrebbe essere un po' piu' lento agli estremi degli assi. ho provato a fare i clcoli:
Asse Y:
$y-y_0 = v_0t - 1/2 g*t^2$
Asse X:
$x-x_0 = v_0t + 1/2 a*t^2$ ma dato che non c'è accelerazione ottengo:
$x-x_0 = v_0t$ ho pensato che la distanza $x - x_0$ è rappresentata dalla proiezione del diametro del cerchio sull'asse x e quindi per trovarlo ho sostituito a $x - x_0$ questo: $2r*cos\theta$ ed ho ottenuto:
$2r*cos\theta= v_0t$ ed isolando la $v_0$ ottengo:
$v_0 = (2r*cos\theta)/t$
ora ho provato a sostituire $v_0 = (2r*cos\theta)/t$ nell'equazione del movimento sull'asse Y: quindi l'equazione $y-y_0 = v_0t - 1/2 g*t^2$ diventa $y-y_0 = ( (2r*cos\theta)/t)t - 1/2 g*t^2$.
per quanto riguarda $y-y_0$ ho pensato di fare lo stesso procedimento fatto per $x- x_0$ e rappresentarlo come proiezione sull'asse Y del diametro del cerchio ($y-y_0 = 2r*sin\theta$) ed ottengo in definitiva:$2r*sin\theta = ((2r*cos\theta)/t)t - 1/2 g*t^2$ semplificando le $t$ ottengo: $2r*sin\theta = (2r*cos\theta) - 1/2 g*t^2$ ed isolando la $t$ ottengo:
$2r*sin\theta - (2r*cos\theta) = - 1/2 g*t^2$
$sqrt((((2r*sin\theta - 2r*cos\theta)*2)/g)) = - t = sqrt(((2r*(sin\theta - cos\theta))/g))$ purtroppo $sin\theta - cos\theta = 0$ il che mi fa pensare di aver sbagliato strada. mi potete dare una mano?
in tanto faccio gli auguroni a tutti
Una pallina percorre una pista circolare la cui superficie è inclinata di un angolo $\theta = 45°$ rispetto al piano orizzontale. Si calcoli la velocita' $v$ della pallina sapendo che essa percorre la pista con moto circolare uniforme di raggio $r = 0.5 m$.
il disegno della situazione dovrebbe essere:

sinceramente nn ho idea di come fare... ho pensato d ricondurre il moto della pallina come apparirebbero sull'asse $Y$ e sull'asse $X$ pero' ho dei dubbi perchè in realta' se non erro il moto dovrebbe essere un po' piu' lento agli estremi degli assi. ho provato a fare i clcoli:
Asse Y:
$y-y_0 = v_0t - 1/2 g*t^2$
Asse X:
$x-x_0 = v_0t + 1/2 a*t^2$ ma dato che non c'è accelerazione ottengo:
$x-x_0 = v_0t$ ho pensato che la distanza $x - x_0$ è rappresentata dalla proiezione del diametro del cerchio sull'asse x e quindi per trovarlo ho sostituito a $x - x_0$ questo: $2r*cos\theta$ ed ho ottenuto:
$2r*cos\theta= v_0t$ ed isolando la $v_0$ ottengo:
$v_0 = (2r*cos\theta)/t$
ora ho provato a sostituire $v_0 = (2r*cos\theta)/t$ nell'equazione del movimento sull'asse Y: quindi l'equazione $y-y_0 = v_0t - 1/2 g*t^2$ diventa $y-y_0 = ( (2r*cos\theta)/t)t - 1/2 g*t^2$.
per quanto riguarda $y-y_0$ ho pensato di fare lo stesso procedimento fatto per $x- x_0$ e rappresentarlo come proiezione sull'asse Y del diametro del cerchio ($y-y_0 = 2r*sin\theta$) ed ottengo in definitiva:$2r*sin\theta = ((2r*cos\theta)/t)t - 1/2 g*t^2$ semplificando le $t$ ottengo: $2r*sin\theta = (2r*cos\theta) - 1/2 g*t^2$ ed isolando la $t$ ottengo:
$2r*sin\theta - (2r*cos\theta) = - 1/2 g*t^2$
$sqrt((((2r*sin\theta - 2r*cos\theta)*2)/g)) = - t = sqrt(((2r*(sin\theta - cos\theta))/g))$ purtroppo $sin\theta - cos\theta = 0$ il che mi fa pensare di aver sbagliato strada. mi potete dare una mano?
in tanto faccio gli auguroni a tutti

Risposte
ma come é possibile che la velocità sia costante?vedendo la figura mi sembra che la pallina si comporti come unpendolo.
Non ho letto la tua soluzione, ma ho due perplessità sul testo:
- come può il moto essere circolare UNIFORME? Immagino che sia presente la forza peso
- supponendo di voler trovare la funzione velocità tangenziale $v_T(t)$, credo che manchino delle condizioni iniziali
io, probabilmente sbagliando, mi sono ridotto all'equazione
$ddot alpha - 2g*sin alpha=0$ , dove $alpha$ è l'angolo tra la "fune" e la linea tratteggiata nel tuo disegno giacente sul piano inclinato
- come può il moto essere circolare UNIFORME? Immagino che sia presente la forza peso
- supponendo di voler trovare la funzione velocità tangenziale $v_T(t)$, credo che manchino delle condizioni iniziali
io, probabilmente sbagliando, mi sono ridotto all'equazione
$ddot alpha - 2g*sin alpha=0$ , dove $alpha$ è l'angolo tra la "fune" e la linea tratteggiata nel tuo disegno giacente sul piano inclinato
ragazzi, non so che dirvi,
io ho copiato pari pari il testo dell'esercizio, ho ricontrollato ancora che fosse esatto e lo è!
al max provo chiedere la soluzione a qualcuno all'uni e vi faccio sapere perchè io nn riesco a risolverlo.
grazie, ciao
ps: la figura non c'era sul testo dell'esercizio, l'immagine che ho postato sopra è come la vedo io l'impostazione dell'esercizio.

al max provo chiedere la soluzione a qualcuno all'uni e vi faccio sapere perchè io nn riesco a risolverlo.
grazie, ciao
ps: la figura non c'era sul testo dell'esercizio, l'immagine che ho postato sopra è come la vedo io l'impostazione dell'esercizio.
ok, allora le cose stanno così: ho interpretato male l'esercizio! ogni tanto credo che alcuni esercizi siano descritti male e di conseguenza noi studenti li impostiamo male
in ogni caso vi scrivo la soluzione (magari a qualcuno ricapita lo stesso problema o uno simile):

la superficie nel piano è una specie di autodrmo stile americano, dove fanno le gare di velocita' piu' meno noiose del mondo
sulla pallina, di massa $m$ agiscono la forza peso $mg$ e la reazione vincolare $N$ pista. La componente verticale di $N$ fa equilibrio al peso $mg$, mentre la componente orizzontale, diretta verso il centro della pista è responsabile dell'accelerazione centripeta cui è soggetta la pallina, per cui:
$N cos\theta -mg$ (1)
$Nsin\theta -m(v^2 /R)$ (2)
dividendo membro a membro la 2 per la 1 si ha:
$v^2/Rg -tg\theta$
da cui segue:
$v = sqrt(Rg tg\theta) = 221.36 cm/s$


la superficie nel piano è una specie di autodrmo stile americano, dove fanno le gare di velocita' piu' meno noiose del mondo

sulla pallina, di massa $m$ agiscono la forza peso $mg$ e la reazione vincolare $N$ pista. La componente verticale di $N$ fa equilibrio al peso $mg$, mentre la componente orizzontale, diretta verso il centro della pista è responsabile dell'accelerazione centripeta cui è soggetta la pallina, per cui:
$N cos\theta -mg$ (1)
$Nsin\theta -m(v^2 /R)$ (2)
dividendo membro a membro la 2 per la 1 si ha:
$v^2/Rg -tg\theta$
da cui segue:
$v = sqrt(Rg tg\theta) = 221.36 cm/s$