Moto circolare orologio

[nicolo83]

sto cercando di risolvere un esercizio non riesco proprio a trovare la soluzione:
un orologio segna le ore 4 (ore minuti secondi) quale ora segnerà quando per la prima volta le lancette delle ore e dei minuti avranno stessa direzione e verso opposto [soluzione 4h 54m 33s]

allora ci si può ricondurre a due corpi che si muovono ognuno a velocità costante su di una circonferenza (moto c. uniforme)
al tempo finale i due punti si troveranno agli estremi del diametro della circonferenza cioè del segmento passante per l'origine congiungente due punti sulla circ. in pratica

al tempo $t_f$ posti punto A= lancetta ore punto B= lancetta minuti

$\vec R_A = - \vec R_B$ (vettori posizione)

allora per prima cosa mi calcolo i periodi delle due lancette

$T_A$ = $3600*12 = 43200 s$
$T_B = 3600 s$

ora mi calcolo le velocità angolari

$\omega_A = (2\pi)/(T_A) = 0,000046296 \pi s^-1$
$\omega_B = (2\pi)/(T_B) = 0,000555556 \pi s^-1$

ora tenendo presente la legge oraria per calcolare la posizione

$\theta(t_f) = \theta_0$ (angolo iniziale) $ + \omega *t_f$

trovo i due angoli iniziali di A e B (facendo riferimento ad una circonferenza goniometrica)

$\theta_A = 11/6 \pi$
$\theta_B = 1/2 \pi$

ora tenendo conto che nella posizione finale i due punti si trovano a mezzo giro di circonferenza come distanza l'uno dall'altro ( cioè $\pi$)
impongo che

$\theta_A(t_f)= \theta_A + \omega_A *t_f$
$\theta_B(t_f)+ \pi = \theta_B + \omega_B *t_f$

quindi eguagliando le due equazioni ed esplicitando il tempo finale ottengo

$t_f = (\theta_B - \theta_A - \pi)/(\omega_A - \omega_B)$

otterrei cosi il risultato in secondi per riportarmi in ore divido 2 volte per 60

purtroppo il risultato è diverso, il procedimento mi sembra corretto; mi è sfuggito qualcosa?

[minomic]

Ciao, non ho verificato i tuoi calcoli ma secondo me quello che hai sbagliato è il sistema di riferimento e gli angoli iniziali.
Ma andiamo con ordine. Come unità di tempo fondamentale ho utilizzato i minuti per semplificare un po' i numeri ma ovviamente il procedimento non cambia. $$
\omega_A = \frac{2\pi}{T_A} = \frac{2\pi}{60\cdot 12} = 0.008726\ \frac{rad}{min}
$$$$
\omega_B = \frac{2\pi}{T_B} = \frac{2\pi}{60} = 0.1047197\ \frac{rad}{min}.
$$ Ora passiamo agli angoli: le lancette ruotano in senso orario ( ) quindi non conviene utilizzare il nostro solito sistema di riferimento (positivo in verso antiorario). Assumiamo lo zero sul semiasse positivo delle ascisse (come al solito) e prendiamo come verso positivo quello orario. L'angolo iniziale della lancetta delle ore sarà $$
\theta_A(0) = \frac{\pi}{6}
$$ mentre quello della lancetta dei minuti $$\theta_B(0) = -\frac{\pi}{2}.$$ A questo punto si procede come avevi detto tu, scrivendo $$-\frac{\pi}{2}+\omega_B\cdot t = \pi + \frac{\pi}{6} + \omega_A \cdot t$$ e si ricava $$t = \frac{\pi + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}}{\omega_B - \omega_A} = 54\ min.$$
Fammi sapere se hai altri dubbi.

[nicolo83]

grazie, mi era sfuggito il sistema di riferimento "invertito" ora tutto torna.

[minomic]

Prego!