Moto circolare lungo curva inclinata

[frapp1]

Ciao,

tra i compiti delle vacanze di fisica (classe 3, liceo sc. umane) la prof ci ha dato questo esercizio che ho svolto ma il risultato non viene corretto, non capisco se sbaglio qualcosa nel ragionamento.

La situazione è:
sferetta omogenea m=60g che corre all'interno di una ciotola (r=20cm) ad una quota h=10cm dalla base su un piano orizzontale di moto circ. uniforme.
Incognita: velocità v della sferetta [1,72]

Io ho provato a risolverlo con conservazione delle forze in gioco (peso P verso il basso, reazione vincolare N inclinata di una angolo $ alpha$:

$ { ( R_y-mg=ma_y -> Rcosalpha=mg),( R_x=ma_x -> Rsenalpha=mv^2/r ):} $

svolgendolo anche con considerazioni geometriche sono arrivato a dire
$ v=sqrt(gr/2)=sqrt(9.81*0.2/2)=0.99 m/s $
mentre l'es propone 1,72 m/s come valore corretto.

Chi legge potrebbe spiegarmi dove sbaglio?

Thanks!!

[RenzoDF]

Sbagli a ricavare $v$, in quanto nella tua relazione risulta indipendente da $\alpha$; occhio poi alla tua seconda relazione.

Ricavato il raggio della traiettoria in funzione di $r$ e $\alpha$ (angolo fra la verticale e la congiungente centro sfera ciotola - centro sferetta),

$v=\sqrt(g\ r\ \sin^2\alpha/\cos\alpha)$

dove, ovviamente

$\alpha=arccos((r-h)/r)$

"frapp":... tra i compiti delle vacanze di fisica (classe 3, liceo sc. umane) ...

Giusto una mia curiosità; ma in terza liceo avete già affrontato laplaciano, hamiltoniana e potenziale vettore ritardato?

Complimenti

[frapp1]

Ho fatto la domanda con il profilo di mio fratello.
In questo periodo non mi può aiutare per cui mi ha consigliato di scrivere qua, potevo?

[frapp1]

RenzoDF, ho capito la tua risoluzione ma non ancora perchè il mio procedimento non ha funzionato (sul quaderno ne avevo fatto uno simile anche senza attrito e non vedo le differenze).
Dal sistema che ho scritto ho fatto:
$ (eq. I)/(eq. II) $ ottenendo $ tgalpha=v^2/(r*g) $.
Ora, non conosco nè $alpha$ nè $r_c$ ma appartengono allo stesso triangolo rettangolo per cui ho impostato la relazione:



$ h/(r_c)=tgalpha $ che quindi messa nell'eq. trovata prima mi porta al risultato di sopra.
Perchè?

[RenzoDF]

Ti consiglio di controllare l'uguaglianza di quei tre angoli a e quella $r$ a denominatore della tua seconda relazione del post iniziale.

Corretto $r$ con $r_c$ nella tua seconda relazione iniziale, con la tua scelta della variabili avrai

$\tan\alpha=r_c/(r-h)$

e quindi dal rapporto fra seconda e prima relazione

$\tan\alpha=v^2/(r_c \ g)$

$v=r \sin\alpha\ \sqrt{g/(r-h)$

o alternativamente

$v=\sqrt(g \ r\ \sin^2\alpha/\cos\alpha)$