Moto circolare
Una particella uniforme si muove lungo una guida circolare di raggio R=5m. In un sistema di assi cartesiani ortogolali (x,y) con origine nel centro della guida, la particella si muove in modo che l'angolo \(\displaystyle \phi \) fra il raggio vettore R della particella e l'asse x segua la legge oraria:
\(\displaystyle \phi(t) =\) \(\displaystyle \phi(0)(e^{-\lambda*t}) \)
dove, \(\displaystyle \phi(0)=2.0 rad \) e \(\displaystyle \lambda=0.10 s^{-1} \)
Si scrivano le componenti cartesiane del vettore accelerazione a della particella per t>0.
Si diano i valori numerici all'istante t=t2 in cui l'angolo è pari a 15°
Ho trovato che
\(\displaystyle vx(t)= -R(\phi(0)(e^{-\lambda*t})*(-\lambda))*sin( \phi(0)(e^{-\lambda*t} ))\)
e \(\displaystyle vy(t)=R(\phi(0)(e^{-\lambda*t})*(-\lambda))*cos( \phi(0)(e^{-\lambda*t} )) \)
ora per trovare l'accelerazione basta fare la derivata di queste 2 formule giusto? solo che non so come compartarmi in quanto è cambiato \(\displaystyle \phi \) non è più dato dalla legge oraria di prima, ma è un numero giusto?
\(\displaystyle \phi(t) =\) \(\displaystyle \phi(0)(e^{-\lambda*t}) \)
dove, \(\displaystyle \phi(0)=2.0 rad \) e \(\displaystyle \lambda=0.10 s^{-1} \)
Si scrivano le componenti cartesiane del vettore accelerazione a della particella per t>0.
Si diano i valori numerici all'istante t=t2 in cui l'angolo è pari a 15°
Ho trovato che
\(\displaystyle vx(t)= -R(\phi(0)(e^{-\lambda*t})*(-\lambda))*sin( \phi(0)(e^{-\lambda*t} ))\)
e \(\displaystyle vy(t)=R(\phi(0)(e^{-\lambda*t})*(-\lambda))*cos( \phi(0)(e^{-\lambda*t} )) \)
ora per trovare l'accelerazione basta fare la derivata di queste 2 formule giusto? solo che non so come compartarmi in quanto è cambiato \(\displaystyle \phi \) non è più dato dalla legge oraria di prima, ma è un numero giusto?
Risposte
Intanto:
$[phi(t)=phi(0)e^(-lambdat)] rarr [dotphi(t)=-lambdaphi(0)e^(-lambdat)] rarr [ddotphi(t)=lambda^2phi(0)e^(-lambdat)]$
Quindi:
$\{(x(t)=Rcos[phi(t)]),(y(t)=Rsen[phi(t)]):} rarr \{(dotx(t)=-Rdotphi(t)sen[phi(t)]),(doty(t)=Rdotphi(t)cos[phi(t)]):} rarr \{(ddotx(t)=-Rddotphi(t)sen[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2cos[phi(t)]),(ddoty(t)=Rddotphi(t)cos[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2sen[phi(t)]):}$
Ora devi semplicemente sostituire.
$[phi(t)=phi(0)e^(-lambdat)] rarr [dotphi(t)=-lambdaphi(0)e^(-lambdat)] rarr [ddotphi(t)=lambda^2phi(0)e^(-lambdat)]$
Quindi:
$\{(x(t)=Rcos[phi(t)]),(y(t)=Rsen[phi(t)]):} rarr \{(dotx(t)=-Rdotphi(t)sen[phi(t)]),(doty(t)=Rdotphi(t)cos[phi(t)]):} rarr \{(ddotx(t)=-Rddotphi(t)sen[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2cos[phi(t)]),(ddoty(t)=Rddotphi(t)cos[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2sen[phi(t)]):}$
Ora devi semplicemente sostituire.
viva i compitini di ingegneria di Trento! 
"Matt_Bon":
viva i compitini di ingegneria di Trento!
si proprio quelli
"speculor":
Intanto:
$[phi(t)=phi(0)e^(-lambdat)] rarr [dotphi(t)=-lambdaphi(0)e^(-lambdat)] rarr [ddotphi(t)=lambda^2phi(0)e^(-lambdat)]$
Quindi:
$\{(x(t)=Rcos[phi(t)]),(y(t)=Rsen[phi(t)]):} rarr \{(dotx(t)=-Rdotphi(t)sen[phi(t)]),(doty(t)=Rdotphi(t)cos[phi(t)]):} rarr \{(ddotx(t)=-Rddotphi(t)sen[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2cos[phi(t)]),(ddoty(t)=Rddotphi(t)cos[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2sen[phi(t)]):}$
Ora devi semplicemente sostituire.
Ok, però adesso il mio angolo \(\displaystyle \phi \) non è più dato dalla legge oraria iniziale no? adesso il mio angolo è 15°!!
Non capisco il senso di fare la derivata dell'angolo in questo caso...
Dovresti determinare l'istante in cui l'angolo vale $15°$. Tuttavia, osservando che:
$[phi(t)=phi(0)e^(-lambdat)] rarr [dotphi(t)=-lambdaphi(t)] rarr [ddotphi(t)=lambda^2phi(t)]$
fai prima a sostituire il valore dell'angolo medesimo piuttosto che passare per il tempo. Ovviamente, devi esprimere l'angolo in radianti.
Devi sostituire dopo aver calcolato le derivate come ti ho mostrato nel mio primo intervento, non puoi sostituire prima. Insomma, prima si deriva la funzione e poi si sostituisce, non il contrario. Scusa ma, hai studiato un po' di Analisi?
$[phi(t)=phi(0)e^(-lambdat)] rarr [dotphi(t)=-lambdaphi(t)] rarr [ddotphi(t)=lambda^2phi(t)]$
fai prima a sostituire il valore dell'angolo medesimo piuttosto che passare per il tempo. Ovviamente, devi esprimere l'angolo in radianti.
"Oo.tania":
Non capisco il senso di fare la derivata dell'angolo in questo caso...
Devi sostituire dopo aver calcolato le derivate come ti ho mostrato nel mio primo intervento, non puoi sostituire prima. Insomma, prima si deriva la funzione e poi si sostituisce, non il contrario. Scusa ma, hai studiato un po' di Analisi?
cioè mi conviene sostituire 15° (trasformato in radianti ) nella derivata seconda della legge oraria?
Non riesco a seguire il ragionamento
Non riesco a seguire il ragionamento
Allora:
$\{(ddotx(t)=-Rddotphi(t)sen[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2cos[phi(t)]),(ddoty(t)=Rddotphi(t)cos[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2sen[phi(t)]),(dotphi(t)=-lambdaphi(t)),(ddotphi(t)=lambda^2phi(t)):} rarr$
$rarr \{(ddotx(t)=-Rlambda^2phi(t)sen[phi(t)]-Rlambda^2[phi(t)]^2cos[phi(t)]),(ddoty(t)=Rlambda^2phi(t)cos[phi(t)]-Rlambda^2[phi(t)]^2sen[phi(t)]):} rarr$
$rarr \{(ddotx(t)=-Rlambda^2phi(t)[sen[phi(t)]+phi(t)cos[phi(t)]]),(ddoty(t)=Rlambda^2phi(t)[cos[phi(t)]-phi(t)sen[phi(t)]]):}$
In questo modo puoi esprimere l'accelerazione in funzione dell'angolo senza passare per il tempo. Ora basta sostituire, tutte le grandezze sono note.
$\{(ddotx(t)=-Rddotphi(t)sen[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2cos[phi(t)]),(ddoty(t)=Rddotphi(t)cos[phi(t)]-R[dotphi(t)]^2sen[phi(t)]),(dotphi(t)=-lambdaphi(t)),(ddotphi(t)=lambda^2phi(t)):} rarr$
$rarr \{(ddotx(t)=-Rlambda^2phi(t)sen[phi(t)]-Rlambda^2[phi(t)]^2cos[phi(t)]),(ddoty(t)=Rlambda^2phi(t)cos[phi(t)]-Rlambda^2[phi(t)]^2sen[phi(t)]):} rarr$
$rarr \{(ddotx(t)=-Rlambda^2phi(t)[sen[phi(t)]+phi(t)cos[phi(t)]]),(ddoty(t)=Rlambda^2phi(t)[cos[phi(t)]-phi(t)sen[phi(t)]]):}$
In questo modo puoi esprimere l'accelerazione in funzione dell'angolo senza passare per il tempo. Ora basta sostituire, tutte le grandezze sono note.
perfetto grazie 10000
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo