Moto armonico..Dubbio su condizioni iniziali?
Mi è venuto un dubbio che non riesco a spiegarmi; se io poggio una massa su una molla, la sua velocità iniziale è nulla e lo spazio iniziale è anch'esso nullo: $x(0)=Asen(φ)=0$ quindi deduco che φ è zero; d'altra parte per la velocità ho che: $v(0)=ωAcos(φ)=0$ e in questo caso φ=π/2..Come si spiega questo?
Risposte
Se tu hai un sistema a riposo è l'ampiezza quella che è nulla, cioè A, la fase è indeterminata.
mm quindi se come condizioni iniziali ho che la velocità all'istante 0 è nulla e lo spazio al tempo 0 è 0, e voglio ricavarmi l'ampiezza, sapendo oltre a questo solo la pulsazione mi servono necessariamente altre condizioni?
Certamente! Infattl l'ampiezza dipende dall'energia in gioco, e quindi dipende dalle condizioni al contorno.
@claudio.s
Sei molto disordinato nel porre i tuoi dubbi.
Falco5x ti ha risposto sul dubbio specifico: se il moto è del tipo $x(t)=A sin(omega t + phi)$ allora se all'istante $t=0$ la posizione $x$ è pari a zero, così come la velocità, allora inevitabilmente $A=0$ e $phi$ è indeterminata.
Poi tu vorresti che chi ti risponde ti legga nel pensiero e capisca che, forse, quando dici che la massa è messa sopra la molla stai assumendo che ci sia anche una forza peso, be' in tal caso allora non vale più quanto scritto in precedenza perché l'equazione differenziale di partenza è diversa e/o la $x$ assume un significato leggermente diverso.
Ti consiglio di partire dall'equazione differenziale se il dubbio è quello e pensarci su da te per un po'.
Sei molto disordinato nel porre i tuoi dubbi.
Falco5x ti ha risposto sul dubbio specifico: se il moto è del tipo $x(t)=A sin(omega t + phi)$ allora se all'istante $t=0$ la posizione $x$ è pari a zero, così come la velocità, allora inevitabilmente $A=0$ e $phi$ è indeterminata.
Poi tu vorresti che chi ti risponde ti legga nel pensiero e capisca che, forse, quando dici che la massa è messa sopra la molla stai assumendo che ci sia anche una forza peso, be' in tal caso allora non vale più quanto scritto in precedenza perché l'equazione differenziale di partenza è diversa e/o la $x$ assume un significato leggermente diverso.
Ti consiglio di partire dall'equazione differenziale se il dubbio è quello e pensarci su da te per un po'.
Un punto materiale di massa m è sospeso tramite un filo verticale ed è collegato al suolo da una molla, di costante elastica K=70N/m, che è in condizioni di riposo; la tensione del filo è T=4.9N. Si taglia il filo; calcolare:
1)la massima distanza percorsa dal punto
2)la posizione in cui la velocità del punto è massima
3)il valore massimo della velocità
ho scritto l'equazione differenziale ed ho trovato la pulsazione; ho pensato che lo spazio massimo percorso è semplicemente A, ovvero quando l'argomento del seno vale 1..Ma è possibilissimo sia una boiata e sia totalmente fuori strada
1)la massima distanza percorsa dal punto
2)la posizione in cui la velocità del punto è massima
3)il valore massimo della velocità
ho scritto l'equazione differenziale ed ho trovato la pulsazione; ho pensato che lo spazio massimo percorso è semplicemente A, ovvero quando l'argomento del seno vale 1..Ma è possibilissimo sia una boiata e sia totalmente fuori strada
il mio problema consisteva proprio nel fatto che non avevo condizioni iniziali o magari le ho ma non vengono sottolineate nel testo e le devo capire io..
Va detto che questo esercizio si risolve con pochi passaggi usando la conservazione dell'energia, considerando il potenziale elastico, quello della gravità e l'energia cinetica.
Comunque certamente puoi risolverlo scrivendo direttamente l'equazione del moto e poi calcolando le costanti dalle condizioni iniziali, però devi farlo bene.
Che equazione differenziale hai scritto come l'hai risolta?
Comunque certamente puoi risolverlo scrivendo direttamente l'equazione del moto e poi calcolando le costanti dalle condizioni iniziali, però devi farlo bene.
Che equazione differenziale hai scritto come l'hai risolta?
$mg-kx=ma$ da cui sostituendo $x(t)=Asen(ωt+φ)$ e $a(t)=-(ω^2)Asen(ωt+φ)$ ho ricavato ω però so solo quello quindi forse questo metodo non è molto utile per l'esercizio..
Non mi pare proprio che sostituendo $x(t)=A sin (omega t + varphi)$ nella equazione differenziale che hai scritto si verifica che quella $x(t)$ sia soluzione dell'equazione differenziale.
Come ti dicevo è corretto seguire questa strada, ma devi fare i passaggi giusti , senza dare nulla per scontato...
Come ti dicevo è corretto seguire questa strada, ma devi fare i passaggi giusti , senza dare nulla per scontato...
mm da cosa si capisce che non è soluzione?Cioè quando ho un'equazione differenziale con la funzione e la sua derivata seconda la soluzione non è sempre del tipo Asen(..)?
La sostituisci nella equazione differenziale e vedi che l'uguaglianza non ti torna.
La soluzione dell'equazione è $x(t)=A sin (omega t + varphi) + mg/k$, come puoi verificare sostituendola nell'equazione differenziale che hai scritto. Quindi? (Ti faccio notare che stiamo assumendo $x=0$ la posizione iniziale della massa al momento in cui il filo si stacca, per cui ora avendo l'equazione del moto è facile trovare $A$ e $varphi$).
La soluzione dell'equazione è $x(t)=A sin (omega t + varphi) + mg/k$, come puoi verificare sostituendola nell'equazione differenziale che hai scritto. Quindi? (Ti faccio notare che stiamo assumendo $x=0$ la posizione iniziale della massa al momento in cui il filo si stacca, per cui ora avendo l'equazione del moto è facile trovare $A$ e $varphi$).
okok trovato x(t) ok mi è chiaro; un'ultima cosa: se io avessi sostituito x(t)=Asen(ωt+φ) nell'equazione differenziale avrei ottenuto: Asen(ωt+φ)[(-ω^2)+k/m]=g; quindi per avere uguaglianza avrei dovuto porre (-ω^2)+k/m=0..Tuttavia g è diverso da 0 e quindi non torna, è per questo che non andava bene?
Certo, tu sai la soluzione dell'equazione differenziale generica $ddot x + omega^2 x=0$ e devi ricondurti a quella. In questo caso appare un termine costante in più, tuttavia è facile con pochi passaggi eliminare quella costante e ricondursi a quella equazione trovando infine la soluzione, che è appunto quella che ti ho scritto (basta fare la sostituzione $x=z+mg/k$ e risolvere in $z$ tornando poi infine a $x$) .
Perfetto grazie!!!
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