Moto armonico semplice
Salve a tutti, volevo chiedervi che ne pensate della mia strategia risolutiva per il seguente esercizio:
Un punto descrive un moto armonico semplice sull’asse $x$, di ampiezza $A= 10 cm$ e pulsazione $\omega=4s^-1$.
Calcolare:
a)i valori massimi e minimi di velocità e accelerazione
b) la velocità e l’accelerazione quando il corpo è a $6 cm$ dalla posizione di equilibrio $(x = 0)$
c) il tempo necessario affinché il corpo si sposti da $x = 0$ a $x = 8cm$
Per iniziare è corretto questo ragionamento? ovvero dire che la velocità assume il valore massimo nel centro di oscillazione (assunto come
origine O) dove vale $\omega*A$ e si annulla agli estremi ($x=A$ ed $x=-A$) dove si inverte
il senso del moto. L 'accelerazione si annulla nel centro di oscillazione ed assume il valore massimo in modulo $\omega^2*A$, agli estremi dove si inverte la velocità.
Quindi tornando al mio problema, ad $A/2$ la velocità è massima e l'accelerazione e nulla, mentre agli estremi, quindi $0 cm$ e $10 cm$ la velocità è nulla e l'accelerazione è massima?
Un punto descrive un moto armonico semplice sull’asse $x$, di ampiezza $A= 10 cm$ e pulsazione $\omega=4s^-1$.
Calcolare:
a)i valori massimi e minimi di velocità e accelerazione
b) la velocità e l’accelerazione quando il corpo è a $6 cm$ dalla posizione di equilibrio $(x = 0)$
c) il tempo necessario affinché il corpo si sposti da $x = 0$ a $x = 8cm$
Per iniziare è corretto questo ragionamento? ovvero dire che la velocità assume il valore massimo nel centro di oscillazione (assunto come
origine O) dove vale $\omega*A$ e si annulla agli estremi ($x=A$ ed $x=-A$) dove si inverte
il senso del moto. L 'accelerazione si annulla nel centro di oscillazione ed assume il valore massimo in modulo $\omega^2*A$, agli estremi dove si inverte la velocità.
Quindi tornando al mio problema, ad $A/2$ la velocità è massima e l'accelerazione e nulla, mentre agli estremi, quindi $0 cm$ e $10 cm$ la velocità è nulla e l'accelerazione è massima?
Risposte
Ciao obidream,
non so aiutarti ma vorrei sottoporti un dubbio:
se gli estremi sono $x_1=A$ ed $x_2=-A$, hai assunto che il punto medio coincida con l'origine 0, allora il punto medio non è $A/2$ ma appunto l'origine, e gli estremi sono -10 cm e +10 cm per un intervallo totale di 20 cm.
non so aiutarti ma vorrei sottoporti un dubbio:
se gli estremi sono $x_1=A$ ed $x_2=-A$, hai assunto che il punto medio coincida con l'origine 0, allora il punto medio non è $A/2$ ma appunto l'origine, e gli estremi sono -10 cm e +10 cm per un intervallo totale di 20 cm.
Grazie per l'aiuto gio, in effetti essendo $\omega!=0$, per far si che l'accelerazione sia nulla al centro deve essere necessariamente 0 l'altro fattore 
o almeno credo..
o almeno credo..
Ciao obidream, devi sapere che ho provato molte volte a studiare il moto armonico, ma ho sempre avuto l'impressione di non averlo compreso a sufficienza. Provo con te a vedere cosa si riesce a capire.
Se $omega$ fosse 0 credo non ci sarebbe nessun moto...
Nè la velocità nè la accelerazione sono costanti nel moto armonico, ma dipendono dal tempo, oppure, vista in un'altra maniera dalla posizione.
Sei d'accordo?
A questo punto basterebbe vedere che tipo di dipendenza c'è fra queste grandezze e potremmo rispondere alle domande dell'esercizio.
Allora se disegno una circonferenza posso immaginare un punto che si muove di moto circolare uniforme con velocità angolare $omega$, questo punto sarà sottoposto ad una accelerazione centripeta di modulo $r*omega^2$?
Ora immagino di osservare la posizione della proiezione di questo punto lungo l'asse orizzontale, il punto quindi oscillerà tra i due estremi del diametro orizzontale sottoposto ad una accelerazione il cui modulo sarà variabile a seconda della posizione del punto sul diametro o se vogliamo dell'angolo di cui è ruotato il raggio che individua la posizione del punto sulla circonferenza.
Il modulo della accelerazione centripeta è sempre lo stesso, ma la sua proiezione sul diametro varia, sarà massima aagli estremi e nulla al centro, corretto?
Se $omega$ fosse 0 credo non ci sarebbe nessun moto...
Nè la velocità nè la accelerazione sono costanti nel moto armonico, ma dipendono dal tempo, oppure, vista in un'altra maniera dalla posizione.
Sei d'accordo?
A questo punto basterebbe vedere che tipo di dipendenza c'è fra queste grandezze e potremmo rispondere alle domande dell'esercizio.
Allora se disegno una circonferenza posso immaginare un punto che si muove di moto circolare uniforme con velocità angolare $omega$, questo punto sarà sottoposto ad una accelerazione centripeta di modulo $r*omega^2$?
Ora immagino di osservare la posizione della proiezione di questo punto lungo l'asse orizzontale, il punto quindi oscillerà tra i due estremi del diametro orizzontale sottoposto ad una accelerazione il cui modulo sarà variabile a seconda della posizione del punto sul diametro o se vogliamo dell'angolo di cui è ruotato il raggio che individua la posizione del punto sulla circonferenza.
Il modulo della accelerazione centripeta è sempre lo stesso, ma la sua proiezione sul diametro varia, sarà massima aagli estremi e nulla al centro, corretto?
Forza , ragazzi , andiamo avanti , scriviamo una equazioncina con il coseno , e facciamo una derivata prima e una derivata seconda ....Obi , finora tutto bene , sei un vero stratega ( io scherzo ogni tanto , eh ! )
Grazie dell'incoraggiamento Navigatore!
allora mi lancio... tanto se sbaglio ci sei tu a correggermi!
la legge oraria dovrebbe essere questa
$x=Acos(omega*t+phi)$ dove $phi$ dovrebbe essere 0 se partiamo dall'estremo +A
di conseguenza la velocità dovrebbe essere la derivata di x rispetto al tempo
$dx/dt=-A*omega*sen(omega*t)$
passiamo alla accelerazione che è la derivata seconda
$(d^2x)/(dt^2)= -A*omega^2*cos(omega*t)$
ora per rispondere alle domande dell'esercizio penso sia più semplice farsi un disegno e riconoscere triangoli simili ed applicare le proporzioni:
se la distanza dal punto di equilibrio è 6 cm, riconosco la seguente proporzione:
$6cm:r=a:a_c$
dove $a_c$ è l'accelerazione centripeta
$6cm:r=a:(omega^2*r)$
di conseguenza $a=6cm*omega^2*(10cm)/(10cm)=6*10^(-2)m*16*s^(-2)=0,96m/s^2$
cosa ne dici navigatore?
allora mi lancio... tanto se sbaglio ci sei tu a correggermi!
la legge oraria dovrebbe essere questa
$x=Acos(omega*t+phi)$ dove $phi$ dovrebbe essere 0 se partiamo dall'estremo +A
di conseguenza la velocità dovrebbe essere la derivata di x rispetto al tempo
$dx/dt=-A*omega*sen(omega*t)$
passiamo alla accelerazione che è la derivata seconda
$(d^2x)/(dt^2)= -A*omega^2*cos(omega*t)$
ora per rispondere alle domande dell'esercizio penso sia più semplice farsi un disegno e riconoscere triangoli simili ed applicare le proporzioni:
se la distanza dal punto di equilibrio è 6 cm, riconosco la seguente proporzione:
$6cm:r=a:a_c$
dove $a_c$ è l'accelerazione centripeta
$6cm:r=a:(omega^2*r)$
di conseguenza $a=6cm*omega^2*(10cm)/(10cm)=6*10^(-2)m*16*s^(-2)=0,96m/s^2$
cosa ne dici navigatore?
Metti la fase $\phi = 0 $ fin dall'espressione di $x$ , così elimini un inutile ingombro .
Va bene per le espressioni della velocità e dell'accelerazione .
Il problema vuole sapere innanzitutto i valori massimi di velocità e accelerazione ... ma io non ci penso neanche a prendere la calcolatrice per queste due fesserie....lo fate voi , casseruola ! Non è giusto approfittarsi così dei vecchietti....
Vediamo l'accelerazione e la velocità quando $x=6 cm$
Se guardi l'espressione della accelerazione , ti rendi conto che la puoi scrivere anche cosi :
$ (d^2x)/(dt^2) = -\omega^2*x $ , ti sembra ? Quindi , puoi calcolare subito l'accelerazione : $ -\omega^2*x = -96 (cm)/s^2 $ , che è uguale al valore da te calcolato , ma senza fare proporzioni . Il segno "meno" lo spiega Obi .
E per quanto riguarda la velocità ? Ti dò un indizio ( che serve per le strategie di soluzione ) : se conosci il coseno di un angolo , puoi calcolare subito il seno dello stesso angolo , con una fondamentale formuletta di trigonometria .
Stavolta ho preso la macchinetta , e ho trovato che la velocità è di $-32 (cm)/s$
E per quanto riguarda il tempo che il punto impiega , per andare dalla ascissa $x=0$ all'ascissa $x=8cm$ , come cavolo si fa ?
Ti dò un altro indizio : traccia la circonferenza di centro $O$ e raggio $R = 10 cm $ , e disegna due assi cartesiani $Oxy$ soliti . Mentre il punto $P$ sull'asse $x$ si sposta da $O$ alla posizione $(8,0)$ , il punto $Q$ della circonferenza , di cui $P$ è la proiezione su $x$ , descrive l'arco corrispondente nello stesso tempo, con velocità periferica costante . Ovvero , il raggio vettore ruota con velocità angolare costante .
Conosci il periodo $T$ del moto : $ T = (2*\pi)/\omega = 1,57 s $ .
Puoi calcolare l'angolo $\alpha$ descritto dal raggio vettore $OQ$ , mediante : $\alpha = arcsen....$
E quindi , con una semplice proporzione , puoi ricavare il tempo richiesto .
Dovresti avere : $ t = 0.23 s $ , se ho fatto bene i conti .
No , non è giusto approfittarsi dei vecchietti...Ma se vuoi , metti pure qui i tuoi passaggi e calcoli .
Va bene per le espressioni della velocità e dell'accelerazione .
Il problema vuole sapere innanzitutto i valori massimi di velocità e accelerazione ... ma io non ci penso neanche a prendere la calcolatrice per queste due fesserie....lo fate voi , casseruola ! Non è giusto approfittarsi così dei vecchietti....
Vediamo l'accelerazione e la velocità quando $x=6 cm$
Se guardi l'espressione della accelerazione , ti rendi conto che la puoi scrivere anche cosi :
$ (d^2x)/(dt^2) = -\omega^2*x $ , ti sembra ? Quindi , puoi calcolare subito l'accelerazione : $ -\omega^2*x = -96 (cm)/s^2 $ , che è uguale al valore da te calcolato , ma senza fare proporzioni . Il segno "meno" lo spiega Obi .
E per quanto riguarda la velocità ? Ti dò un indizio ( che serve per le strategie di soluzione ) : se conosci il coseno di un angolo , puoi calcolare subito il seno dello stesso angolo , con una fondamentale formuletta di trigonometria .
Stavolta ho preso la macchinetta , e ho trovato che la velocità è di $-32 (cm)/s$
E per quanto riguarda il tempo che il punto impiega , per andare dalla ascissa $x=0$ all'ascissa $x=8cm$ , come cavolo si fa ?
Ti dò un altro indizio : traccia la circonferenza di centro $O$ e raggio $R = 10 cm $ , e disegna due assi cartesiani $Oxy$ soliti . Mentre il punto $P$ sull'asse $x$ si sposta da $O$ alla posizione $(8,0)$ , il punto $Q$ della circonferenza , di cui $P$ è la proiezione su $x$ , descrive l'arco corrispondente nello stesso tempo, con velocità periferica costante . Ovvero , il raggio vettore ruota con velocità angolare costante .
Conosci il periodo $T$ del moto : $ T = (2*\pi)/\omega = 1,57 s $ .
Puoi calcolare l'angolo $\alpha$ descritto dal raggio vettore $OQ$ , mediante : $\alpha = arcsen....$
E quindi , con una semplice proporzione , puoi ricavare il tempo richiesto .
Dovresti avere : $ t = 0.23 s $ , se ho fatto bene i conti .
No , non è giusto approfittarsi dei vecchietti...Ma se vuoi , metti pure qui i tuoi passaggi e calcoli .
Ma Gio ha scritto male la legge oraria di un moto armonico semplice:
$x(t)=Asin(\omegat+\Phi$
Ma poi secondo me non si dovrebbe parlare di moto circolare uniforme, in fondo è un problema di cinematica unidimensionale, quindi abbiamo semplicemente un punto materiale che fa avanti e indietro sull'asse x giusto?
$x(t)=Asin(\omegat+\Phi$
Ma poi secondo me non si dovrebbe parlare di moto circolare uniforme, in fondo è un problema di cinematica unidimensionale, quindi abbiamo semplicemente un punto materiale che fa avanti e indietro sull'asse x giusto?
Obidream ,
Se scrivi $x= A sen (\omega*t )$ ( lascia perdere la fase) , significa che all'istante $t=0$ il punto si trova nell'origine.
Se invece scrivi $x= A cos (\omega*t )$ , significa che all'istante $t=0$ il punto si trova in $ (A,0)$
Gio non ha scritto male la legge oraria , ha solo considerato uno sfasamento iniziale di 90° , mettendo il coseno anzichè il seno .
E' vero che il moto armonico semplice è un moto di "va e vieni" di un punto su un segmento , ma si studia agevolmente proprio come proiezione , su un diametro , del moto di un punto che percorre la circonferenza con velocità angolare costante . Parlane col tuo prof , così ti sarà più chiaro .
Se scrivi $x= A sen (\omega*t )$ ( lascia perdere la fase) , significa che all'istante $t=0$ il punto si trova nell'origine.
Se invece scrivi $x= A cos (\omega*t )$ , significa che all'istante $t=0$ il punto si trova in $ (A,0)$
Gio non ha scritto male la legge oraria , ha solo considerato uno sfasamento iniziale di 90° , mettendo il coseno anzichè il seno .
E' vero che il moto armonico semplice è un moto di "va e vieni" di un punto su un segmento , ma si studia agevolmente proprio come proiezione , su un diametro , del moto di un punto che percorre la circonferenza con velocità angolare costante . Parlane col tuo prof , così ti sarà più chiaro .
Grazie per i chiarimenti, il prof non si dedica agli esercizi, dovrebbe farlo l'esercitatore, soltanto che il tizio che avevamo oggi ha evitato accuratamente di dare almeno le soluzioni ( sarebbe utile far notare questo al docente).
Sisi, so che seno e coseno rappresentano la stessa curva traslata di $\pi/2$, probabilmente mi sembrava più semplice considerare la prima legge, scritta come di solito si trova sui libri
Spiego il segno meno ( ci provo almeno)
Per un moto armonico semplice, lungo un asse rettilineo la legge oraria è la seguente:
$x(t)=Asin(\omegat+\phi)$
La velocità, che sappiamo essere definita, in cinematica unidimensionale, come $v(t)=dx/dt$, sarà quindi uguale a:
$v(t)=\omega*Acos(\omegat +\phi)$
L'accelerazione, definita come $a(t)=(dv)/(dt)$ sarà quindi la derivata seconda della legge oraria quindi:
$a(t)=-\omega^2*Asin(\omegat+\phi)$
Si ottiene quindi che $a(t)=-\omega^2x(t)$, da cui si ricava l'equazione differenziale del moto armonico:
$(d^2x)/(dt^2)=-\omega^2x$
Sisi, so che seno e coseno rappresentano la stessa curva traslata di $\pi/2$, probabilmente mi sembrava più semplice considerare la prima legge, scritta come di solito si trova sui libri
"navigatore":
Vediamo l'accelerazione e la velocità quando $x=6 cm$
Se guardi l'espressione della accelerazione , ti rendi conto che la puoi scrivere anche cosi :
$ (d^2x)/(dt^2) = -\omega^2*x $ , ti sembra ? Quindi , puoi calcolare subito l'accelerazione : $ -\omega^2*x = -96 (cm)/s^2 $ , che è uguale al valore da te calcolato , ma senza fare proporzioni . Il segno "meno" lo spiega Obi .
Spiego il segno meno ( ci provo almeno)
Per un moto armonico semplice, lungo un asse rettilineo la legge oraria è la seguente:
$x(t)=Asin(\omegat+\phi)$
La velocità, che sappiamo essere definita, in cinematica unidimensionale, come $v(t)=dx/dt$, sarà quindi uguale a:
$v(t)=\omega*Acos(\omegat +\phi)$
L'accelerazione, definita come $a(t)=(dv)/(dt)$ sarà quindi la derivata seconda della legge oraria quindi:
$a(t)=-\omega^2*Asin(\omegat+\phi)$
Si ottiene quindi che $a(t)=-\omega^2x(t)$, da cui si ricava l'equazione differenziale del moto armonico:
$(d^2x)/(dt^2)=-\omega^2x$
Bravo , Obidream ! e come vedi , l'equazione differenziale del moto è la stessa, sia che consideri il seno sia che consideri il coseno . Ti vengono i calcoli ?
Grazie a navigatore, molto disponibile e molto chiaro.
Sì ho messo il coseno perchè faccio partire il moto da un estremo, lo immagino come il moto di una massa attaccata ad una molla, se la molla non viene deformata non inizia nessun moto, che ne dite?
Sì ho messo il coseno perchè faccio partire il moto da un estremo, lo immagino come il moto di una massa attaccata ad una molla, se la molla non viene deformata non inizia nessun moto, che ne dite?
Tutto dipende da dove metti l'origine , Gio .
"navigatore":
Bravo , Obidream ! e come vedi , l'equazione differenziale del moto è la stessa, sia che consideri il seno sia che consideri il coseno . Ti vengono i calcoli ?
Si, $x(t)=Asin(\omegat+\phi)$ e $x(t)=Acos(\omegat+\phi')$, con $\phi'=\phi-\pi/2$, sono entrambe soluzione di $(d^2x)/(dt^2)+\omega^2x=0$
Per i risultati "ufficiali" provo a parlare lunedì con la prof , sperando che uno degli esercitatori si degni di caricare sul portale almeno le soluzioni degli esercizi proposti
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