Moto Armonico Semplice
Salve a tutti,
circa questo esercizio: "la posizione di un carrello a cuscino d'aria agganciato a una molla che oscilla è data da $ x= (12.4 cm)cos[(6.35s^(-1))*t]. $ In quale istante $t>0$ il carrello si trova per la prima volta in $x=8.47cm$?
Ho svolto così:
$ (2pi)/T=6.35 rarr T=0.99s $
$ 8.47cm= (12.4 cm)cos[(6.35s^(-1))*t] $
$ (8.47cm)/(12.4 cm)=cos[(6.35s^(-1))*t]rarrt=7.39s $
E' corretto??
Grazie.
circa questo esercizio: "la posizione di un carrello a cuscino d'aria agganciato a una molla che oscilla è data da $ x= (12.4 cm)cos[(6.35s^(-1))*t]. $ In quale istante $t>0$ il carrello si trova per la prima volta in $x=8.47cm$?
Ho svolto così:
$ (2pi)/T=6.35 rarr T=0.99s $
$ 8.47cm= (12.4 cm)cos[(6.35s^(-1))*t] $
$ (8.47cm)/(12.4 cm)=cos[(6.35s^(-1))*t]rarrt=7.39s $
E' corretto??
Grazie.
Risposte
Ciao davicos,
solamente guardando i conti che hai svolto si può dire che qualcosa è sbagliato
In particolare è sbagliato il risultato finale; come si fa ad accorgersene? Cosa hai sbagliato?
Il trucco è sapere cosa rappresenta \(T\).
Fammi sapere, ciao!
solamente guardando i conti che hai svolto si può dire che qualcosa è sbagliato
In particolare è sbagliato il risultato finale; come si fa ad accorgersene? Cosa hai sbagliato?
Il trucco è sapere cosa rappresenta \(T\).
Fammi sapere, ciao!
Non saprei.. non riesco a vedere il problema.. T rappresenta il periodo ed infatti l'ho calcolato dalla formula del testo dell'esercizio...
Il periodo \(T\), che non era necessario ti calcolassi ai fini della soluzione, torna di per sé comodo nel tuo problema come parametro di confronto per verificare la correttezza della soluzione. Il periodo rappresenta il tempo in cui la funzione periodica torna alla condizione iniziale. Nell'esercizio, cioè, ti dice dopo quanto tempo il carrello nel suo moto periodico passa per la seconda volta nello stesso punto; al tempo \(t_0=0\) il carrello si trova in \(x_0=12.4\, cm\) (che è la condizione iniziale), e passato un tempo \(T=0.99\, s\) il carrello assume nuovamente la posizione \(x_0=12.4\, cm\).
La funzione coseno ha come massimo \(1\), infatti \(|cos(x)|\leq 1\enspace\forall x\in\mathbb{R}\), che assume in \(t=0+2k\pi,\enspace k\in\mathbb{Z}\). Quando il coseno assume il proprio massimo, la funzione posizione assume conseguentemente anch'essa il rispettivo massimo: \(x_{max}=(12.4\, cm)(cos[(6.35\,s^{-1})\cdot t])_{max}=(12.4\, cm)\cdot 1=12.4\, cm\). Quindi la posizione iniziale \(x_0=12.4\) è la massima distanza dall'origine raggiungibile dal carrello, assieme a \(x_1=-12.4\) data la parità del coseno. Dunque il carrello parte da \(x_0=12.4\), raggiunge \(x_1=-12.4\) passando per l'origine e poi torna a \(x_0=12.4\). Per compiere l'intero tragitto \(x_0 \rightarrow x_1 \rightarrow x_0\) il carrello impiega, come abbiamo visto, un tempo pari al periodo \(T\). Ma allora, per raggiungere un qualunque punto che stia entro tale tragitto (o intervallo), sarà sufficiente un tempo inferiore, per cui si pone la condizione \(t
La funzione coseno ha come massimo \(1\), infatti \(|cos(x)|\leq 1\enspace\forall x\in\mathbb{R}\), che assume in \(t=0+2k\pi,\enspace k\in\mathbb{Z}\). Quando il coseno assume il proprio massimo, la funzione posizione assume conseguentemente anch'essa il rispettivo massimo: \(x_{max}=(12.4\, cm)(cos[(6.35\,s^{-1})\cdot t])_{max}=(12.4\, cm)\cdot 1=12.4\, cm\). Quindi la posizione iniziale \(x_0=12.4\) è la massima distanza dall'origine raggiungibile dal carrello, assieme a \(x_1=-12.4\) data la parità del coseno. Dunque il carrello parte da \(x_0=12.4\), raggiunge \(x_1=-12.4\) passando per l'origine e poi torna a \(x_0=12.4\). Per compiere l'intero tragitto \(x_0 \rightarrow x_1 \rightarrow x_0\) il carrello impiega, come abbiamo visto, un tempo pari al periodo \(T\). Ma allora, per raggiungere un qualunque punto che stia entro tale tragitto (o intervallo), sarà sufficiente un tempo inferiore, per cui si pone la condizione \(t
Tutto chiaro!
Grazie!
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