Moto armonico, molle
Vorrei porre alla vostra attenzione due problemi molto simili sul moto armonico. In entrambi i casi la lunghezza a riposo della molla non coincide con la lunghezza d'equilibrio della molla. In questi casi il problema sembra complicarsi.
Prendiamo il primo problema:
Chiede di determinare la pulsazione del moto armonico, lo spostamento massimo di A dal muro a cui è fissa l'estremità sinistra della molla, la tensione massima e quella minima.
I dati sono:
-- $ m_A = 0.02 kg $ , $ m_B = 0.07 kg $ , $ k = 5 Nm^-1 $
-- lunghezza a riposo della molla: $ l_0 = 0.1 m $
-- Al tempo t = 0 abbiamo: $ v_a(0) = 0 $ e compressione della molla di $ Deltax(0) = 0.02 m $
Tengo conto del fatto che il filo è inestensibile, quindi le accelerazioni di A e B sono identiche in modulo ma opposte in verso. Quindi: $ a_A = -a_B = a $
Imposto le equazioni di Newton per la massa A:
- lungo $ u_x $ : $ m_Aa = T - k(x_A(t) - l_0) $
- lungo $ u_y $ : $ N = m_Ag $
Per la massa B:
- lungo $ u_y $ : $ -m_Ba = T - m_Bg $
Sommando le accelerazioni ho:
$ (m_A + m_B)a = m_Bg - k(x_A(t) - l_0) $
$ (m_A + m_B)(partial^2 x)/(partial t^2) = m_Bg - k(x_A(t) - l_0) $
Sono consapevole del fatto che questa espressione è molto simile a quella di un moto armonico, ma come faccio a riportarla esattamente a quella di un moto armonico ?. Per risolvere il problema dovrei trovare la giusta equazione differenziale e poi anche risolverla (in modo tale da trovarmi la tensione minima e massima e il massimo spostamento dal muro).
Magari una volta risolto questo, posto anche l'altro problema molto simile a questo in cui posizione a riposo e posizione di equilibrio della molla non coincidono.
Prendiamo il primo problema:
Chiede di determinare la pulsazione del moto armonico, lo spostamento massimo di A dal muro a cui è fissa l'estremità sinistra della molla, la tensione massima e quella minima.
I dati sono:
-- $ m_A = 0.02 kg $ , $ m_B = 0.07 kg $ , $ k = 5 Nm^-1 $
-- lunghezza a riposo della molla: $ l_0 = 0.1 m $
-- Al tempo t = 0 abbiamo: $ v_a(0) = 0 $ e compressione della molla di $ Deltax(0) = 0.02 m $
Tengo conto del fatto che il filo è inestensibile, quindi le accelerazioni di A e B sono identiche in modulo ma opposte in verso. Quindi: $ a_A = -a_B = a $
Imposto le equazioni di Newton per la massa A:
- lungo $ u_x $ : $ m_Aa = T - k(x_A(t) - l_0) $
- lungo $ u_y $ : $ N = m_Ag $
Per la massa B:
- lungo $ u_y $ : $ -m_Ba = T - m_Bg $
Sommando le accelerazioni ho:
$ (m_A + m_B)a = m_Bg - k(x_A(t) - l_0) $
$ (m_A + m_B)(partial^2 x)/(partial t^2) = m_Bg - k(x_A(t) - l_0) $
Sono consapevole del fatto che questa espressione è molto simile a quella di un moto armonico, ma come faccio a riportarla esattamente a quella di un moto armonico ?. Per risolvere il problema dovrei trovare la giusta equazione differenziale e poi anche risolverla (in modo tale da trovarmi la tensione minima e massima e il massimo spostamento dal muro).
Magari una volta risolto questo, posto anche l'altro problema molto simile a questo in cui posizione a riposo e posizione di equilibrio della molla non coincidono.
Risposte
Guarda, mi sembra una equazione differenziale del secondo ordine NON omogenea, quindi la soluzione particolare richiede di una costante da sommare a quella omogenea... in questo caso non dipende dal tempo ed è una costante che se sostituita ad x e derivata tante volte, deve dare proprio (mb)g... Puoi facilmente ricavarla!
Non potresti essere più specifico e abbozzare almeno un inizio di soluzione?? Sempre se hai il tempo e la voglia di farlo ci mancherebbe.. grazie comunque per l'aiuto
L'equazione è del tipo:
$Mddot(x)=-k(x-x_0)+mg$
Si ha:
$-k(x-x_0)+mg=-k(x-x_0-mg/k)$
Si pone:
$x-x_0-mg/k=y$
Risulta, derivando due volte ambo i membri:
$ddot(x)=ddot(y)$
L'equazione del moto è quindi:
$Mddot(y)=-ky$
Che è proprio l'equazione di un moto armonico.
$Mddot(x)=-k(x-x_0)+mg$
Si ha:
$-k(x-x_0)+mg=-k(x-x_0-mg/k)$
Si pone:
$x-x_0-mg/k=y$
Risulta, derivando due volte ambo i membri:
$ddot(x)=ddot(y)$
L'equazione del moto è quindi:
$Mddot(y)=-ky$
Che è proprio l'equazione di un moto armonico.
Allora, se ricordi, un'equazione differenziale del secondo ordine lineare del tipo x''+ax'+bx=f(t). Nel nostro caso, abbiamo che si risolve come x= x associato all'omogenea+ x particolare.
L'omogenea associata è proprio quella dell'oscillatore armonico, dove omega w è data dalla radice di k(ma+mb)... poi abbiamo una parte costante dovuta a (l0(lunghezza a riposo della molla) per k)/(la somma delle due masse) e la massab per la gravità. Ti ricordo che per risolverlo serve anche una particolare... un polinomio tale che se fosse derivato fino al secondo ordine dovrebbe soddisfare la tua equazione differenziale... troveresti lo troveresti proprio di grado zero ( una costante) pare proprio al valore di mbg/somma masse e k per l0/somma delle masse , proprio i termini di cui differiva l'omogenea dalla particolare =)
L'omogenea associata è proprio quella dell'oscillatore armonico, dove omega w è data dalla radice di k(ma+mb)... poi abbiamo una parte costante dovuta a (l0(lunghezza a riposo della molla) per k)/(la somma delle due masse) e la massab per la gravità. Ti ricordo che per risolverlo serve anche una particolare... un polinomio tale che se fosse derivato fino al secondo ordine dovrebbe soddisfare la tua equazione differenziale... troveresti lo troveresti proprio di grado zero ( una costante) pare proprio al valore di mbg/somma masse e k per l0/somma delle masse , proprio i termini di cui differiva l'omogenea dalla particolare =)
Fai prima a fare una sostituzione come ho fatto io.
si certo sono assolutamente equivalenti... se deve solo dimostrare che è armonico va più che bene, sennò tocca risolverla =)
Si, la sostituzione serve anche per risolverla, infatti la soluzione di quell'equazione è $y=Acos(omegat)+Bsin(omegat)$, sapendo però che $y=x-x_0-mg/k$, si ha: $x=x_0+mg/k+Acos(omegat)+Bsin(omegat)$, e non resta che imporre le condizioni iniziali. Questo metodo è consigliato soprattutto per chi non ha affrontato le equazioni differenziali e non sa, come dici tu, del fatto che quella li sia una equazione non omogenea e che quindi ha come soluzione generale la somma tra la soluzione generale dell'omogenea associata e una soluzione particolare della non omogenea.
Vi faccio vedere come l'ha risolta il mio professore:
(1) Trovo la posizione di equilibrio della molla (imponendo l'accelerazione uguale a 0):
$ 0 = m_Bg - k(x_{eq} - l_0) => x_{eq} = l_0 + (m_Bg)/k$
(2) Sostituisco l'espressione appena trovata nell'espressione dell'accelerazione (sostituisco $ l_0 $):
$ (m_A + m_B)(partial^2 x_A)/(partial t^2) = m_Bg - k(x_A - x_{eq} - (m_Bg)/k) $
Quindi abbiamo:
$ (partial^2 x_A)/(partial t^2) = - k/(m_A + m_B)(x_A - x_{eq}) $
(3) Chiamo $ x = x_A - x_{eq} $. Notando che $ ddot(x) = ddot(x_A) $, posso scrivere:
$ (partial^2 x)/(partial t^2) = - k/(m_A + m_B)x $
(4) Soluzione dell'equazione differenziale:
$ x_{g en} = Ccos(omegat + phi) $
$ x_{part} = x_{eq} = l_0 + (m_Bg)/k $
Quindi:
$ x_A(t) = x_{eq} + x_{g en} = l_0 + (m_Bg)/k + Ccos(omegat + phi) $
Poi la risolve imponendo le condizioni iniziali.
---------
Il mio problema è che non riesco a capire i singoli passi che ha fatto il professore per arrivare a questa soluzione. Potreste spiegarmeli. Un altro piccolo problema è che forse non ho copiato tutto perfettamente dalla lavagna, perché il prof ha fatto tutto nei minuti finali della lezione ad alta velocità
(1) Trovo la posizione di equilibrio della molla (imponendo l'accelerazione uguale a 0):
$ 0 = m_Bg - k(x_{eq} - l_0) => x_{eq} = l_0 + (m_Bg)/k$
(2) Sostituisco l'espressione appena trovata nell'espressione dell'accelerazione (sostituisco $ l_0 $):
$ (m_A + m_B)(partial^2 x_A)/(partial t^2) = m_Bg - k(x_A - x_{eq} - (m_Bg)/k) $
Quindi abbiamo:
$ (partial^2 x_A)/(partial t^2) = - k/(m_A + m_B)(x_A - x_{eq}) $
(3) Chiamo $ x = x_A - x_{eq} $. Notando che $ ddot(x) = ddot(x_A) $, posso scrivere:
$ (partial^2 x)/(partial t^2) = - k/(m_A + m_B)x $
(4) Soluzione dell'equazione differenziale:
$ x_{g en} = Ccos(omegat + phi) $
$ x_{part} = x_{eq} = l_0 + (m_Bg)/k $
Quindi:
$ x_A(t) = x_{eq} + x_{g en} = l_0 + (m_Bg)/k + Ccos(omegat + phi) $
Poi la risolve imponendo le condizioni iniziali.
---------
Il mio problema è che non riesco a capire i singoli passi che ha fatto il professore per arrivare a questa soluzione. Potreste spiegarmeli. Un altro piccolo problema è che forse non ho copiato tutto perfettamente dalla lavagna, perché il prof ha fatto tutto nei minuti finali della lezione ad alta velocità
È la stessa soluzione a cui sono arrivato io...solo molto più incasinata...ripeto: usa il mio metodo.
Si è vero, avevo poi notato. A questo punto vi aggiungo anche l'altro esercizio solo per questione di completezza e lo risolvo con il metodo di Vulplasir.
Abbasso la massa m di $ Deltax $ dalla posizione di equilibrio, all'inzio tutto è in quiete.
Dopo un po' di calcoli mi ritrovo la seguente formula dell'accelerazione:
$ (1/2M + m)a = mg -kx $
Uso il metodo di Vulplasir:
$ (1/2M + m)a = -k(x - (mg)/k) $
Chiamo $ y = x - (mg)/k $ e notando che $ ddot(x) = ddot(y) $, abbiamo:
$ (1/2M + m)ddot(y) = -ky $
La soluzione dell'equazione differenziale è:
$ y = Ccos(omegat + phy) $
Quindi
$ y = x - (mg)/k = Ccos(omegat + phy) => x = (mg)/k + Ccos(omegat + phy) $
Poi risolvo in base alle condizioni iniziali:
$ x(0) - x_{eq} = Deltax $
$ v(0) = 0 $
Mi ritrovo che:
$ x = (mg)/k + Deltaxcos(omegat) $
Abbasso la massa m di $ Deltax $ dalla posizione di equilibrio, all'inzio tutto è in quiete.
Dopo un po' di calcoli mi ritrovo la seguente formula dell'accelerazione:
$ (1/2M + m)a = mg -kx $
Uso il metodo di Vulplasir:
$ (1/2M + m)a = -k(x - (mg)/k) $
Chiamo $ y = x - (mg)/k $ e notando che $ ddot(x) = ddot(y) $, abbiamo:
$ (1/2M + m)ddot(y) = -ky $
La soluzione dell'equazione differenziale è:
$ y = Ccos(omegat + phy) $
Quindi
$ y = x - (mg)/k = Ccos(omegat + phy) => x = (mg)/k + Ccos(omegat + phy) $
Poi risolvo in base alle condizioni iniziali:
$ x(0) - x_{eq} = Deltax $
$ v(0) = 0 $
Mi ritrovo che:
$ x = (mg)/k + Deltaxcos(omegat) $
Se il filo è inestensibile ma vincolato(non scivola) alla tua carrucola di massa M, dovresti introdurre il momento di inerzia di M... considerando le forze che lo mettono in rotazione alle estremità.
Ho tenuto conto del momento di inerzia della carrucola. E' già incluso nel calcolo dell'accelerazione.
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