Moto armonico e determinazione della ampiezza di oscillazion
devo risolvere il seguente problema: 
la risoluzione dei primi due punti è piuttosto banale :
1- $mgh=1/2kd^2$ indicando con d l'allungamento della fune rispetto alla lunghezza normale ricaviamo k $k=(2mgh)/d^2$
per cui
2- $\omega=sqrt(k/m)$ da cui $T=(2\pi)/\omega$
ad una prima analisi ho pensato che l'ampiezza di oscillazione fosse 10 metri ovvero $d$ del punto 1 ma non è così ? perché?
penso di dover utilizzare questa relazione che ho trovati su di un formulario $A=sqrt((x_0)^2 + (v_0/\omega)^2)$ ma come faccio a ricavarla penso utilizzando le equazioni del moto armonico ma come ?
la risoluzione dei primi due punti è piuttosto banale :
1- $mgh=1/2kd^2$ indicando con d l'allungamento della fune rispetto alla lunghezza normale ricaviamo k $k=(2mgh)/d^2$
per cui
2- $\omega=sqrt(k/m)$ da cui $T=(2\pi)/\omega$
ad una prima analisi ho pensato che l'ampiezza di oscillazione fosse 10 metri ovvero $d$ del punto 1 ma non è così ? perché?
penso di dover utilizzare questa relazione che ho trovati su di un formulario $A=sqrt((x_0)^2 + (v_0/\omega)^2)$ ma come faccio a ricavarla penso utilizzando le equazioni del moto armonico ma come ?
Risposte
Ciao. Non so se ho capito bene il tutto, ma in ogni caso la massa inizierà ad oscillare intorno ad una posizione di equilibrio che è fissata dal fatto che la forza elastica $k Delta x_0$ e la forza peso $mg$ abbiano risultante nulla, o no?
direi di si e $\DeltaX_0=(mg)/k$ a questo punto abbiamo fissato il punto attorno a cui oscilla il sistema, che poi è quello che vorrei sapere
forse non mi sono espresso in maniera chiara , io vorrei arrivare a dimostrare la seguente equazione $A=sqrt((x_0)^2 + (v_0/\omega)^2)$
Se la posizione $x(t)$ e la velocità $v(t)$ dell'oscillatore variano secondo le leggi del moto armonico hai:
______$x(t)=A cdot cos omega t$__e__$v(t)=-omega A cdot sin omega t$__;
sostituiscile nell'espressione (l'unica cosa della quale non capisco è il pedice $0$ ad entrambe le variabili) e trovi un'identità.
______$x(t)=A cdot cos omega t$__e__$v(t)=-omega A cdot sin omega t$__;
sostituiscile nell'espressione (l'unica cosa della quale non capisco è il pedice $0$ ad entrambe le variabili) e trovi un'identità.
"platxxx":
....io vorrei arrivare a dimostrare la seguente equazione $A=sqrt((x_0)^2 + (v_0/\omega)^2)$
Si può fare così. L'energia dell'oscillatore armonico si conserva e quindi puoi scrivere, ad ogni istante $t$:
$E=1/2mv^2(t) + 1/2kx^2(t)$
In particolare, nel punto di massima elongazione, hai:
$E=1/2kA^2$ dove $A$ è appunto l'ampiezza dell'oscillazione.
Sostituendo questa nella prima equazione hai:
$A=\sqrt(((v(t))/\omega)^2 + x^2(t))$ dove, come di consueto, $\omega = \sqrt(k/m)$
Ora, (e qui rispondo anche alla osservazione di Palliit:
"Palliit":
(l'unica cosa della quale non capisco è il pedice 0 ad entrambe le variabili)
)
siccome questa relazione vale ad ogni istante $t$, in particolare vale anche nell'istante iniziale $t_0$ dove posizione e velocità valgono, come si pone in genere, $x_0$ e $v_0$. Se il libro da cui hai preso la formula, con $x_0$ e $v_0$ intende posizione e velocità iniziali, allora ci siamo
.
perfetto molto chiaro usando l'energia.
ultima cosa che non capisco è perché $\omega$ sia al quadrato non dovrebbe essere solo $v^2$, abbiate pazienza ma l'algebra non è proprio il mio forte
ultima cosa che non capisco è perché $\omega$ sia al quadrato non dovrebbe essere solo $v^2$, abbiate pazienza ma l'algebra non è proprio il mio forte
Per poter comprendere come arrivare all'espressione di \(A\) bisogna che tu conosca le nozioni basilari riguardanti le EDO.
Un oscillatore armonico conservativo è descritto dalla seguente equazione differenziale:
\[\ddot x + \omega^2 x=0\]
Nel caso dell'esercizio, \(x\) indicherebbe la quota a cui si trova la massa all'istante di tempo \(t\), mentre il termine \(\omega\) indica la frequenza naturale del sistema, cioè il numero di cicli completi compiuti (passaggio quota minima->passaggio quota massima->passaggio quota minima della massa) nell'unità di tempo.
Tale equazione differenziale ha come soluzione generale
\[x(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\]
Con \(C_1\) e \(C_2\) costanti da determinare in base alle condizioni iniziali del problema.
Detta \(x_0\) la quota della massa all'istante iniziale (nel caso dell'esercizio \(x_0=44\text{m}\)), cioè:
\[\begin{cases} x(0)=C_1\cos(\omega *0)+C_2\sin(\omega *0)\\ x(0)=x_0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x(0)=C_1\\ x(0)=x_0\end{cases} \Leftrightarrow C_1=x_0\]
e \(v_0\) la velocità della massa all'istante iniziale (nel caso dell'esercizio \(v_0=0\frac{\text{m}}{s}\)), cioè:
\[\begin{cases} \dot x(0)=-C_1\omega\sin(\omega *0)+C_2\omega\cos(\omega *0)\\ \dot x(0)=v_0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dot x(0)=C_2\omega\\ \dot x(0)=v_0\end{cases} \Leftrightarrow C_2=\frac{v_0}{\omega}\]
Ricorda che \(\dot x\) indica la velocità della massa all'istante \(t\).
Concludiamo che la soluzione completa risulta essere
\[\tag{1}x(t)=x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t)\]
Possiamo riportare tale espressione in una più semplice da interpretare della forma
\[\tag{2} x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\]
o, equivalentemente
\[\tag{3} x(t)=A\sin(\omega t+\phi)\]
L'equivalenza tra le espressioni \((1)\) e \((2)\) (o tra \((1)\) e \((3)\)) sono garantite dal fatto che la somma di 2 sinusoidi di stessa frequenza è ancora una sinusoide di stessa frequenza.
Dobbiamo quindi determinare \(A\), detta ampiezza misurata, in questo esercizio, in \(\text{m}\), e \(\phi\), detta fase e misurata in \(\text{rad}\).
Lavoriamo con la \((2)\).
Dalle formule trigonometriche di addizione troviamo:
\[\begin{split}x(t) & =A\cos(\omega t+\phi) \\ &=A\cos\phi\cos(\omega t)-A\sin\phi\sin(\omega t)
\end{split}\]
adesso confrontiamo con la \((1)\), troviamo
\[\begin{cases} A\cos\phi=x_0 \\ -A\sin\phi=\frac{v_0}{\omega}\end{cases}\]
Per determinare \(A\) eleviamo tutto al quadrato e sommiamo mam
\[\begin{cases} A^2\cos^2\phi=x_0^2 \\ A^2\sin^2\phi=\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow A^2(cos^2\phi+sin^2\phi)=x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2\]
Ricordando che \(cos^2\phi+sin^2\phi=1\), concludiamo che
\[\boxed{A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}}\]
Per determinare \(\phi\) basta dividere la seconda relazione per la prima e applicare mam la funzione arcotangente
\[\tan\phi=-\frac{v_0}{\omega x_0} \Leftrightarrow \]
\[\phi=-\arctan\left(\frac{v_0}{\omega x_0}\right)\]
Ora, siccome \(\cos\phi=\sin\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)\), concludiamo che per la \((2)\) l'espressione di \(A\) rimane la stessa, mentre l'espressione di \(\phi\) risulta essere
\[\phi=-\arctan\left(\frac{v_0}{\omega x_0}\right)+\frac{\pi}{2}\]
Un oscillatore armonico conservativo è descritto dalla seguente equazione differenziale:
\[\ddot x + \omega^2 x=0\]
Nel caso dell'esercizio, \(x\) indicherebbe la quota a cui si trova la massa all'istante di tempo \(t\), mentre il termine \(\omega\) indica la frequenza naturale del sistema, cioè il numero di cicli completi compiuti (passaggio quota minima->passaggio quota massima->passaggio quota minima della massa) nell'unità di tempo.
Tale equazione differenziale ha come soluzione generale
\[x(t)=C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t)\]
Con \(C_1\) e \(C_2\) costanti da determinare in base alle condizioni iniziali del problema.
Detta \(x_0\) la quota della massa all'istante iniziale (nel caso dell'esercizio \(x_0=44\text{m}\)), cioè:
\[\begin{cases} x(0)=C_1\cos(\omega *0)+C_2\sin(\omega *0)\\ x(0)=x_0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x(0)=C_1\\ x(0)=x_0\end{cases} \Leftrightarrow C_1=x_0\]
e \(v_0\) la velocità della massa all'istante iniziale (nel caso dell'esercizio \(v_0=0\frac{\text{m}}{s}\)), cioè:
\[\begin{cases} \dot x(0)=-C_1\omega\sin(\omega *0)+C_2\omega\cos(\omega *0)\\ \dot x(0)=v_0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dot x(0)=C_2\omega\\ \dot x(0)=v_0\end{cases} \Leftrightarrow C_2=\frac{v_0}{\omega}\]
Ricorda che \(\dot x\) indica la velocità della massa all'istante \(t\).
Concludiamo che la soluzione completa risulta essere
\[\tag{1}x(t)=x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t)\]
Possiamo riportare tale espressione in una più semplice da interpretare della forma
\[\tag{2} x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\]
o, equivalentemente
\[\tag{3} x(t)=A\sin(\omega t+\phi)\]
L'equivalenza tra le espressioni \((1)\) e \((2)\) (o tra \((1)\) e \((3)\)) sono garantite dal fatto che la somma di 2 sinusoidi di stessa frequenza è ancora una sinusoide di stessa frequenza.
Dobbiamo quindi determinare \(A\), detta ampiezza misurata, in questo esercizio, in \(\text{m}\), e \(\phi\), detta fase e misurata in \(\text{rad}\).
Lavoriamo con la \((2)\).
Dalle formule trigonometriche di addizione troviamo:
\[\begin{split}x(t) & =A\cos(\omega t+\phi) \\ &=A\cos\phi\cos(\omega t)-A\sin\phi\sin(\omega t)
\end{split}\]
adesso confrontiamo con la \((1)\), troviamo
\[\begin{cases} A\cos\phi=x_0 \\ -A\sin\phi=\frac{v_0}{\omega}\end{cases}\]
Per determinare \(A\) eleviamo tutto al quadrato e sommiamo mam
\[\begin{cases} A^2\cos^2\phi=x_0^2 \\ A^2\sin^2\phi=\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2\end{cases}\Leftrightarrow A^2(cos^2\phi+sin^2\phi)=x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2\]
Ricordando che \(cos^2\phi+sin^2\phi=1\), concludiamo che
\[\boxed{A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}}\]
Per determinare \(\phi\) basta dividere la seconda relazione per la prima e applicare mam la funzione arcotangente
\[\tan\phi=-\frac{v_0}{\omega x_0} \Leftrightarrow \]
\[\phi=-\arctan\left(\frac{v_0}{\omega x_0}\right)\]
Ora, siccome \(\cos\phi=\sin\left(\phi+\frac{\pi}{2}\right)\), concludiamo che per la \((2)\) l'espressione di \(A\) rimane la stessa, mentre l'espressione di \(\phi\) risulta essere
\[\phi=-\arctan\left(\frac{v_0}{\omega x_0}\right)+\frac{\pi}{2}\]
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