Moto armonico con segno non negativo

[Studente Anonimo]

Ciao a tutti, questo post riguarda la dinamica di due corpi rigidi ed il moto armonico.





"SI considerino due dischi di raggio $R$ e massa $M$ che sono imperniati agli estremi $A$ e $B$ di una
molla ideale di costante elastica $k$ e di lunghezza a riposo pari a $4R$. I dischi
poggiano su di un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito tale da
mantenere rotolamento puro. Supponendo che la molla sia inizialmente
allungata di $R$ (si consideri pure per simmetria $R/2$ a sinistra ed $R/2$ a destra),
si trovino le leggi orarie per la posizione dei centri dei dischi."

Io ho agito così.
Pongo un sistema ortonormale con asse $x$ crescente verso destra, asse $y$ crescente verso il basso ed asse $z$ entrante.

Per il disco a sinistra (con centro di massa in $A$):
Ho calcolato la seconda cardinale con centro di riduzione nel punto di contatto con il pavimento.

$I_[c1] ddot(phi)= RK(bar(DeltaL))$

$I_[c1] ddot(phi)= RK(Rphi-4R)$

$ ddot(phi)= (R^2Kphi- 4R^2K)/(3/2MR^2)$

$ ddot(phi)= (2K)/(3M)phi -(8K)/(3M)$

Questa non è l'equazione di moto di un moto armonico (dovrebbe esserci un segno negativo davanti a $phi$).
Dove ho sbagliato?

[mgrau]

"anonymous_f3d38a":
$I_[c1] ddot(phi)= RK(bar(DeltaL))$

Direi che qui ci vuole un segno meno: l'allungamento della molla fa ruotare il disco in senso ORARIO

[Studente Anonimo]

"mgrau":[quote="anonymous_f3d38a"]
$I_[c1] ddot(phi)= RK(bar(DeltaL))$

Direi che qui ci vuole un segno meno: l'allungamento della molla fa ruotare il disco in senso ORARIO[/quote]

Tuttavia, avendo definito l'asse $z$ come entrante nella figura e l'angolo $phi$ crescente in senso orario, ho dovuto mettere un segno positivo!

Edit: prima avevo sbagliato, scrivendo $vartheta$ a posto di $phi$.

[Studente Anonimo]

Comunque definisci il senso di crescita dell'angolo, una delle due equazioni di moto avrà un segno negativo (equazione di moto del moto armonico) e l'altra segno positivo (?).
Un po' cattivello questo esercizio.

[mgrau]

"anonymous_f3d38a":
Tuttavia, avendo definito l'asse $z$ come entrante nella figura e l'angolo $vartheta$ crescente in senso orario, ho dovuto mettere un segno positivo!

Se quando scrivi $theta$ intendi $phi$, allora devi cambiare segno qui
$bar(DeltaL)= RK(Rphi-4R)$: se $phi$ aumenta, $DeltaL$ diminuisce

[Studente Anonimo]

"mgrau":[quote="anonymous_f3d38a"]
Tuttavia, avendo definito l'asse $z$ come entrante nella figura e l'angolo $vartheta$ crescente in senso orario, ho dovuto mettere un segno positivo!

Se quando scrivi $theta$ intendi $phi$, allora devi cambiare segno qui
$bar(DeltaL)= RK(Rphi-4R)$: se $phi$ aumenta, $DeltaL$ diminuisce[/quote]

Ma non avrò comunque lo stesso problema per l'altro disco?
Per il disco di destra che ha centro $B$, applicando la seconda cardinale con centro di riduzione nel punto di contatto $c_2$, avrò:


$I_[c2] ddot(phi)= -RK(bar(DeltaL))$

$I_[c2] ddot(phi)= -RK -(Rphi-4R)$

$I_[c2] ddot(phi)= +RK (Rphi-4R)$

?

[mgrau]

"anonymous_f3d38a":

Ma non avrò comunque lo stesso problema per l'altro disco?

Ma il movimento del disco di destra è l'immagine speculare di quello di sinistra. Il punto medio della molla resta fisso, è proprio inutile risolvere due problemi identici.