Moto Armonico 2
Salve!
Riprendo anch'io il post un po' più sotto. Vorrei chiedervi alcune cosette che non mi convincono:
1) che differenza corre tra x=R sen omega*t e x= R cos omega*t?
2) Una sfera con massa m=100g viene usata per costruire un pendolo lungo 3,00 m. Il pendolo viene spostato in modo da formare un angolo di 4,00 ° con la sua verticale e poi abbandonato. Quanto vale la sua energia totale?
[7.17*10^-3 J]
L'angolo di 4° a cosa mai potrebbe servirci?
3) L'ampiezza di un oscillatore viene misurata dopo 40s dall'inizio e si trova A=20,0 cm. Dopo altri 10s l'ampiezza dell'oscillazione risulta eguale a 15,0 cm. Determina l'ampiezza iniziale Ao dell'oscillazione.
[63.2 cm]
Grazie mille raga!
Riprendo anch'io il post un po' più sotto. Vorrei chiedervi alcune cosette che non mi convincono:
1) che differenza corre tra x=R sen omega*t e x= R cos omega*t?
2) Una sfera con massa m=100g viene usata per costruire un pendolo lungo 3,00 m. Il pendolo viene spostato in modo da formare un angolo di 4,00 ° con la sua verticale e poi abbandonato. Quanto vale la sua energia totale?
[7.17*10^-3 J]
L'angolo di 4° a cosa mai potrebbe servirci?
3) L'ampiezza di un oscillatore viene misurata dopo 40s dall'inizio e si trova A=20,0 cm. Dopo altri 10s l'ampiezza dell'oscillazione risulta eguale a 15,0 cm. Determina l'ampiezza iniziale Ao dell'oscillazione.
[63.2 cm]
Grazie mille raga!
Risposte
2) l'angolo ti serve e come.
All'inizio l'enegia meccanica è tutta potenziale. La massa si troverà ad una altezza rispetto a quella iniziale in cui poniamo arbitrariamente l'origine del sistema di riferimento h pari a $lcos4$ dove l è la lunghezza del pendolo.
L'altezza della massa rispetto all'origine è dunque $\Deltah=l-lcos4=7.4*10^(-3)$
L'energia sarà $U=mg\Deltah=7.25*10^(-3)J$
Viene un pò diverso dal risultato da te riportato perchè si dve approssimare bene la differenza.
All'inizio l'enegia meccanica è tutta potenziale. La massa si troverà ad una altezza rispetto a quella iniziale in cui poniamo arbitrariamente l'origine del sistema di riferimento h pari a $lcos4$ dove l è la lunghezza del pendolo.
L'altezza della massa rispetto all'origine è dunque $\Deltah=l-lcos4=7.4*10^(-3)$
L'energia sarà $U=mg\Deltah=7.25*10^(-3)J$
Viene un pò diverso dal risultato da te riportato perchè si dve approssimare bene la differenza.
1) L'unica differenza è che le due funzioni sono sfasate di 90°
Oppure puoi usare anche la formula dell'energia di un oscillatore armonico:
$E=1/2*m*omega^2*A^2$, con i dati che hai ti puoi calcolare $omega$ e $A$.
Il secondo non sono riuscito a farlo, sono un pò arrugginito con i sistemi goniometrici...
Fabio
$E=1/2*m*omega^2*A^2$, con i dati che hai ti puoi calcolare $omega$ e $A$.
Il secondo non sono riuscito a farlo, sono un pò arrugginito con i sistemi goniometrici...
Fabio
3) Ritengo si tratti di una oscillazione smorzata esponenzialmente e quindi con ampiezza data da :
$ A = A_0*e ^ (-kt) $ con k costante ignota e t il tempo trascorso .
Dai dati del problema si possono ricavare 2 equazioni al tempo $ t = 40 $ e $ t = 50 $ :
$ A_0*e^(-40k) =20$
$ A_0*e^(-50k) = 15 $
Applico il logaritmo ad entrambe le equazioni e dopo qualche conto ottengo :
$ 0.25lnA_0 = 1.25ln20-ln15 $
da cui :
$A_0^(0.25) = 20^(1.25)/15 $ e infine :
$ A_0 = 20^5/15^4 = 63.20$.
Camillo
$ A = A_0*e ^ (-kt) $ con k costante ignota e t il tempo trascorso .
Dai dati del problema si possono ricavare 2 equazioni al tempo $ t = 40 $ e $ t = 50 $ :
$ A_0*e^(-40k) =20$
$ A_0*e^(-50k) = 15 $
Applico il logaritmo ad entrambe le equazioni e dopo qualche conto ottengo :
$ 0.25lnA_0 = 1.25ln20-ln15 $
da cui :
$A_0^(0.25) = 20^(1.25)/15 $ e infine :
$ A_0 = 20^5/15^4 = 63.20$.
Camillo
Questa equazione esponenziale non l'avevo mai vista...
Fabio
Fabio
E' tipica dei movimenti smorzati , se fai il grafico vedi che tende a 0 per t che tende a $ +00 $ ; quando si unisce a una sinusoide dà luogo alle oscillazioni smorzate con equazione del tipo $ e^(-kt)*cos wt $ ,pure interessante da mettere in grafico .
Ecco un esempio : considerare solo ascisse positive
"giuseppe87x":
2) l'angolo ti serve e come.
All'inizio l'enegia meccanica è tutta potenziale. La massa si troverà ad una altezza rispetto a quella iniziale in cui poniamo arbitrariamente l'origine del sistema di riferimento h pari a $lcos4$ dove l è la lunghezza del pendolo.
L'altezza della massa rispetto all'origine è dunque $\Deltah=l-lcos4=7.4*10^(-3)$
L'energia sarà $U=mg\Deltah=7.25*10^(-3)J$
Viene un pò diverso dal risultato da te riportato perchè si dve approssimare bene la differenza.
Grazie Giuseppe!
Peò così hai considerato solo l'energia potenziale, quindi se stesse solo fermo. Siccome il testo dice che poi viene abbandonato a se stesso, si avrà energia cinetica. No?
Conosco la formula di SaturnV (grazie) e forse andrebbe applicata proprio quella. Si dovrebbe fare un sistema goniometrico?
Allora, A è la lunghezza del pendolo peerché il punto di maggiore distanza dal centro di oscillazione. Però come mi ricavo la velocità angolare?
Grazie pure a Camillo, anche se volevo evitare di cimentarmi coi ln, perché ancora non li ho fatti! Spero che sia tutto a livello di una buona mano con la calcolatrice!
Se qualcosa non mi torna, in caso ti faccio sapere! Come hai fatto il grafico?"giuseppe87x":
1) L'unica differenza è che le due funzioni sono sfasate di 90°
Abbiamo un giradischi. L'ombra del piolo viene raccolta su uno schermo perpendicolare ai raggi. Scrivi:
a) l'equazione oraria del moto se l'istante iniziale è quello in cui l'ombra è nella posizione centrale;
b) l'equazione oraria del moto se l'istante iniziale è quello in cui l'ombra è nella posizione di massima distanza dalla posizione centrale.
Ora: nella a posso inserire qualsiasi delle due funzioni, basta che poi nella b metto l'altra funzione non scelta prima. Giusto?
Grazieee!
Ciao Marco, faccio una risposta omni-comprensiva.
1) Il procedimento di Giuseppe sta benissimo, perchè, per la scelta del sistema di riferimento, una volta che il pendolo arriva nel suo punto più basso tutta l'energia potenziale si è trasformata in energia cinetica. Quindi l'energia meccanica, totale, del sistema è quella potenziale all'inizio e quella cinetica alla fine. Man mano che una diminuisce l'altra aumenta.
2) No, per la formula che ti ho indicato io non serve un sistema goniometrico, ti serve solo ricavare $omega$ e $A$. Stai attento! $A$ non è la lunghezza della corda, ma la proiezione della lunghezza della corda sull'asse orizzontale! Solo così ottieni lo spostamento massimo dalla condizione di equilibrio (ricordati che un moto armonico è unidimensionale). Quindi $A=l*sinalpha$ con $alpha=4°$. Per il pendolo si ha $omega^2=g/l$ (nota bene, questo è al quadrato!).
Sostituisci i valori nella formula e ti viene. E poi, nota che $omega$ non è la velocità angolare, ma la pulsazione del moto armonico: $omega=(2*pi)/T$. Che poi sono concetti assimilabili è un altro discorso, ma così si chiama.
Ora una domanda la faccio io: come si coniugano la conservazione dell'energia utilizzata da Giuseppe per la risoluzione della prima parte e lo smorzamento del moto utilizzato da Camillo per la seconda?
Fabio
1) Il procedimento di Giuseppe sta benissimo, perchè, per la scelta del sistema di riferimento, una volta che il pendolo arriva nel suo punto più basso tutta l'energia potenziale si è trasformata in energia cinetica. Quindi l'energia meccanica, totale, del sistema è quella potenziale all'inizio e quella cinetica alla fine. Man mano che una diminuisce l'altra aumenta.
2) No, per la formula che ti ho indicato io non serve un sistema goniometrico, ti serve solo ricavare $omega$ e $A$. Stai attento! $A$ non è la lunghezza della corda, ma la proiezione della lunghezza della corda sull'asse orizzontale! Solo così ottieni lo spostamento massimo dalla condizione di equilibrio (ricordati che un moto armonico è unidimensionale). Quindi $A=l*sinalpha$ con $alpha=4°$. Per il pendolo si ha $omega^2=g/l$ (nota bene, questo è al quadrato!).
Sostituisci i valori nella formula e ti viene. E poi, nota che $omega$ non è la velocità angolare, ma la pulsazione del moto armonico: $omega=(2*pi)/T$. Che poi sono concetti assimilabili è un altro discorso, ma così si chiama.
Ora una domanda la faccio io: come si coniugano la conservazione dell'energia utilizzata da Giuseppe per la risoluzione della prima parte e lo smorzamento del moto utilizzato da Camillo per la seconda?
Fabio
Se c'è smorzamento vuol dire che c'è qualche tipo di resistenza al moto , ad esempio tipicamente proporzionale alla velocità : una parte dell'energia iniziale si trasformerà in calore dovuta ad esempio alla resistenza dell'aria oppure alla resistenza di tipo vischiosa se il moto avviene in un fluido tipo olio denso ; il bilancio energetico si manterrà comunque , ma una parte dell'energia iniziale, quella che si trasforma in calore non è più restituibile al movimento .
Camillo
@Ex Marco 88 : ho plottato con Derive la funzione (se ben ricordo) : $ 4*e^(-x)*cos6x$ , l'ho salvato come .jpeg e infine uploadata sul sito : imageshack in modo che tutti la potessero vedere.
Camillo
@Ex Marco 88 : ho plottato con Derive la funzione (se ben ricordo) : $ 4*e^(-x)*cos6x$ , l'ho salvato come .jpeg e infine uploadata sul sito : imageshack in modo che tutti la potessero vedere.
"SaturnV":
Ora una domanda la faccio io: come si coniugano la conservazione dell'energia utilizzata da Giuseppe per la risoluzione della prima parte e lo smorzamento del moto utilizzato da Camillo per la seconda?
In generale la funzione x=f(t) di un moto armonico smorzato è $x=Ae^(-bt/(2m))cos(\omegat+\phi).
Possiamo considerare questa equazione come la funzione che descrive un moto armonico di ampiezza $Ae^(-bt/(2m))$.
Dunque l'energia meccanica totale sarà $E=1/2kA^2e^(-bt/m)$.
Secondo questa legge l'energia meccanica diminuisce nel tempo secondo il seguente grafico.
Come si vede la funzione è asintotica alla retta E=0.
Interessante, mai viste queste cose (a parte che in matematica, ufficialmente, non ho fatto le funzioni esponenziali).
Ma si studiano in termodinamica le trasformazioni di energia meccanica in calore?
Fabio
Ma si studiano in termodinamica le trasformazioni di energia meccanica in calore?
Fabio
No, è un ampliamento dello studio del moto armonico.
Generalmente si studiano oscillatori armonici ideali in cui cioè la molla non presenta nessuna costante di smorzamento. In questo caso invece si prende in considerazione questo aspetto.
Generalmente si studiano oscillatori armonici ideali in cui cioè la molla non presenta nessuna costante di smorzamento. In questo caso invece si prende in considerazione questo aspetto.
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